运动的合成与分解的两个模型

运动的合成与分解的两个模型一、绳杆连体模型 例1、如图1所示，两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面各穿有一个小球，小球a、b间用一细直棒相连。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比。 解析：小球a、b沿棒的分速度分别为和，两者相等。 所以甲乙α甲乙αv1v2图2v1甲乙αv1v2图3【举一反三】如图2所示，汽车甲以速度vv1甲乙αv1v2图3分析与解：如图3所示，甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1BMCAROω图4α例2、如图4所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为BMCAROω图4α分析与解：杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度VA的方向与杆OA垂直，在所考察时其速度大小为：VA=ωRMCAROω图5αVAβB对于速度VA作如图5MCAROω图5αVAβBVM=VAcosβ由正弦定理知，由以上各式得VM=ωHsinα.练习：1.如图6所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D.BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v.2.如图7所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为vB，加速度为aB，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小.图7图7图8图93.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.定滑轮到杆的距离为m.物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1m时，m1、m2恰受力平衡如图8所示.试求：图9〔1〕m2在下滑过程中的最大速度.〔2〕m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4.如图9所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，SO=L，假设M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，那么转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？图图105.一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图10所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB.求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.6.如图11所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中图11〔1〕斜劈的最大速度图11〔2〕球触地后弹起的最大高度。〔球与地面作用中机械能的损失忽略不计〕答案：1.v=2.vA=vBtanα;aA=aBtanα3.〔1〕由图可知，随m2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m2在C点受力恰好平衡，因此m2从B到C是加速过程，以后将做减速运动，所以m2的最大速度即出现在图示位置.对m1、m2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE增=ΔE减，即m1v12+m22v2+m1g〔A-A〕sin30°=m2g·B又由图示位置m1、m2受力平衡，应有：Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°又由速度分解知识知v1=v2cos∠ACB，代入数值可解得v2=2.15m/s,〔2〕m2下滑距离最大时m1、m2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得：ΔE增′=ΔE减′即:m1g〔〕sin30°=m2gH利用〔1〕中质量关系可求得m2下滑的最大距离H=m=2.31m4.由几何光学知识可知：当平面镜绕O逆时针转过30°时，那么：∠SOS′=60°，图12OS′=L/cos60°图12选取光点S′为连结点，因为光点S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度〔合速度〕就是在光屏上移动速度v；光点S′又在反射光线OS′上，它参与沿光线OS′的运动.速度v1和绕O点转动，线速度v2；因此将这个合速度沿光线OS′及垂直于光线OS′的两个方向分解，由速度矢量分解图12可得：v1=vsin60°,v2=vcos60°又由圆周运动知识可得：当线OS′绕O转动角速度为2ω.那么：v2=2ωL/cos60°vcos60°=2ωL/cos60°,v=8ωL.5.以物体为研究对象，开始时其动能Ek1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加.当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度vQ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图13，即vQ=vB1=vBcos45°=vB图13于是重物的动能增为Ek2=mvQ2=mvB2图13在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T、重力mg，物体上升的高度和重力做的功分别为h=H-H=〔-1〕HWG=-mgh=-mg〔-1〕H于是由动能定理得WT+WG=ΔEk=Ek2-Ek1即WT-mg〔-1〕H=mvB2-0所以绳子拉力对物体做功WT=mvB2+mg〔-1〕H6.〔1〕A加速下落，B加速后退，当A落地时，B速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.mg〔h-r〕=mvA2+mvB2 ①由图中几何知识知：h=cot30°·r=r②图14B的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图14图14由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以vA2=vB2即vAcos30°=vBsin30° ③解得vA=vB=〔2〕A球落地后反弹速度vA′=vA做竖直上抛运动的最大高度：Hm=二、小船渡河模型 求解小船渡河问题时，先要弄清小船的合运动就是实际运动，再按实际效果分解位移和速度，根据平行四边形定那么画矢量图，结合分运动与合运动的等时性和独立性列式。小船渡河常见的问题如下。 两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。 两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。例1、一条宽度为L的河，水流速度为，船在静水中速度为，那么：〔1〕怎样才能使渡河时间最短？〔2〕假设>，怎样才能使渡河位移最小？〔3〕假设<，怎样渡河才能使船行驶的距离最短？解析：〔1〕研究小船渡河问题时，可以把小船的渡河运动分解为两个运动，一个是小船在静水中的运动，另一个是水流的运动。船的实际运动为两者的合运动，如图2所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为，渡河所需要的时间为。可以看出：L、一定时，t随sinθ增大而减小。当θ=90°时，sinθ=1〔最大〕，即船头与河岸垂直时用时最短。〔2〕如图3所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有，即。因为，所以只有在时，船才有可能垂直河岸渡河。〔3〕假设，那么不管船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使船行驶的距离最短呢？