2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数学收敛理论在信号处理中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学收敛理论在信号处理中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.设函数项级数{s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>在区间I上一致收敛于S(x)，则下列说法正确的是（）。(A)若{s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>中每个s<0xE2><0x82><0x99>(x)都在I上连续，则S(x)在I上连续。(B)若{s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>中每个s<0xE2><0x82><0x99>(x)都在I上可积，则S(x)在I上可积。(C)若{s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>中每个s<0xE2><0x82><0x99>(x)都在I上可导，则S(x)在I上可导。(D)一致收敛保证了S(x)在I上Riemann可积。2.级数∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>∞(x+1)<0xE1><0xB5><0xA3>/n<0xE1><0xB5><0xA3>在x=0处收敛，在x=-2处发散，则该级数在x=1处（）。(A)收敛(B)发散(C)收敛且绝对收敛(D)条件收敛3.函数f(x)=sin(1/x)在区间(0,1]上有定义，下列说法正确的是（）。(A)lim<0xE1><0xB5><0xA3>→0<0xE2><0x82><0x86>f(x)存在。(B)f(x)在(0,1]上连续。(C)f(x)在(0,1]上可以原函数。(D)极限∫<0xE1><0xB5><0xA3>=0<0xE2><0x82><0x82>1f(x)dx存在。4.设f(x)是以2π为周期的奇函数，其傅里叶级数展开式为∑<0xE1><0xB5><0xA3>=0<0xE2><0x82><0x82>b<0xE1><0xB5><0xA3>sin(nx)，则a<0xE1><0xB5><0xA3>=0且b<0xE1><0xB5><0xA3>=()。(A)(2/π)∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0f(x)sin(nx)dx(B)(2/π)∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0f(x)cos(nx)dx(C)∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0f(x)sin(nx)dx(D)∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0f(x)cos(nx)dx5.设信号x(t)的傅里叶变换为X(jω)，则信号y(t)=x(2t-5)的傅里叶变换Y(jω)为（）。(A)(1/2)X(jω/2)e<0xE2><0x82><0x82>j5ω(B)2X(jω/2)e<0xE2><0x82><0x82>j5ω(C)(1/2)X(jω/2)(D)X(jω/2)e<0xE2><0x82><0x82>j5ω二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题后的横线上。）6.级数∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>∞[(-1)<0xE1><0xB5><0xA3>/(2<0xE1><0xB5><0xA3>+1)]收敛性为________。7.幂级数∑<0xE1><0xB5><0xA3>=0<0xE2><0x82><0x82>a<0xE1><0xB5><0xA3>(x-1)<0xE1><0xB5><0xA3>在x=2处收敛，则其收敛半径R=________。8.若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)的傅里叶级数在该区间上________收敛于f(x)。9.已知信号f(t)的傅里叶变换F(jω)=π[u(ω+1)-u(ω-1)]，其中u(ω)是单位阶跃函数，则f(t)=________。10.根据采样定理，一个频带限制在(0,B)Hz内的连续时间信号，可以不失真地由其每隔Ts采样的离散时间序列表示，只要满足________条件。三、计算题（每小题8分，共24分。）11.判断级数∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>∞(lnn)<0xE1><0xB5><0xA3>/n<0xE1><0xB5><0xA3>的收敛性。12.求函数f(x)=x^2在区间[-π,π]上的傅里叶级数展开式（只写出系数表达式）。13.已知信号x(t)=e<0xE2><0x82><0x82>tu(-t)+e<0xE2><0x82><0x82>^-tu(t)，求其傅里叶变换X(jω)。四、证明题（每小题10分，共20分。）14.