吉林省长春市二道区2023-2024学年上学期八年级期末数学试题（解析版）

PAGE1吉林省长春市二道区2023--2024学年度上学期八年级期末数学试题八年级质量调研数学试题温馨提示：请在答题卡上指定区域内作答，在草稿纸上、试题卷上答题无效！一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.下列四个实数中，是无理数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐项判断即可得．【详解】解：A、属于有理数，则此项不符合题意；B、是分数，属于有理数，则此项不符合题意；C、是无理数，则此项符合题意；D、有限小数，属于有理数，则此项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了无理数，熟记定义是解题关键．2.如图，数轴上表示的点在（）A.线段上 B.线段上 C.线段上 D.线段上【答案】B【解析】【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算出的大小是解题的关键．先估算的大小，进一步估算的大小，再结合数轴表示数的方法即可得出答案．【详解】解：，即，，即，观察数轴可得表示的点在线段上，故选：B．3.一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（）A.10 B.13 C.7 D.14【答案】A【解析】分析】由勾股定理解答．【详解】解：由题意得，直角三角形的斜边为：故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4.下表是长春市2023年12月日每天最高气温的统计表：日期12月8日12月9日12月10日12月11日12月12日最高气温日期12月13日12月14日12月15日12月16日12月17日最高气温在这10天中，最高气温为出现的频率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查频数与频率的知识，熟练掌握频率的计算是解题的关键．根据频率频数总数，计算即可．【详解】解：在这10天中，最高气温为出现的频率是．故选：C．5.若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据多项式乘多项式法则，可得，从而求出a，b的值，进而即可求解．【详解】解：∵，，∴=，∴-5+a=b，-5a=-10，∴a=2，b=-3，∴=-6-2-3=-11，故选A．【点睛】本题主要考查整式的运算以及解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．6.如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（）A.带①②去 B.带②③去 C.带①④去 D.带①③去【答案】B【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：由①②可确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①②能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以A选项不符合题意；由②③只能确定原三角形的一个角，则带碎片②③不能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以B选项符合题意；由①④能确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①④能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以C选项不符合题意；由①③能确定原三角形的三个角三条边，则带碎片①③能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以D选项不符合题意．故选：B．7.将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了角平分线的判定，解题的关键是根据角平分线的判定定理得到是的平分线，再计算即可．【详解】解：两把长方形直尺的宽度相同，点到射线、的距离相等，射线是的平分线，，，，故选：C．8.如图，在凸五边形ABCDE中，，，，，，则凸五边形ABCDE的面积等于（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，然后根据直角三角形的面积和梯形的面积，可以计算出凸五边形ABCDE的面积．【详解】解：作EG⊥AC于点G，作BF⊥AC于点F，作DH⊥AC于点H，则∠EGA＝∠AFB＝∠BFC＝∠CHD＝90°，∴∠EAG＋∠AEG＝90°，∵AB⊥AE，BC⊥CD，∴∠EAB＝∠BCD＝90°，∴∠EAG＋∠FAB＝90°，∴∠AEG＝∠BAF，在△EAG和△ABF中，，∴△EAG≌△ABF（AAS），∴AG＝BF，EG＝AF，同理可证：△BFC≌△CHD，∴BF＝CH，CF＝DH，设AG＝x，EG＝y，CF＝z，则BF＝CH＝x，AF＝y，DH＝z，∴S凸五边形ABCDE＝S△AEG＋S△AFB＋S△BFC＋S△CDH＋S梯形EGHD＝＝，∵y＋z＝AF＋FC＝AC＝m，∴＝12m2，即凸五边形ABCDE的面积等于12m2，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.计算：________．【答案】【解析】【分析】本题考查整式的运算中积的乘方及整式除法，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．先算积的乘方，再从左到右依次计算；【详解】解：，故答案为：．10.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．11.若在一张长方形纸片中按照如图所示的方法剪裁后制作一个体积为的正方体，正方体展开图的边都与长方形纸片的边平行或垂直，则该长方形纸片的最小面积为________．【答案】48【解析】【分析】本题考查了正方体的展开图相关的知识理解和应用能力，找出长方形纸片面积最小的图形是解题的关键．根据正方体的体积求出其边长，再观察图形即可计算出长方形面积的最小值．【详解】解：∵正方体的体积为，