如图4所示，设船头与河岸成θ角，合速度与河岸成α角。可以看出：α角越大，船行驶的距离s越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以的矢尖为圆心，的速度大小为半径画圆，当与圆相切时，α角最大。根据可知此时船沿河行驶的距离最短此时渡河的最短距离【举一反三】：设有一条河，其宽度为700m，河水均匀流动，流速为2m/s，汽船在静水中的行驶速度为4m/s。那么汽船的船头应偏向哪个方向行驶才能恰好到达河的正对岸？参考答案：与上游河岸成60°角平抛与类平抛运动［模型概述］带电粒子在电场中的偏转是中学物理的重点知识之一，在每年的高考中一般都与磁场综合，分值高，涉及面广，同时相关知识在技术上有典型的应用如示波器等，所以为高考的热点内容。［模型讲解］例.〔2005年常州调研〕示波器是一种多功能电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压波形，它的工作原理可等效成以下情况：如图1〔甲〕所示，真空室中电极K发出电子〔初速不计〕，经过电压为U1的加速电场后，由小孔S沿水平金属板A、B间的中心线射入板中。板长为L，两板间距离为d，在两板间加上如图1〔乙〕所示的正弦交变电压，周期为T，前半个周期内B板的电势高于A板的电势，电场全部集中在两板之间，且分布均匀。在每个电子通过极板的极短时间内，电场视作恒定的。在两极板右侧且与极板右端相距D处有一个与两板中心线〔图中虚线〕垂直的荧光屏，中心线正好与屏上坐标原点相交。当第一个电子到达坐标原点O时，使屏以速度v沿负x方向运动，每经过一定的时间后，在一个极短时间内它又跳回到初始位置，然后重新做同样的匀速运动。〔电子的质量为m，带电量为e，不计电子重力〕求：〔1〕电子进入AB板时的初速度；〔2〕要使所有的电子都能打在荧光屏上〔荧光屏足够大〕，图1〔乙〕中电压的最大值U0需满足什么条件？〔3〕要使荧光屏上始终显示一个完整的波形，荧光屏必须每隔多长时间回到初始位置？计算这个波形的峰值和长度，在如图1〔丙〕所示的坐标系中画出这个波形。解析：〔1〕电子在加速电场中运动，据动能定理，有。〔2〕因为每个电子在板A、B间运动时，电场均匀、恒定，故电子在板A、B间做类平抛运动，在两板之外做匀速直线运动打在屏上，在板A、B间沿水平方向的分运动为匀速运动，那么有：竖直方向，有，且，联立解得：只要偏转电压最大时的电子能飞出极板打在屏上，那么所有电子都能打在屏上，所以：〔3〕要保持一个完整波形，需要隔一个周期T时间回到初始位置，设某个电子运动轨迹如图2所示，有又知，联立得由相似三角形的性质，得：，那么峰值为波形长度为，波形如图3所示。［模型要点］带电粒子的类平抛运动模型其总体思路为运动的分解〔1〕电加速：带电粒子质量为m，带电量为q，在静电场中静止开始仅在电场力作用下做加速运动，经过电势差U后所获得的速度v0可由动能定理来求得。即。〔2〕电偏转：垂直电场线方向粒子做匀速，沿电场线方向粒子做匀加速，有：在交变电场中带电粒子的运动：常见的产生及变电场的电压波形有方行波，锯齿波和正弦波，对方行波我们可以采用上述方法分段处理，对于后两者一般来说题中会直接或间接提到“粒子在其中运动时电场为恒定电场”。〔3〕在电场中移动带电粒子时电场力做功及电势能变化的情况与重力做功即重力势能变化情况类比。推论：①粒子从偏转电场中射出时，速度的反向延长线与初速度的延长线的交点平分初速度方向的位移，即粒子好似从极板中点处沿直线飞离偏转电场，即②荷质比不同的正离子，被同一电场加速后进入同一偏转电场，它们离开偏转电场时的速度方向一定相同，因而不会分成三股，而是会聚为一束粒子射出。［误区点拨］①因为电场力做功与路径无关，所以利用电场加速粒子时，无所谓电场是匀强电场还是非匀强电场，如果只受电场力作用时都有。②由于根本粒子〔电子、质子、α粒子等〕在电场中受到电场力，所以根本粒子受到的重力忽略不计，但带电的宏观〔由大量分子构成〕小颗粒，小球，小液滴所受重力不能忽略。③不能穿出、恰能穿出、能穿出三种情况下粒子对应的位移与板长L的区别；侧位移与板间距的d或的区别。④在匀强电场中场强不变，但两点间的电势差要随距离的变化而变化，穿越电场过程的动能增量：〔注意，一般来说不等于qU〕【举一反三】〔2006年模考〕喷墨打印机的结构简图如图4所示，其中墨盒可以发出墨汁微滴，其半径约为，此微滴经过带电室时被带上负电，带电的多少由计算机按字体笔画上下位置输入信号加以控制，带电后的微滴以一定的初速度进入偏转电场，带电微滴经过偏转电场发生偏转后，打到纸上，显示出字体，无信号输入时，墨汁微滴不带电，径直通过偏转板而注入回流槽流回墨盒。设偏转板板长l＝1.6cm，两板间的距离为0.50cm，偏转板的右端距纸L＝3.2cm，假设一个墨汁微滴的质量为，以20m/s的初速度垂直于电场方向进入偏转电场，两偏转板间的电压是，假设墨汁微滴打到纸上点距原射入方向的距离是2.0mm。图4〔1〕求这个墨汁微滴通过带电室带的电量是多少？〔不计空气阻力和重力，可以认为偏转电场只局限在平行板电容器内部，忽略边缘电场的不均匀性〕〔2〕为了使纸上的字体放大10%，请你提出一个可行的方法。答案：〔1〕带电液滴的电量设为q，设进入偏转电场后做类平抛运动过程中的偏转为y1，离开电场后沿直线打到纸上过程中的偏转为y2，那么：由微滴打到纸上点距原入射方向的距离为：代入数据可得：α图1〔2〕由上式可知，Y与U成正比，可以提高偏转板间的电压U到8800V，实现字体放大10%；也可以增加偏转极板与纸的距离L，解得：。α图1【练习】图21、如图1所示，一高山滑雪运发动，从较陡的坡道上滑下，经过A点时速度v0=16m/s，AB与水平成θ=530角。经过一小段光滑水平滑道BD从D点水平飞出后又落在与水平面成倾角α＝的斜坡上C点．AB两点间的距离s1=10m，D、C两点间的距离为s2=75m，不计通过B点前后的速率变化，不考虑运动中的空气阻力。(取g=10m/s2，sin370=0.6)求：图2(1)运发动从D点飞出时的速度vD的大小；(2)滑雪板与坡道间的动摩擦因数．2、国家飞碟射击队进行模拟训练用如图2的装置进行。被训练的运发动在高为H=20m的塔顶，在地面上距塔的水平距离S处有一电子抛靶装置。圆形靶以速度竖直上抛。当靶被竖直上抛的同时，运发动立即用特制的手枪水平射击，子弹的速度。不计人的反响时间、抛靶装置的高度和子弹在枪膛中的运动时间，忽略空气阻力及靶的大小〔g=10m/s2〕。求：〔1〕当s取值在什么范围内，无论v2为何值都不能击中靶？〔2〕假设s=100m，v2=20m/s，请通过计算说明靶能否被击中？图33、如图3所示，水平放置的平行板电容器，原来两板不带电，上极板接地，它的极板长L=0.1m，两板间距离d=0.4cm，有一束相同微粒组成的带电粒子流从两板中央平行极板射入，由于重力作用微粒能落到下板上，微粒质量为m=2×10-6kg，电量q=1×10-8C，电容器电容为C=10-6F图3(1)为使第一粒子能落点范围在下板中点到紧靠边缘的B点之内，那么微粒入射速度v0应为多少？(2)以上述速度入射的带电粒子，最多能有多少落到下极板上？4、如图4所示，两平行金属板A．B长8cm，两板间距离d＝8cm，A板比B板电势高300V，一带正电的粒子电荷量q＝10-10C，质量m＝10-20kg，沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度υ0＝2×106m/s，粒子飞出平行板电场后经过界面MN．PS间的无电场区域后，进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域，〔设界面PS右边点电荷的电场分布不受界面的影响〕，两界面MN．PS相距为12cm，D是中心线RO与界面PS的交点，O点在中心线上，距离界面PS为9cm，粒子穿过界面PS最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上．〔静电力常数k=9．0×109N·m〔1〕求粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离多远？到达PS界面时离D点多远？〔2〕在图上粗略画出粒子运动的轨迹．〔3〕确定点电荷Q的电性并求其电荷量的大小．υυ0ORPbcSＬM12cm9cmABND图45、两块水平平行放置的金属板如图5中(甲)所示，大量电子(电子质量为m、电荷量为e)由静止开始，经电压为U0的电场加速后，连续不断地从两板正中间沿水平方向射人两板间．当两板均不带电时，这些电子通过两板之间的时间为3t0；当在两板间加如图(乙)所示的周期为2t0、幅值恒为U的周期性电压时，恰好能使所有电子均从两板间通过．