2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数学建模与机器学习的结合

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学建模与机器学习的结合考试时间：______分钟总分：______分姓名：______考生注意：请根据题目要求，在规定时间内完成所有题目。答题时请书写清晰，保证卷面整洁。一、简述数学建模在解决实际科学问题中的作用与基本步骤。并说明机器学习技术如何能够增强或扩展传统数学建模的能力。二、考虑一个资源受限的物流配送问题。给定若干个需求点，每个需求点有特定的需求量；同时给定一个配送中心，拥有有限的初始库存和运输能力。目标是在满足所有需求点的需求的前提下，最小化总的运输成本或时间。请设计一个数学模型，该模型应能体现优化思想，并阐述如何可以引入机器学习技术来改进模型的预测、决策或优化过程。例如，如何利用机器学习预测需求、评估路径风险或优化库存分配。三、描述监督学习的基本原理。选择一种具体的监督学习算法（如线性回归、逻辑回归、支持向量机、决策树等），简要说明其核心思想、主要参数及其作用。设想一个能够应用该算法解决的实际问题（不限领域），详细说明你会如何进行数据准备、特征工程、模型训练、参数调优以及结果评估。在讨论中，指出该算法可能存在的局限性，以及如何思考克服这些局限性的方法（可结合数学建模的思路）。四、在处理高维复杂数据时，降维技术常被用于特征选择和可视化。主成分分析（PCA）是一种常用的线性降维方法。请解释PCA的基本原理，包括如何通过特征向量和特征值来提取主成分。讨论PCA的优缺点，并说明在某些情况下，PCA可能不是最佳选择。提出至少一种可以替代或补充PCA的机器学习方法，并解释其适用场景及与PCA相比的优势。五、假设你需要构建一个预测模型来评估某金融资产（如股票、债券）的未来价格走势。该模型需要综合考虑多种因素，包括历史价格数据、宏观经济指标（如GDP增长率、利率）、市场情绪指标（可能需要通过文本分析获得）以及公司基本面信息。请设计一个包含数学建模和机器学习元素的框架来构建此预测模型。明确说明模型的不同组成部分，每个部分分别运用了哪些数学工具或机器学习技术，以及它们如何协同工作。讨论在模型构建和评估过程中可能遇到的数据挑战和应对策略。六、讨论集成学习方法（如随机森林、梯度提升树）的基本思想。与单个机器学习模型相比，集成学习方法在提高预测精度和鲁棒性方面有哪些优势？请结合具体的数学或统计概念（如偏差-方差权衡、模型集成、Bagging、Boosting）解释这些优势的来源。设想一个场景，集成学习方法可能特别适用，并说明理由。试卷答案一、数学建模通过将实际问题抽象化为数学结构，能够简化复杂系统，提供定量分析框架，揭示问题内在规律，为决策提供科学依据。其基本步骤通常包括：问题理解与界定、模型假设、模型构建（选择数学工具、建立方程式或逻辑关系）、模型求解（解析或数值方法）、模型验证（与实际数据对比）和模型应用与修正。机器学习技术可以增强传统数学建模的能力：1）处理高维、非线性、大规模数据，传统模型难以有效刻画；2）进行数据驱动建模，从数据中自动发现隐藏模式和规律，补充或修正基于先验知识的模型；3）构建预测模型，对系统未来状态进行预测，而传统模型可能侧重解释当前状态或最优策略；4）优化复杂决策问题，特别是在模型中难以明确表达目标或约束时，利用强化学习等技术进行在线学习和决策。二、数学模型可以采用线性规划或整数规划等形式。设决策变量为从配送中心到各需求点的运输量，目标函数为总运输成本（运输量乘以单位成本）或总运输时间（运输量乘以单位时间），约束条件包括：各需求点的需求量必须得到满足；配送中心的运输能力（包括初始库存和途中可用量）不能超过限制；运输量不能为负。此模型侧重于确定最优的运输量分配。