∴正方体的棱长为,

当长方形纸片的面积最小时，为：，

故答案为：48．12.如图，要测量池塘两岸M，N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点D再画出的垂线，使点E与A，C在一条直线上．若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为________m．【答案】13【解析】【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．

由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出．【详解】解：，．

在和中，∴，,

,．

故答案为：13．13.如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P．连接PB、PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是______．【答案】20°【解析】【分析】连接AP，由MP为线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AP=BP，同理可得AP=CP，等量代换可得AP=BP=CP，然后根据等边对等角可得∠ABP=∠BAP，∠PAC=∠ACP及∠PBC=∠PCB，由已知的∠BAC的度数求出∠BAP+∠CAP的度数，等量代换可得∠ABP+∠ACP的度数，同时根据三角形的内角和定理可得∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=110°，进而得到∠PBC+∠PCB的度数，再根据两角相等，即可求出所求角的度数．【详解】连接AP，如图所示：∵MP为线段AB的垂直平分线，∴AP=BP，∴∠ABP=∠BAP，又PN为线段AC的垂直平分线，∴AP=CP，∴∠PAC=∠ACP，∴BP=CP，∴∠PBC=∠PCB，又∠BAC=∠BAP+∠CAP=70°，∴∠ABP+∠ACP=70°,且∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=110°，∴∠PBC+∠PCB=40°，则∠PBC=∠PCB=20°.故答案为20°【点睛】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于作辅助线.14.如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为________．【答案】32【解析】【分析】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理求出的长．由题意得：,求出,由勾股定理求出,即可求出阴影的周长．【详解】解：由题意得：,，由勾股定理得：，∴阴影的周长．故答案为：32．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．直接利用有理数的乘方运算法则、二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．【详解】解：原式．16.下面是小明同学化简求值过程，请你认真阅读并完成相应的任务．先化简，再求值：，其中．解：原式……第一步……第二步……第三步当时，原式．……第四步（1）小明同学第________步开始出现错误．（2）写出正确的化简求值过程．【答案】（1）二（2），，过程见解析【解析】【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．（1）根据去括号，合并同类项法则判断即可；（2）去括号，合并同类项，代入计算即可．【小问1详解】解：第二步错误，去括号没有变号．故答案为：第二步；【小问2详解】原式．当时，原式．17.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．（1）如图，可以用来解释恒等式________．①②③（2）使用你选出的恒等式完成下面的题目：已知：，，求的值．【答案】（1）②（2）【解析】【分析】此题主要考查了几何背景下的乘法公式，准确识图，熟练掌握乘法公式的结构特征是解决问题的关键．（1）根据图形的面积即可得出答案；（2）根据，得,然后将，，代入计算即可得出答案．【小问1详解】解：从整体上看是一个边长为的正方形，∴这个正方形的面积为：，