求(1)这些电子飞离两板间时，侧向位移(即竖直方向上的位移)的最大值symax；(2)这些电子飞离两板间时，侧向位移的最小值symin。图图5答案：1．解：(1)由D到C平抛运动的时间为t竖直方向：HDc=s2sin37o=gt2’水平方向：s2cos370=vBt代得数据，解得vD=20m／s(2)A到B过程，运动加速a=gsinθ-µgcosθvB2—v02=2as1代人数据，解得µ=2/152解析：只要靶子在子弹的射程之外，无论靶的速度为何值，都无法击中；如果能击中，击中处一定在抛靶装置的正上方。根据平抛运动的规律：、水平方向：①竖直方向：②要使子弹不能击中靶，那么：③联立上面三式，并代入数据可得：设经过时间t1击中水平方向：④竖直方向：⑤靶子上升的高度：⑥联立上面三式，并代入数据得：，恰好等于塔高，所以靶恰好被击中。反思：解决平抛运动的关键是将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，然后从题设条件找准分解的矢量，并分解。3、解析：〔14分〕(1)假设第1个粒子落到O点，由＝v01t1＝gt12得v01＝2.5m/s假设落到B点，由L＝v02t1，＝gt22得v02＝5m/s故2.5m/s<v0<5m/s〔1分〕(2)由L＝v01t得t＝4×10-2s由＝at2得a＝2.5m/s2由mg－qE=ma，E=得Q＝6×10-6C所以＝600个4、〔1〕粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离〔侧向位移〕：y===0．03m=3cm带电粒子在离开电场后将做匀速直线运动，其轨迹与PS线交于a，设a到中心线的距离为Y．Y=4y=12cm 〔2〕第一段是抛物线．第二段必须是直线．第三段是圆．〔3〕带电粒子到达a处时，带电粒子的水平速度：υx=υ0=2×106m/s竖直速度：m/s所以υ=2．5×106m可以证明出速度方向垂直于Oa．由题的描述：粒子穿过界面PS最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏上，由此可以做出判断：该带电粒子在穿过界面PS后将绕点电荷Q作匀速圆周运动．Q带负电．半径cmQ=1．04×10-8C5、当平抛遇到斜面斜面上的平抛问题是一种常见的题型，本文通过典型例题的分析，希望能帮助大家突破思维障碍，找到解决方法。一．物体的起点在斜面外，落点在斜面上1.求平抛时间例1.如图1,以v0＝9.8m/s的水平初速度抛出的物体,飞行一段时间后,垂直地撞在倾角为30°的斜面上,求物体的飞行时间？图2图1解:由图2图2图1,∴s.2.求平抛初速度图3例2.如图3，在倾角为370的斜面底端的正上方H处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度。图3解：小球水平位移为，竖直位移为由图3可知，，又，解之得：.点评：以上两题都要从速度关系入手，根据合速度和分速度的方向〔角度〕和大小关系进行求解。而例2中还要结合几何知识，找出水平位移和竖直位移间的关系，才能解出最终结果。图43.求平抛物体的落点图4例3．如图4，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。假设小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，那么它落在斜面上的〔〕 A．b与c之间某一点 B．c点C．c与d之间某一点 D．d点解：当v水平变为2v0时，假设作过b点的直线be，小球将落在c的正下方的直线上一点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点，故A对.点评：此题的关键是要构造出水平面be，再根据从同一高度平抛出去的物体，其水平射程与初速度成正比的规律求解.二、物体的起点和落点均在斜面上此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角。一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向〔角度〕关系进行求解。1.求平抛初速度及时间图5例4.如图5,倾角为的斜面顶端，水平抛出一钢球，落到斜面底端，抛出点到落点间斜边长为L，求抛出的初速度及时间？图5解：钢球下落高度:，∴飞行时间t＝，水平飞行距离，初速度v0==cosθ图6BAv02.求平抛末速度及位移大小θ图6BAv0例5．如图6，从倾角为θ的斜面上的A点，以初速度v0，沿水平方向抛出一个小球，落在斜面上B点。求：小球落到B点的速度及A、B间的距离．解：〔1〕设小球从A到B时间为t，得，，由数学关系知，∴.小球落到B点的速度=，与v0间夹角.A、B间的距离为：s==.3.求最大距离例6.接上题，从抛出开始经多长时间小球离斜面的距离最大？最大距离是多少？θ图7BAv0v0vy1解法一：从抛出开始计时，设经过θ图7BAv0v0vy1由图7知，∴.，=,图8又,解得最大距离为：.图8点评：此题中要抓住题目的隐含条件，小球瞬时速度v与斜面平行时小球离斜面最远，再应用运动的合成与分解求解。还可以把运动分解成平行于斜面方向的匀加速运动和垂直于斜面方向的类似竖直上抛运动求解．解法二：沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标系，分解速度和加速度。4.证明夹角为一定值例7.从倾角为θ的斜面上某点以不同的初速度将同一小球水平抛出，试证明小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角α为一定值。证：如图8,小球竖直位移与水平位移间满足：,水平速度与竖直速度满足，可知,与初速度大小无关，因此得证.5.求时间之比例8.如图9，两个相对的斜面，倾角分别为和。在顶点把两个小球以相同初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。假设不计空气阻力，求A、B两个小球的运动时间之比.图9解：易知，，图9可知：故，∴.6、水平位移之比例9.如图10所示，AB为斜面，BC为水平面。从A点以水平速度v向右抛出一小球，其落点与A的水平距离为S1；从A点以水平速度2v向右抛出另一小球，其落点与A的水平距离为S2。不计空气阻力，那么S1：S2可能为〔〕。A.1：2 B.1：3 C.1图10误区：依平抛运动的公式推得x水平与v0成正比，故误认为选A图10辨析：忽略了落点在斜面上的情况。解：要考虑到落至斜面和落至平面上的不同情况。假设两次都落在平面上，那么A对；假设两次都落在斜面上，那么C对；假设第一次落在斜面上，第二次落在平面上，B就可能正确，其实只要介于1：2和1：4之间都可以，所以正确选项应为A、B、C。点评：考虑问题一定要全面，不要漏解。此题对选项B的判断用到临界法，确定了两种情况平抛运动的解，介于两者之间的也是符合题意的解。例10.〔2003年上海高考题〕如图11所示，一高度为的水平面在A点处与一倾角为θ＝30°的面连接。一小球以的速度在平面向右运动。求小球从A点运动到地面所需要的时间〔平面与斜面均光滑，取〕。图11图11那么由此可求得落地的时间t。问：你同意上述解法吗？假设同意，求出所需要的时间；假设不同意，那么说明理由并求出你认为正确的结果。解析：不同意。小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。落地与A点的水平距离斜面底宽因为，所以小球离开A点不会落到斜面，因此落地时间为平抛运动时间，故点评：此题考查的是平抛运动的知识，但题型新颖，且对考生有“误导”的作用。在考查学生应用根本知识解决实际问题的分析判断能力方面，不失为一个好题。练习：如图12所示，在水平地面上固定一倾角θ=37°、外表光滑且足够长的斜面体，物体A以v1=6m／s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。如果当A上滑到最高点时恰好被B物体击中。(A、B均可看作质点，sin37°=0.6，cos37°=0.8。g取10m／s。)求：图12图12〔1〕物体A上滑到最高点所用的时间t；〔2〕物体B抛出时的初速度；〔3〕物体A、B间初始位置的高度差h。[解题思路]从斜面外飞入遇到斜面，注意分解速度；从斜面上端飞出遇到斜面，斜面长度是位移大小，斜面倾角等于位移与水平方向夹角，注意分解位移。