引入机器学习可改进：1）需求预测：利用历史数据训练时间序列模型或回归模型（如ARIMA、LSTM、梯度提升树），预测各需求点的未来需求量，将预测值代入优化模型，使计划更具前瞻性；2）路径优化：结合实时路况、天气等数据，训练预测模型（如基于树的模型）评估不同路径的潜在延误或风险，在优化模型中加入风险加权的时间或成本，或使用强化学习算法动态规划最优路径；3）动态库存分配：根据各需求点的紧急程度、支付能力等软信息，利用机器学习模型（如分类器或聚类算法）对需求点进行分层，在优化时给予不同权重，实现更灵活的库存分配策略。三、监督学习通过学习带有标签的训练数据，建立输入特征与输出标签之间的映射关系，以实现对新数据的预测。其基本原理包括：通过一个学习算法（如梯度下降、牛顿法等），从训练数据中找到一个模型参数（或结构）的集合，使得模型在预测训练样本时的误差（如均方误差、交叉熵）最小。常见的算法及其说明：线性回归，假设输出与输入特征之间存在线性关系Y≈W^TX+b。核心思想是通过最小化预测值与实际值之间的平方差（损失函数）来估计参数W和b。主要参数W（权重）表示各特征对输出的影响程度，b（偏置）表示当所有特征为0时的输出值。逻辑回归，用于二分类问题，输出为概率值。核心思想是通过Sigmoid函数将线性组合W^TX+b映射到[0,1]区间，该值作为属于正类别的概率。主要参数W和b同样通过最大似然估计或梯度下降优化。决策树，通过递归地划分特征空间来构建决策模型。核心思想是基于特征值对样本进行多次二元划分，形成树状结构，每个叶节点对应一个类别或预测值。主要参数包括分裂标准（如信息增益、基尼不纯度）、最大树深度、最小样本分割数等，这些参数影响树的复杂度和泛化能力。支持向量机（SVM），寻找一个最优超平面，使得不同类别的样本点到该超平面的距离最大化。核心思想是利用核技巧将数据映射到高维空间，使得样本线性可分，并求解对偶优化问题得到最优超平面参数。主要参数是核函数选择及其参数、正则化参数C。选择算法需根据问题特性（如数据线性可分性、是否需要解释性、样本量大小等）决定。应用问题示例：预测房价。数据准备：收集房屋面积、房间数、地理位置（经纬度）、建造年代等特征和对应房价标签。特征工程：创建新特征如“每平米价格”、“距离市中心距离”。模型训练：选择线性回归或梯度提升树进行训练。参数调优：对线性回归调整正则化参数防止过拟合；对梯度提升树调整学习率、树的数量、深度等。结果评估：使用均方根误差（RMSE）或决定系数（R^2）评估模型在测试集上的预测性能。局限性：线性回归假设线性关系，对非线性问题效果差；逻辑回归对输入特征的尺度敏感；决策树易过拟合；SVM对核函数选择和数据尺度敏感。克服方法：可结合数学建模思想，如使用多项式回归增强线性模型能力，或利用正则化理论指导参数选择；也可考虑使用更复杂的模型（如神经网络）或集成学习方法。四、主成分分析（PCA）是一种线性降维技术，旨在将高维数据投影到低维空间，同时保留尽可能多的数据方差。其基本原理如下：首先计算数据集的协方差矩阵，该矩阵反映了各维度特征之间的线性关系。然后对协方差矩阵进行特征值分解，得到一组特征向量（主成分方向）和对应的特征值（方差贡献度）。选择前k个特征值最大的特征向量作为新的坐标轴，将原始数据投影到由这k个主成分张成的低维子空间上。投影后的数据保留了原始数据的主要变异信息。优点：计算简单高效，尤其适用于大规模数据；能够去除特征间的线性相关性，简化模型；有助于可视化高维数据。缺点：仅能进行线性降维，无法捕捉数据中的非线性结构；对数据的尺度敏感，需先进行标准化；主成分是原始特征的线性组合，解释性可能下降；可能丢失重要的非线性信息。当数据中存在显著的非线性关系，或特征间存在复杂的交互时，PCA可能不是最佳选择。可替代或补充的方法：线性判别分析（LDA），目标是在降维的同时最大化类间差异并最小化类内差异，适用于分类问题，其降维方向具有类别可分性。t-分布随机邻域嵌入（t-SNE），主要用于高维数据可视化，侧重保持局部结构相似性，生成的低维表示能很好地展示数据点间的相似关系。自编码器（Autoencoder），一种神经网络结构，通过学习一个编码器将高维数据压缩到低维表示，再通过解码器尝试恢复原始数据，能够学习到数据的非线性潜在结构。