证明：若函数项级数{s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>在区间I上一致收敛，且每个s<0xE2><0x82><0x99>(x)都在I上连续，则其和函数S(x)在I上连续。15.设f(x)是以2π为周期的连续函数，且其傅里叶系数为a<0xE1><0xB5><0xA3>和b<0xE1><0xB5><0xA3>。证明Parseval定理：∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0|f(x)|^2dx=(π/2)[a<0xE1><0xB5><0xA3>^2+∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>∞(b<0xE1><0xB5><0xA3>^2+a<0xE1><0xB5><0xA3>^2)]。试卷答案一、选择题1.(A)2.(B)3.(D)4.(A)5.(A)二、填空题6.发散7.18.绝对9.(2/π)sin(πt)10.采样频率大于等于信号最高频率三、计算题11.解析思路：考察正项级数比较判别法或极限判别法。观察通项(lnn)^n/n^n，指数n远大于对数n，考虑使用比值判别法或根值判别法。使用根值判别法更直接：lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞√<0xE1><0xB5><0xA3>[(lnn)^n/n^n]=lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞(lnn)/n=0。由于极限小于1，根据根值判别法，级数收敛。（或考虑(lnn/n)^n≈e^(nln(lnn/n))=e^(nln(1/n))=e^(-nlnn)，指数部分趋于负无穷，故幂级数形式发散，原级数收敛。）答案：收敛。12.解析思路：求傅里叶级数展开式。由于f(x)=x^2在[-π,π]上是偶函数，其傅里叶级数只含余弦项（a<0xE1><0xB5><0xA3>，b<0xE1><0xB5><0xA3>=0）。a<0xE1><0xB5><0xA3>=(1/π)∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>πx^2cos(nx)dx使用分部积分法两次求解a<0xE1><0xB5><0xA3>。设u=x^2,dv=cos(nx)dx=>du=2xdx,v=(1/n)sin(nx)∫x^2cos(nx)dx=(x^2/n)sin(nx)-∫(2x/n)sin(nx)dx继续对∫(2x/n)sin(nx)dx使用分部积分：设u=2x/n,dv=sin(nx)dx=>du=(2/n)dx,v=-(1/n)cos(nx)∫(2x/n)sin(nx)dx=-(2x/n^2)cos(nx)+∫(2/n^2)cos(nx)dx=-(2x/n^2)cos(nx)+(2/n^3)sin(nx)将结果代回：∫x^2cos(nx)dx=(x^2/n)sin(nx)-[-(2x/n^2)cos(nx)+(2/n^3)sin(nx)]=(x^2/n)sin(nx)+(2x/n^2)cos(nx)-(2/n^3)sin(nx)在[-π,π]上积分，由于sin(nπ)=sin(-nπ)=0,cos(nπ)=(-1)^n：a<0xE1><0xB5><0xA3>=(1/π)[(π^2/n)sin(nπ)+(2π/n^2)cos(nπ)-(2/n^3)sin(nπ)]-(1/π)[((-π)^2/n)sin(-nπ)+(2(-π)/n^2)cos(-nπ)-(2/n^3)sin(-nπ)]=(1/π)[(2π/n^2)(-1)^n-(2/n^3)(0)]-(1/π)[(2π/n^2)(-1)^n-(2/n^3)(0)]=(4π/n^2)(-1)^n-(4π/n^2)(-1)^n=0a<0xE1><0xB5><0xA3>=(2π/n^2)(-1)^nb<0xE1><0xB5><0xA3>=0故展开式为x^2=∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>(2π/n^2)(-1)^ncos(nx)。答案：x^2=∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>(2π/n^2)(-1)^ncos(nx)。13.解析思路：求傅里叶变换。信号x(t)=e<0xE2><0x82><0x82>tu(-t)+e<0xE2><0x82><0x82>^-tu(t)。利用傅里叶变换的线性性质和时移特性。令f1(t)=e<0xE2><0x82><0x82>tu(-t)，f2(t)=e<0xE2><0x82><0x82>^-tu(t)。对f1(t)进行傅里叶变换F1(jω)：F1(jω)=∫<0xE2><0x82><0x82>∞e<0xE2><0x82><0x82>t(-e<0xE1><0xB5><0xA3>ωt)dt=∫<0xE2><0x82><0x82>0e^(-jωt)dt=[e^(-jωt)/(-jω)]<0xE2><0x82><0x82>0=(1/-jω)[1-lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞e^(-jωt)]。由于lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞e^(-jωt)=0(ω≠0)，F1(jω)=1/(-jω)=j/(ω)。