水流星模型(竖直平面内的圆周运动)研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。(圆周运动实例)=1\*GB3①火车转弯=2\*GB3②汽车过拱桥、凹桥3=3\*GB3③飞机做俯冲运动时，飞行员对座位的压力。=4\*GB3④物体在水平面内的圆周运动〔汽车在水平公路转弯，水平转盘上的物体，绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转〕和物体在竖直平面内的圆周运动〔翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等〕。=5\*GB3⑤万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、重力与弹力的合力——锥摆。〔关健要搞清楚向心力怎样提供的〕〔1〕火车转弯：设火车弯道处内外轨高度差为h，内外轨间距L，转弯半径R。由于外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合力F合提供向心力。(是内外轨对火车都无摩擦力的临界条件)①当火车行驶速率V等于V0时，F合=F向，内外轨道对轮缘都没有侧压力②当火车行驶V大于V0时，F合<F向，外轨道对轮缘有侧压力，F合+N=③当火车行驶速率V小于V0时，F合>F向，内轨道对轮缘有侧压力，F合-N'=即当火车转弯时行驶速率不等于V0时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度不宜过大，以免损坏轨道。火车提速靠增大轨道半径或倾角来实现〔2〕无支承的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况：〔常见绳、圆轨道题型〕受力：由mg+T=mv2/L知,小球速度越小,绳拉力或环压力T越小,但T的最小值只能为零,此时小球以重力提供作向心力.结论：通过最高点时绳子(或轨道)对小球没有力的作用(可理解为恰好通过或恰好通不过的条件)，此时只有重力提供作向心力.注意讨论：绳系小球从最高点抛出做圆周还是平抛运动。能过最高点条件：V≥V临〔当V≥V临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力〕不能过最高点条件：V<V临(实际上球还未到最高点就脱离了轨道)讨论：=1\*GB3①恰能通过最高点时：mg=，临界速度V临=；可认为距此点(或距圆的最低点)处落下的物体。☆此时最低点需要的速度为V低临=☆最低点拉力大于最高点拉力ΔF=6mg=2\*GB3②最高点状态:mg+T1=(临界条件T1=0,临界速度V临=,V≥V临才能通过)最低点状态:T2-mg=高到低过程机械能守恒:T2-T1=6mg(g可看为等效加速度)=2\*GB3②半圆：过程mgR=最低点T-mg=绳上拉力T=3mg；过低点的速度为V低=小球在与悬点等高处静止释放运动到最低点，最低点时的向心加速度a=2g=3\*GB3③与竖直方向成角下摆时,过低点的速度为V低=,此时绳子拉力T=mg(3-2cos)〔3〕有支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况：〔常见题型管道内圆周运动或者杆连接圆周运动〕①临界条件：杆和环对小球有支持力的作用当V=0时，N=mg〔可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点〕恰好好过最高点时，此时从高到低过程mg2R=低点：T-mg=mv2/RT=5mg；恰好过最高点时，此时最低点速度：V低=【模型总结】两个特殊位置：最高与最低点两个临界速度：最高点与最低点速度两个根本原理：向心力公式；机械能守恒或动能定理。水平方向的圆盘模型一、两种模型图1模型Ⅰ图1小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图1所示．物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力(设最大静摩擦力等于摩擦力)提供小物块做圆周运动所需的向心力．水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”．临界条件圆台转动的最大角速度ωmax=，当ω<ωmax时，小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道．模型Ⅱ火车拐弯类图2如图2所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg和轨道支持力N的合力F提供火车拐弯时所需的向心力．圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”图2临界条件假设v=，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；假设v>，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F之和提供火车拐弯时所需的向心力；假设v>，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F之差提供火车拐弯时所需的向心力．二、两种模型的应用【例1】如图3所示，半径为R的洗衣筒，绕竖直中心轴00'转动，小橡皮块P靠在圆筒内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ.现要使小橡皮块P恰好不下落，那么圆筒转动的角速度ω至少为多大?(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)图3图4【解析】此题属于“圆台转动类”，当小橡皮块P绕轴00'做匀速圆周运动时，小橡皮块P受到重力G、静摩擦力f和支持力N的作用，如图4所示.其中“恰好”是隐含条件，即重力与最大静摩擦力平衡fmax=G，μN=mg列出圆周运动方程N=mω2minR联立解得ωmin=【例2】在半径为R的半球形碗的光滑内面，恰好有一质量为m的小球在距碗底高为H处与碗保持相对静止，如图5所示．那么碗必以多大的角速度绕竖直轴在水平面内匀速转动?【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小球做匀速圆周运动时，其受到重力G和支持力F的作用，如图5所示.隐含条件一是小球与碗具有相同的角速度ω，隐合条件二是小球做匀速圆周运动的半径r=Rcosθ．图5列出圆周运动方程图5竖直方向上由平衡条件有Fsinθ-mg=0图6其中sinθ=图6联立解得ω=例3长度为l的细绳，两端分别固定在一根竖直棒上相距为l的A、B两点，一质量为m的光滑小圆环套在细绳上，如图6所示．那么竖直棒以多大角速度匀速转动时，小圆环恰好与A点在同一水平面内?【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小圆环做匀速圆周运动时，小圆环受到重力G、绳OB的拉力F和绳OA的拉力F的作用，如图7所示隐含条件一是小圆环与棒具有相同角速度ω，隐含条件二是小圆环光滑，两侧细绳拉力大小相等，隐含条件三是小圆环做匀速圆周运动的圆心为A点、半径为r(OA)．列出圆周运动方程F+Fcosθ=mω2r由平衡条件有Fsinθ-mg=0其中cosθ=，sinθ=图7联立解得ω=图7【练习】1、如图8所示，质量均为m的A、B两物体用细绳悬着，跨过固定在圆盘中央光滑的定滑轮．物体A与圆盘问的动摩擦因数为μ，离圆盘中心距离R．为使物体A与圆盘保持相对静止，那么圆盘角速度ω的取值范围为多少？〔设最大静摩擦力等于滑动摩擦力〕图图82、如图9所示，长度分别为l1和l2两细绳OA、OB，一端系在竖直杆，另一端系上一质量为m的小球，两细绳OA和OB同时拉直时，与竖直杆的夹角分别为30°、45°.那么杆以多大角速度转动时，两细绳同时且始终拉直？参考答案：1、图92、提示：分析两种特殊情况下的受力，即其中一个拉力刚好等于零时的受力。图9圆周运动中的轻绳、轻杆和轻弹簧圆周运动中常涉及到“轻绳”、“轻杆”和“轻弹簧”模型，“轻绳”“轻杆”及“轻弹簧”是由各种实际情况中的绳、杆和弹簧抽象出来的理想物理模型．作为这一类模型，一般情况下，“轻”往往是〔相对其他物体来说〕指其质量可以忽略，所受重力可以忽略，而绳和杆那么往往是其形体在同一直线上，且其长度不发生变化，而弹簧可以伸长也可以被压缩．由此导致这类模型在圆周运动中具有其特有的关系。一、轻绳对物体只能产生沿绳收缩方向的拉力