另一方面，该正方形是由两个边长分别为a，b的正方形及两个长为a，宽为b的长方形组成，∴面积为：，，故答案为：②．【小问2详解】∵∴当，时，得，即．18.如图，在中，，是的平分线，．（1）求证：．（2）若，，则________．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质及判定：等边对等角、等角对等边及三线合一的性质，勾股定理，熟记性质定理是解题的关键．（1）利用平行线的性质及等腰三角形的性质及判定即可证明；（2）利用三线合一的性质，勾股定理即可求出．【小问1详解】解：∵，∴．∵，∴．∴．∴．【小问2详解】中，，是的平分线，，，在中,故答案为：13．19.为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）求本这次调查的总人数．（2）请补全条形统计图．（3）求A组人数占本次调查人数的百分比．（4）在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为________度．【答案】（1）100人（2）见解析（3）（4）【解析】【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，（2）计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据A组的人数和求出的总人数，即可计算A组所占的百分比；（4）再进一步计算B组所占的圆心角度数即可．【小问1详解】解：这次调查的学生人数是：（人）答：本这次调查的总人数为100人．【小问2详解】D组的人数为：（人）．【小问3详解】A所占的百分比为：．答：A组人数占本次调查人数的百分比为．【小问4详解】B组所占的圆心角是：．故答案为：．20.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．（1）在图①中找一格点B，连接，使线段．（2）在图②中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且．（3）在图③中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且腰长为5．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键．（1）使为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可．（2）结合等腰三角形的判定与性质，使边上的高为2即可．（3）使和都是直角边分别为3和4直角三角形的斜边即可．小问1详解】解：为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可，如图所示：符合题意的点有4个，点B即为所求．【小问2详解】当边上的高为2时，得到如下3个符合题意的三角形，等腰即为所求．【小问3详解】当和都是直角边分别为3和4时，得到符合题意的3个三角形，等腰即为所求．21.某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：测量示意图测量数据边的长度①测得水平距离的长为15米．②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风箏离地面的垂直高度．请完成以下任务．（1）已知：如图，在中，，，．求线段的长．（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？【答案】（1）线段的长为9.7米（2）米【解析】【分析】本题考查了勾股定理解决实际问题：（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；（2）根据勾股定理计算即可得到结论．【小问1详解】解：如图，在Rt△ABC中，，，，由勾股定理，可得，（米）．答：线段AD的长为9.7米．【小问2详解】如图，当风筝沿DA方向再上升12米，，在中，，，由勾股定理，可得，则应该再放出（米），答：他应该再放出8米长的线．22.【问题背景】如图①，在中，，，点D为直线上的一点（不与B、C重合），连结，将线段绕点D顺时针方向旋转，点A的对应点为点E，连结．请探究图中线段和之间的数量关系．【问题初探】如果点D为线段上一点，通过观察、交流，小明形成了以下解题思路：过点E作交的延长线于点E，如图②所示．先证明________，得________，________；再由条件，可得，从而可证明为等腰直角三角形，进而可得线段和之间的数量关系是________．【问题发展】如图③，如果点D是射线上一点，以上结论是否依然成立，如果成立说明理由．【答案】【问题初探】；；；．【问题发展】成立．理由见解析【解析】【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．【问题初探】过点E作交的延长线于点F，得出，进而得出，得出，进而判断出，从而可证明为等腰直角三角形，即可得出结论；【问题发展】同【问题初探】的方法即可得出结论．【详解】解：【问题初探】过点E作交的延长线于点F，如图②所示．，由旋转知，，，，，，，，，，，，，，，为等腰直角三角形，，故答案为：；．（2）成立．理由如下：如图所示：过点E作，交线段于点H，由题意可知：，．∴．∵，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，即，∴△EHB是等腰直角三角形，∴，即．23.感知：为了求代数式的值，我们必须知道a的值．若，则这个代数式的值为________，若，则这个代数式的值为________，若，则这个代数式的值为________，……可见．这个代数式的值因a的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来找到这个代数式值的范围．探索：把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：，因为是非负数，所以这个代数式的最小值是________，此时相应的a的值是________．应用：试说明代数式有最大值，并求出最大值及相应的a的值．【答案】感知：4，5，8探索：4，应用：当时，有最大值，最大值是2023【解析】【分析】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，非负数的性质：感知：将的值代入计算即可；探索：根据非负数的性质即可得出答案；应用：先把给出的代数式进行因式分解，再根据非负数的性质即可得到答案．【详解】解：感知：若，则这个代数式的值为，若，则这个代数式的值为，若，则这个代数式的值为，故答案为：4，5，8；探索：，是非负数，这个代数式