注意f1(t)是实偶函数，其傅里叶变换F1(jω)也是实偶函数，故F1(jω)=j/ω。对f2(t)进行傅里叶变换F2(jω)：F2(jω)=∫<0xE2><0x82><0x82>0e<0xE2><0x82><0x82>^-te<0xE1><0xB5><0xA3>ωtdt=∫<0xE2><0x82><0x82>0e^(-t(1-jω))dt=[e^(-t(1-jω))/(-(1-jω))]<0xE2><0x82><0x82>0=(1/(1-jω))[1-lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞e^(-t(1-jω))]。由于lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞e^(-t(1-jω))=0(1-jω)≠0)，F2(jω)=1/(1-jω)。注意f2(t)是实偶函数，其傅里叶变换F2(jω)也是实偶函数，故F2(jω)=1/(1-jω)。利用傅里叶变换的时移特性：若f(t)<->F(jω)，则f(at)<->(1/|a|)F(j(ω/a))。对于f1(t)和f2(t)，a=1。因此，F1(jω)=j/ω(ω≠0)，F2(jω)=1/(1-jω)。x(t)=f1(t)+f2(t)，其傅里叶变换X(jω)=F1(jω)+F2(jω)=j/ω+1/(1-jω)。合并：X(jω)=j/ω+(1-jω)/((1-jω)(1+jω))=j/ω+(1-jω)/(1-ω^2)X(jω)=(j(1-ω^2)+ω(1-jω))/(ω(1-ω^2))=(j-jω^2+ω-jω^2)/(ω(1-ω^2))X(jω)=(j+ω-2jω^2)/(ω(1-ω^2))=(jω+1-2jω^2)/(ω(1-ω^2))答案：X(jω)=(jω+1-2jω^2)/(ω(1-ω^2))。四、证明题14.证明思路：证明连续性。利用一致收敛的定义和连续性保持定理。设{s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>在I上一致收敛于S(x)，则∀ε>0,∃N>0,当m,n≥N时，对所有x∈I，有|s<0xE2><0x82><0x99>(x)-s<0xE2><0x82><0x9B>(x)|<ε/3。又因为每个s<0xE2><0x82><0x99}(x)都在I上连续，取n=N，则∀x∈I,有|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-s<0xE2><0x82><0x9B>(x)|<ε/3。所以∀x∈I,|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-S(x)|≤|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-s<0xE2><0x82><0x9B>(x)|+|s<0xE2><0x82><0x9B}(x)-S(x)|<ε/3+ε/3=2ε/3。再取m=N，则∀x∈I,|s<0xE2><0x82><0x9B}(x)-S(x)|<ε/3。所以∀x∈I,|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-S(x)|≤|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-s<0xE2><0x82><0x9B>(x)|+|s<0xE2><0x82><0x9B}(x)-S(x)|<ε/3+ε/3=2ε/3。结合以上两点，∀x∈I,|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-S(x)|<ε/3+2ε/3=ε。因此，S(x)在I上连续。证毕。15.证明思路：利用傅里叶级数收敛定理（Dirichlet条件）和Parseval定理的离散形式。由狄利克雷收敛定理，f(x)的傅里叶级数在x点收敛于[f(x+0)+f(x-0)]/2。由于f(x)在[0,2π]上连续，f(x+0)=f(x-0)=f(x)。故级数在每点收敛于f(x)。Parseval定理（离散形式）指出：∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0|f(x)|^2dx=(π/2)[a<0xE1><0xB5><0xA3>^2+∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>∑<0xE1><0xB5><0xA3>=0<0xE2><0x82><0x82>b<0xE1><0xB5><0xA3>^2*N<0xE1><0xB5><0xA3><0xE1><0xB5><0xA3>]其中N<0xE1><0xB5><0xA3><0xE1><0xB5><0xA3>是第k个傅里叶系数c<0xE1><0xB5><0xA3>的归一化因子。对于标准傅里叶系数a<0xE1><0xB5><0xA3>和b<0xE1><0xB5><0xA3>，归一化因子N<0xE1><0xB5><0xA3><0xE1><0xB5><0xA3>=1/2π。Parseval定理（离散形式简化）可以写作：2π∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0|f(x)|^2dx=π[a<0xE1><0xB5>