【例1】如图1所示，一摆长为L的单摆，摆球的质量为ｍ，要使摆球能在竖直平面内做完整的圆周运动，那么摆球在最底点的速度ｖ０至少要多大?图1解析小球在最高点的受力情况如图1所示，由牛顿第二定律得

ｍｇ＋Ｔ＝ｍｖ２／Ｌ，

由于ｍ、Ｌ一定，所以小球在最高点的速度ｖ越小，此时绳中拉力Ｔ就越小，当Ｔ＝0时，小球具有不脱离轨的最小速度，因此当ｖ０最小时，在最高点有

ｍｇ＝ｍｖ２／Ｌ，

从最底点到最高点，小球机械能守恒，有

〔1／2〕ｍｖ０２＝2ｍｇＬ＋〔1／2〕ｍｖ２，

由以上各式联立解得ｖ０的最小值为ｖ０＝．图1【总结】由于轻绳只能有拉力作用，因此只有当ｖ０≥才能使小球做完整的圆周运动．它的这种规律与竖直平面内放置一半径为L的轨道，小球在内轨做完整的圆周运动情况类似．

二、轻杆对物体既可以有拉力也可以有支撑力

【例2】在例1中，将轻绳换成轻杆，要使摆球能在竖直平面内做完整的圆周运动，在最底点小球的速度ｖ０至少要多大?解析如图2所示，小球在最高点既可以受到轻杆的拉力，又可以受到轻杆的支撑力，所以小球在最高点的合外力最小可以为零．因此，小球在最高点的速度最小且不脱离轨道，此速度可以为零．而小球在最高点的速度值ｖ＝那么是小球在最高点受到轻杆对它弹力方向变化的临界值．即ｖ＜时，轻杆对它有向上的支撑力；ｖ＝时，轻杆对它无作用力；ｖ＞时，轻杆对它有向下的拉力．从最底点到最高点，由机械能守恒定律得

〔1／2〕ｍｖ０２＝2ｍｇＬ，

解得ｖ０＝．图2图4图3【总结】由于轻杆对物体的作用既可以是拉力，又可以是支撑力，那么物体在竖直平面内做完整的圆周运动，在最底点的速度只要大于即可．它的这种规律与竖直平面内放置圆管，小球在圆管内做完整的圆周运动相类似．如图3所示．

三、轻弹簧对物体既可以有拉力，也可以有支持力，但长度随力的变化而变化

例3有原长为Ｌ０的轻弹簧，劲度系数为ｋ，一端系一质量为ｍ的物体，另一端固定在转盘上的Ｏ点，如图4所示．物块随同转盘一起以角速度ω转动，物块与转盘间的最大静摩擦力为ｆｍ图2图4图3【解析】由题意知，物块与转盘间有最大静摩擦力ｆｍ，当物块转动半径最小时，设为ｒ１，此时弹簧被压缩的量为Ｌ０－ｒ１，对物块而言，受有指向圆心的最大静摩擦力ｆｍ及弹簧的弹力Ｆ，且

Ｆ＝ｋ〔Ｌ０－ｒ１〕，

那么ｆｍ－ｋ〔Ｌ０－ｒ１〕＝ｍｒ１ω２，

解得ｒ１＝〔ｆｍ－ｋＬ０〕／〔ｍω２－ｋ〕．

当物块转动半径最大时，设为ｒ２，此时弹簧的伸长量为〔ｒ２－Ｌ０〕，对物块而言，受有指向圆心的弹簧的弹力Ｆ及最大静摩擦力ｆｍ，且

Ｆ＝ｋ〔ｒ２－Ｌ０〕，

那么ｋ〔ｒ２－Ｌ０〕－ｆｍ＝ｍｒ２ω２，

解得ｒ２＝〔ｆｍ＋ｋＬ０〕／〔ｋ－ｍω２〕．

所以物块所处的位置为

〔ｆｍ－ｋＬ０〕／〔ｍω２－ｋ〕≤ｒ≤〔ｆｍ＋ｋＬ０〕／〔ｋ－ｍω２〕．

由以上分析可看出，在具体问题中，要注意分清轻绳、轻杆和轻弹簧的区别，现列表如下进行比拟：类别特性作用力效果作用力方向形体在同一直线上的变化具体表达轻绳只能是拉力只能沿绳方向不变化轻杆既可以是拉力又可以是支撑力沿杆方向不变化轻弹簧既可以是拉力又可以是“推”力沿弹簧方向变化圆锥摆模型全透视一.圆锥摆模型1.结构特点：一根质量和伸长可以不计的细线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内做匀速圆周运动。2.受力特点：只受两个力即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图1所示。图图1二.常规讨论1.向心力和向心加速度设摆球的质量为m，摆线长为，与竖直方向的夹角为，摆球的线速度为，角速度为，周期为T，频率为。2.摆线的拉力有两种根本思路：当角时；当角未知时3.周期的计算设悬点到圆周运动圆心的距离为h，根据向心力公式有，由此可知高度相同的圆锥摆周期相同与无关。4.动态分析根据有，当角速度增大时，向心力增大，盘旋半径增大，周期变小。三.典型实例【例1】将一个半径为R的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，假设使质量为m的小球贴着碗的内壁在水平内以角速度做匀速圆周运动，如图2所示，求圆周平面距碗底的高度，假设角速度增大，那么高度、盘旋半径、向心力如何变化？图图2【解析】此题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。，故，圆周平面距碗底的高度为。假设角速度增大，那么有增大，高度h变大，盘旋半径变大，向心力变大。【点评】此题形式上不属于圆锥摆模型，但实质却为圆锥摆模型。图3【例2】一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度做匀速转动，在圆锥筒内壁的A处有一质量为m的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图3所示，在圆锥筒的角速度增大时，小球到锥底的高度，盘旋半径，向心力分别如何变化？图3解析：小球受两个力mg、作用，向心力，角速度增大时，由于角度不变，故向心力不变，盘旋半径r减小，小球到锥底的高度降低。点评：此题区别于例1，不属于圆锥摆模型，圆锥摆模型是当角速度发生变化时，圆锥摆顶点保持不变，即摆长不变，此题动态分析的结论和例1相反。例3.一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为，如图4所示，一条长为L的轻绳，一端固定在锥顶O点，另一端拴一质量为m的小球，小球以速率v绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：图4〔1〕当时，绳上的拉力多大？图4〔2〕当时，绳上的拉力多大？解析：当小球刚好对圆锥没有压力时求得小球的线速度〔1〕当，小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图5所示，用正交分解法解题，在竖直方向图图5在水平方向解得〔2〕当，小球做圆锥摆运动，且，设此时绳与竖直方向的夹角为，那么有解得因此点评：此题要先判断究竟物体是否属于圆锥摆模型。判断时，先根据临界条件，当圆锥体刚好对斜面没有压力时，求得小球的线速度为。当时，小球做圆锥摆运动，时，小球不做圆锥摆运动。同步卫星要弄清的七个问题同步卫星运转的周期与地球自转周期相同,相对于地球静止不动.有关同步卫星的知识在高考中屡次出现,成为考查的热点之一,很多学生对它的理解较为模糊.为了使学生加深理解,在教学中要向学生讲清以下七个问题.1同步卫星轨道为什么是圆而不是椭圆地球同步卫星的特点是它绕地轴运转的角速度与地球自转的角速度相同,是/静止0在赤道上空某处相对于地球不动的卫星,这一特点决定了它的轨道只能是圆.因为如果它的轨道是椭圆,那么地球应处于椭圆的一个焦点上,卫星在绕地球运转的过程中就必然会出现近地点和远地点,当卫星向近地点运行时,卫星的轨道半径将减小,地球对它的万有引力就变大,卫星的角速度也变大;反之,当卫星向远地点运行时,卫星的轨道半径将变大,地球对它的万有引力就减小,卫星的角速度也减小,这与同步卫星的角速度恒定不变相矛盾,所以同步卫星轨道不是椭圆,而只能是圆.2为什么同步卫星的轨道与地球赤道共面假设卫星发射在北纬某地的上空的B点,其受力情况如图1所示,由于该卫星绕地轴做圆周运动所需的向心力只能由万有引力的一个分力F1提供,而万有引力的另一个分力F2就会使该卫星离开B点向赤道运动,除非另有一个力F'恰好与F2平衡(但因F'没有施力物体,所以F'是不存在的),所以卫星假设发射在赤道平面的上方(或下方)某处,那么卫星在绕地轴做圆周运动的同时,也向赤道平面运动,它的运动就不会稳定,从而使卫星不能与地球同步,所以要使卫星与地球同步运行,必须要求卫星的轨道与地球赤道共面.如果将卫星发射到赤道上空的A点,那么地球对它的万有引力F全部用来提供卫星绕地轴做圆周运动所需要的向心力,此时卫星在该轨道上就能够以与地球相同的角速度绕地轴旋转,此时该卫星才能够“停留”在赤道上空的某点,实现与地球的自转同步,卫星就处于一种相对静止状态中.3为什么所有同步卫星的高度都是一样的在赤道上空的同步卫星,它受到的唯一的力——万有引力提供卫星绕地轴运转所需的向心力.当卫星的轨道半径r(或离地面的高度h)取某一定值时,卫星绕地轴运转就可以与地球自转同步,两者的周期均为T=24h.设地球质量为M,地球半径为R0,卫星质量为m,离地面的高度为h,那么有将R0=6400km,G=6.67×10-11N·m2/kg2,M=6.0×1024kg,T=24h=86400s代入上式得h=3.6×104km，即同步卫星距离地面的高度相同(均为h=3.6×104km),必然定位于赤道上空的同一个大圆上.赤道上空的这一位置被科学家们喻为“黄金圈”,是各国在太空主要争夺的领域之一.4各国发射的同步卫星会相撞吗由上述的分析可知:所有的同步卫星都在距地面的高度均为h=3.6×104km的大圆上,那么由v=ω(R0+h)=2π(R0+h)/T=3.1km/s,故它们的线速度都相同,这些卫星就如同在同一跑道上以相同速度跑步的运发动一样,它们之间处于相对静止,不会出现后者追上前者的现象.因此只要发射时未撞上,5同步卫星是如何发射和回收的同步卫星的发射,通常都采用变轨发射的方法.如图2所示,先是用运载火箭把卫星送入近地圆轨道1,待卫星运行状态稳定后,在近地点(a点),卫星的火箭开始点火加速,把卫星送入椭圆轨道2(称为转移轨道)上,椭圆轨道的远地点(b点)距地心距离等于同步轨道半径.以后再在地面测控站的控制下,利用遥控指令选择在远地点启动星载发动机点火加速,使卫星逐步调整至同步圆轨道3运行.相反,对返回式卫星(或飞船)在回收时,应在远地点和近地点分别使卫星(或飞船)减速,使卫星从高轨道进入椭圆轨道,再回到近地轨道,最后进入大气层,落回地面.6同步卫星发射过程中的“4个速率”的大小关系如图2所示,设卫星在近地圆轨道1上a点的速率为v1,在椭圆轨道2经过a点的速率为v2,在椭圆轨道2经过b点的速率为v3,在圆轨道3经过b点的速率为v4,比拟这4个速率的大小关系.(1)圆轨道上卫星速率的比拟在圆轨道上卫星以地心为圆心做匀速圆周运动,设地球质量为M,卫星质量为m,由卫星所受的万有引力提供向心力,即GMm/r2=mv2/r.得v=(GM/r)1/2说明卫星离地面越高,速率越小,故v1>v4.(2)椭圆轨道上近地点和远地点卫星速率的比拟当卫星在椭圆轨道2上运行时,由机械能守恒定律可知,卫星在近地点的速率大于卫星在远地点的速度,即v2>v3.(3)火箭点火前、后卫星速率的比拟在近地点(a点),卫星的火箭开始点火加速,点火加速后卫星的速率大于点火前的速率.故在椭圆轨道2经过a点的速率为v2大于卫星在近地圆轨道1上a点的速率为v1,即v2>v1;同理,卫星在圆轨道3经过b点的速率为v4大于在椭圆轨道2上经过b点的速率为v3,即v4>v3;所以4个速率的关系为v2>v1>v4>v37为什么要至少发射三颗同步卫星且对称分布在同一轨道上,才能实现全球通信因地球同步卫星与地球的自转周期相同,其数值均为T=24h.同步卫星离地高度h一定,即h=3.6×104km,如图3所示.地球同步卫星发射的电磁波沿直线传播,所以一颗地球同步卫星所发出的电磁波能覆盖赤道上下方的范围是DE区cosθ=OE/OC=R0/R0+h=0.510那么θ=81.30所以DOE对应的圆心角2θ=162.60,覆盖整个赤道至少需要的卫星个数为n=3600/162.20=2.2。因此,要实现全球通信,至少需发射三颗地球同步卫星且对称分布在同一轨道上(图4).黄金代换公式的应用1、火星的质量和半径分别约为地球的和，地球外表的重力加速度为g，那么火星外表的重力加速度约为A．0.2gB．0.4gC．2.5gD．答案：B2、宇航员在地球外表以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；假设他在某星球外表以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。〔取地球外表重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计〕〔1〕求该星球外表附近的重力加速度g、；〔2〕该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。答案：，3、宇航员在月球外表完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球〔可视为质点〕如下图，当施加给小球一瞬间水平冲量I时，刚好能使小球在竖直面内做完整的圆周运动.圆弧轨道半径为，月球的半径为R，万有引力常量为G.(1)假设在月球外表上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？(2)轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？解答：设月球外表重力加速度为g，月球质量为M.在圆孤最低点对小球有：I=mv0……①∵球刚好完成圆周运动，∴小球在最高点有…………②从最低点至最上下点有：……③由①②③可得∵在月球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度∴当环月卫星轨道半径为2R时，有……④……⑤将黄金代换式GM=gR2代入⑤式4、〔09年江苏物理〕3．英国《新科学家〔NewScientist〕》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，假设某黑洞的半径约45km，质量和半径的关系满足〔其中为光速，为引力常量〕，那么该黑洞外表重力加速度的数量级为A．B．C．D．答案：C解析：处理此题要从所给的材料中，提炼出有用信息，构建好物理模型，选择适宜的物理方法求解。黑洞实际为一天体，天体外表的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞外表的某一质量为m物体有：，又有，联立解得，带入数据得重力加速度的数量级为，C项正确。5、一颗人造地球通讯卫星〔同步卫星〕定位在东经100.0°的上空，那么该卫星能覆盖地球外表多大的范围〔经度范围、纬度范围〕？〔地球半径R0=6.4×106m，地球外表处的重力加速度g=9.8m/s2，地球的自转周期T=8.64×104s，sin73°=0.956，cos81.4°=0.15，cos80.8°=0.16，〕设地球质量为M，卫星质量为m，卫星轨道半径为R GM=R2 由图可知Rcosθ=R0 解得θ=arccos θ=81.4° 卫星覆盖地球外表的范围：东经100.0°—81.4°=18.6°到西经178.6°，南纬81.4°到北纬81.4°。【评注】卫星问题是高考的热点，每年都有表达。分析卫星问题的关键：一是画好截面图〔赤道平面截面图或某一经线平面截面图〕，二是抓住两个关系式〔万有引力等于向心力和黄金代换公式〕。要能灵活应用地理知识分析卫星问题。6、据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球外表重量为600N的人在这个行星外表的重量将变为960N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为〔B〕A、0.5B、2C、3.2D、4解析:由题意可以得到g、=1.6g;由黄金代换GM=gR2可以得到解得R、=2R行星模型［模型概述］所谓“行星”模型指卫星绕中心天体，或核外电子绕原子旋转。它们隶属圆周运动，但涉及到力、电、能知识，属于每年高考必考内容。［模型讲解］例1.氢原子处于基态时，核外电子绕核运动的轨道半径，那么氢原子处于量子数1、2、3，核外电子绕核运动的速度之比和周期之比为：〔〕A.；B.C.D.以上答案均不对。解析：根据经典理论，氢原子核外电子绕核作匀速率圆周运动时，由库仑力提供向心力。即，从而得线速度为周期为又根据玻尔理论，对应于不同量子数的轨道半径与基态时轨道半径r1有下述关系式：。由以上几式可得v的通式为：所以电子在第1、2、3不同轨道上运动速度之比为：而周期的通式为：所以，电子在第1、2、3不同轨道上运动周期之比为：由此可知，只有选项B是正确的。例2.卫星做圆周运动，由于大气阻力的作用，其轨道的高度将逐渐变化〔由于高度变化很缓慢，变化过程中的任一时刻，仍可认为卫星满足匀速圆周运动的规律〕，下述关于卫星运动的一些物理量的变化情况正确的选项是：〔〕A.线速度减小；B.轨道半径增大；C.向心加速度增大；D.周期增大。解析：假设轨道半径不变，由于大气阻力使线速度减小，因而需要的向心力减小，而提供向心力的万有引力不变，故提供的向心力大于需要的向心力，卫星将做向心运动而使轨道半径减小，由于卫星在变轨后的轨道上运动时，满足，故增大而T减小，又，故a增大，那么选项C正确。评点：一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运动速率及轨道半径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运动即变轨运动；而当它所受万有引力刚好提供向心力时，它的运行速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运动，我们称为稳定运行。对于稳定运动状态的卫星，(1)运行速率不变；(2)轨道半径不变；(3)万有引力提供向心力，即成立，其运行速度与其运动轨道处于一一对应关系，即每一轨道都有一确定速度相对应。而不稳定运行的卫星那么不具备上述关系，其运行速率和轨道半径都在发生着变化。［模型要点］人造卫星的运动属于宏观现象，氢原子中电子的运动属于微观现象，由于支配卫星和电子运动的力遵循平方反比律，即，故它们在物理模型上和运动规律的描述上有相似点。公式类似适用条件质点点电荷都是理想模型研究对象有质量的两个物体带有电荷的两个物体类似相互作用引力与引力场电场力与静电场都是场作用方向两质点连线上两点电荷的连线上相同实际应用两物体间的距离比物体本身线度大得多两带电体间的距离比带电体本身线度大得多相同适用对象引力场静电场不同［特别说明］一.线速度与轨道半径的关系设地球的质量为M，卫星质量为m，卫星在半径为r的轨道上运行，其线速度为v，可知，从而。设质量为、带电量为e的电子在第n条可能轨道上运动，其线速度大小为v，那么有，从而。可见，卫星或电子的线速度都与轨道半径的平方根成反比。二.动能与轨道半径的关系卫星运动的动能为。氢原子核外电子运动的动能为：可见，在这两类现象中，卫星与电子的动能都与轨道半径成反比。三.运动周期与轨道半径的关系对卫星而言，，将v与r的关系式代入，得。对于电子，同样可得到这个关系式。该式即为开普勒第三定律，解题时可以直接使用。四.能量与轨道半径的关系运动物体能量等于其动能与势能之和，即。从离地球较远轨道向离地球较近轨道运动，万有引力做正功，势能减少，动能增大，总能量减少从离氢原子较远轨道向离氢原子较近轨道运动，库仑力做正功，电势能减少，动能增大，总能量减少。推论：卫星〔或电子〕的轨道半径与卫星〔或电子〕在该轨道上的能量的乘积不变。由于描述运动规律的各物理量都是轨道半径r的函数，故各个物理量之间的关系都可以通过r这个桥梁来相互转化，一个量变化，其他各量都随之变化。五.地球同步卫星1.地球同步卫星的轨道平面：非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。2.地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。3.地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有与地球自转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径为。其离地面高度也是一定的，距地面高度处。4.地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为，为定值，绕行方向与地球自转方向相同。［误区点拨］天体运动问题：人造卫星的轨道半径与中心天体半径的区别；人造卫星的发射速度和运行速度；卫星的稳定运行和变轨运动；赤道上的物体与近地卫星的区别；卫星与同步卫星的区别。人造地球卫星的发射速度是指把卫星从地球上发射出去的速度，速度越大，发射得越远，发射的最小速度，恰好是在地球外表附近的环绕速度，但人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面上所需要的发射速度就越大。混淆连续物和卫星群：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，而对卫星来讲，其线速度。双星系统中的向心力中的距离与圆周运动中的距离的差异。练习：1、我们假设地球绕太阳运动时的轨道半长轴为为，公转周期为，火星绕太阳运动的轨道半径为，公转周期为，那这些物理量之间应该满足怎样的关系？ 2、以下说法中正确的选项是〔ABCD〕A.大多数人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球处在这些椭圆的一个焦点上B.人造地球卫星在椭圆轨道上运动时速度是不断变化的；在近日点附近速率大，远地点附近速率小；卫星与地心的连线，在相等时间内扫过的面积相等C.大多数人造地球卫星的轨道，跟月亮绕地球运动的轨道，都可以近似看做为圆，这些圆的圆心在地心处D.月亮和人造地球卫星绕地球运动，跟行星绕太阳运动，遵循相同的规律3、关于开普勒定律，以下说法正确的选项是〔ABC〕A.开普勒定律是根据长时间连续不断的、对行星位置观测记录的大量数据，进行计算分析后获得的结论B.根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度随行星与太阳之间距离的变化而变化，距离小时速度大，距离大时速度小C.行星绕太阳运动的轨道，可以近似看做为圆，即可以认为行星绕太阳做匀速圆周运动D.开普勒定律，只适用于太阳系，对其他恒星系不适用；行星的卫星〔包括人造卫星〕绕行星的运动，是不遵循开普勒定律的4、地球绕太阳的运行轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化。冬至这天地球离太阳最近，夏至最远。以下关于地球在这两天绕太阳公转速度大小的说法中，正确的选项是〔B〕 A．地球公转速度是不变的B．冬至这天地球公转速度大C．夏至这天地球公转速度大D．无法确定5、关于行星的运动说法正确的选项是〔BD〕A、行星半长轴越长，自转周期越大B、行星半长轴越长，公转周期越大C、水星半长轴最短，公转周期最大D、冥王星半长轴最长，公转周期最大6、木星绕太阳的公转周期是地球绕太阳公转周期的12倍，那么木星轨道半长轴是地球轨道半长轴的多少倍？【解析】：根据开普勒第三定律有圆周运动中的“双星模型”宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动。如图6所示，这种结构叫做双星．双星问题具有以下两个特点：

⑴由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。

⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由可得，可得，，即固定点O离质量大的星较近。列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在此题中为r1、r2，千万不可混淆。【例1】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图1所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。如图1

如图1

〔1〕可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m’的星体〔视为质点〕对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m’〔用m1、m2表示〕；

〔2〕求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；

〔3〕恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。假设可见星A的速率v＝2．7×105m/s，运行周期T＝4．7π×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？〔G＝6．67×10－11N·m2/kg2，ms＝2．0×1030kg〕

解析：设A、B的圆轨道半径分别为，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有，，设A、B间距离为，那么由以上各式解得由万有引力定律，有，代入得令，通过比拟得

〔2〕由牛顿第二定律，有

而可见星A的轨道半径

将代入上式解得

〔3〕将代入上式得

代入数据得设，将其代入上式得

可见，的值随的增大而增大，试令，得

可见，假设使以上等式成立，那么必大于2，即暗星B的质量必大于，由此可得出结论：暗星B有可能是黑洞。【例2】两个带异种电荷的粒子A和B，带电量分别为5q和—q，质量分别为5m和m，两者相距L，它们之间除了相互作用的电场力之外，不受其他力的作用。假设要始终保持粒子A、B之间的距离不变，那么关于这两粒子运动情况的描述正确的选项是〔〕都做匀速圆周运动，且运动速率相同都做匀速圆周运动，且运动周期相同都做匀速圆周运动，且向心加速度大小相同不一定做匀速圆周运动AL1L2O5mm分析：要始终保持粒子A、B之间的距离不变，它们必须绕共同质心做匀速圆周运。这类似天体运动中的“双星模型AL1LO5mm设它们做圆周运动的角速度为ω，如下图：根据向心力公式可得：k＝5mL1ω2＝mL2ω2有因为L＝L1＋L2解得vA＝ωL1＝vB＝所以只有B正确。评析：这道题是电学中的力学题目，电荷间的库仑力与天体运动中的万有引力非常相似。因此我们用“双星模型”来解这道电学题目，就可以问题得到简单化。通过例子我们可以总结建立物理模型的根本程序通过审题，摄取题目信息。如物理现象〔圆周运动、某个方向抛出、磁场或电场中偏转等〕、物理事实〔发热、停下来、匀速、平衡等〕、物理情景、物理状态、物理过程。弄清题目中所给信息的诸多因数中什么是其主要因数。例如在受力分析时，物体受重力、支持力、拉力、摩擦力等作用，当我们分析水平面上的运动情况时，有时就可忽略掉竖直方向上的作用。又如在分析带电粒子〔质子、电子、α粒子等根本粒子〕在电场、磁场或电场和磁场组成的复合场中的受力时，往往可以忽略掉重力的作用〔有特别说明例外〕。在寻找与已有信息〔某种知识、方法、模型〕的相识、相近或联系，通过类比联想或抽象概括，或逻辑推理，或原型启发，建立新的物理模型，将新情景问题“难题”转化为常规命题。选择相关的物理规律求解。自转公转问题1、〔09年广东物理〕5．发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近A．地球的引力较大B．地球自转线速度较大C．重力加速度较大D．地球自转角速度较大答案：B解析：由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道，在靠进赤道处的地面上的物体的线速度最大，发射时较节能，因此B正确。2、〔09年海南物理〕6．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为、，那么A． B．D． D．答案：D解析：此题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供,可求出地球的质量.然后根据,可得该行星的密度约为2.9×104kg/m3。3、〔09年北京卷〕22.〔16分〕地球半径为R，地球外表重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。〔1〕推导第一宇宙速度v1的表达式；〔2〕假设卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。解析：〔1〕设卫星的质量为m,地球的质量为M,在地球外表附近满足得①卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力②①式代入②式，得到 〔2〕考虑式，卫星受到的万有引力为③由牛顿第二定律④③、④联立解得4、〔09年宁夏卷〕15.地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看作是圆形的。木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，那么木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为A.0.19B.0.44C.2.3D.5.2答案：B5、〔09年广东理科根底〕11．宇宙飞船在半径为R1的轨道上运行，变轨后的半径为R2，R1>R2。宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，那么变轨后宇宙飞船的A．线速度变小B．角速度变小C．周期变大D．向心加速度变大答案：D解析：根据得，可知变轨后飞船的线速度变大，A错；角速度变大B错，周期变小C错；向心加速度在增大D正确。6、〔09年重庆卷〕17.据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球外表分别约为200Km和100Km，运动速率分别为v1和v2，那么v1和v2的比值为〔月球半径取1700Km〕A.B.C,D.答案：D解析：由可知，甲的速率大，甲碎片的轨道半径小，故B错；由公式可知甲的周期小故A错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错；碎片的加速度是指引力加速度由得，可知甲的加速度比乙大，故D对。7、〔09年四川卷〕15.据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径2～A. B. C. D.8、〔09年安徽卷〕15.2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱A.甲的运行周期一定比乙的长B.甲距地面的高度一定比乙的高C.甲的向心力一定比乙的小D.甲的加速度一定比乙的大答案：C解析：当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，引力变大，探测器做近心运动，曲率半径略为减小，同时由于引力做正功，动能略为增加，所以速率略为增大。地球同步卫星【模型概述】①一般卫星与同步卫星运行轨道的区别：由于卫星作圆周运动的向心力必须由地球给它的万有引力来提供，所以所有的地球卫星包括同步卫星，其轨道圆的圆心都必须在地球的的球心上。②同步卫星是跟地球自转同步，故其轨道平面首先必须与地球的赤道圆面相平行。又因做匀速圆周运动的向心力由地球给它的万有引力提供，而万有引力方向通过地心，故轨道平面就应与赤道平面相重合。③一般卫星的轨道平面、周期、角速度、线速度、轨道半径都在一定的范围内任取。而同步卫星的周期、角速度、线速度、轨道半径都是确定的。二者的质量〔动能、势能、机械能〕都不确定。【举一反三】1、同步卫星是指相对地面不动的人造地球卫星〔D〕A.它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值B.它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的C.它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值D.它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的。2、可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道〔CD〕A.当地球外表上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆B.与地球上某一经线决定的圆是共面同心圆C.与地球上赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球外表静止D.与地球上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球外表是运动的注意：人造卫星的轨道平面是不转动的，经线是转动的。3〔04广西高考〕某颗地球同步卫星正下方的地球外表上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天〔太阳光直射赤道〕在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？地球半径为R，地球外表处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。解析：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，有：①春分时，如下图，圆E表示轨道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心，由图可以看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后〔设地球自转是沿图中逆时针方向〕，其正下方的观察者将看不见它，据此再考虑对称性，有②阳光OθA阳光OθAS④由以上各式解得⑤4、〔09年山东卷〕18．2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343P地球QP地球Q轨道1轨道2B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C．飞船在此圆轨道上