主成分回归（PCR）或偏最小二乘回归（PLS），在回归问题中结合降维和回归，先通过PCA或PLS降维，再用降维后的特征进行模型训练。优势在于这些方法能更好地处理非线性关系或保留更丰富的结构信息。五、构建金融资产价格走势预测模型，可采用以下包含数学建模和机器学习元素的框架：1）数据获取与预处理（数学建模基础）：收集历史价格数据（收盘价、开盘价、最高价、最低价）、交易量、宏观经济指标（如GDP、CPI、利率）、公司财报数据（营收、利润、负债）、市场情绪指标（通过新闻文本分析，提取情绪得分或关键词频率，可使用时间序列分析或主题模型）。对数据进行清洗（处理缺失值、异常值）、标准化/归一化处理（消除量纲影响），这是后续机器学习模型应用的基础。2）特征工程（数学建模与机器学习结合）：基于原始数据构建新的、更有预测能力的特征。例如，计算技术指标（如移动平均线、MACD、RSI，涉及数学运算）；利用时间序列分析方法（如ARIMA模型）预测未来短期指标值；利用文本分析技术（如LDA主题模型、情感分析）量化市场情绪；构建基本面因子模型（如Fama-French模型，涉及线性回归）。这一步融合了数学计算、统计建模和文本挖掘技术。3）模型选择与训练（机器学习核心）：根据预测目标（如分类：涨/跌；回归：价格具体数值）选择合适的机器学习算法。*监督学习：若预测未来是否上涨，可选逻辑回归、支持向量机、随机森林、梯度提升树（如XGBoost、LightGBM）。若预测未来价格具体数值，可选线性回归、支持向量回归、随机森林回归、神经网络。训练时，将预处理后的数据和特征作为输入，价格（或涨跌标签）作为输出，在历史数据上训练模型。4）模型评估与调优（机器学习与数学建模验证）：使用交叉验证等方法评估模型在未见数据上的泛化能力。计算评估指标（如分类问题用准确率、精确率、F1分数、AUC；回归问题用RMSE、MAE、R^2）。根据评估结果调整模型参数（如学习率、树的数量、正则化参数），优化模型性能。这一步也运用了统计学中的模型选择和评估理论。5）集成与部署（综合应用）：可考虑使用集成学习方法（如堆叠多个不同模型的结果）提高预测稳定性。将最终训练好的模型部署到实际应用中，进行实时或定期的价格预测。挑战与策略：数据挑战包括数据量巨大、特征维度高、数据质量参差不齐（如宏观经济数据发布滞后、文本数据噪音大）、市场非平稳性（模型需要持续更新）。应对策略：采用大数据处理技术；利用特征选择方法降低维度；建立模型监控和自动更新机制；结合多种信息源（量化、基本面、另类数据）；进行严格的模型验证和风险管理。六、集成学习方法通过组合多个“弱学习器”（单个模型）来构建一个“强学习器”（最终模型），旨在提高整体预测的精度和鲁棒性。其基本思想源于统计学中的Bagging（BootstrapAggregating）和Boosting策略。Bagging通过自助采样（BootstrapSampling）生成多个不同的训练子集，独立训练多个基学习器，最后通过投票（分类）或平均（回归）的方式组合它们的预测结果。Boosting则是一个迭代过程，每次迭代都专注于前一轮预测错误的样本，调整样本权重，训练一个新的基学习器，最终将所有基学习器的预测加权组合起来。优势来源：1）降低偏差（Bias）：单个模型可能存在系统偏差，无法捕捉数据中的所有模式。集成学习通过组合多个模型，可以平均掉不同模型各自的偏差，使得最终模型更接近真实目标函数，从而提高预测精度。2）降低方差（Variance）：单个模型对训练数据的微小波动非常敏感（高方差）。Bagging通过平均多个模型的预测，平滑了预测结果，降低了方差。Boosting通过聚焦于难样本，也有效降低了整体预测的方差。3）模型稳定性与鲁棒性：单个模型的预测结果可能不稳定。集成学习的结果通常更稳定，不易受到单个模型失败的影响，对噪声和异常值更鲁棒。4）捕捉复杂模式：不同的基学习器可能从数据中学习到不同的模式或特征，集成后能够更全面地刻画数据复杂结构。数学/统计概念解释：偏差-方差权衡理论解释了模型复杂度与泛化能力之间的矛盾，集成学习通过平衡多个模型的贡献，力求在两者间取得更好的平衡。模型集成思想本身就是一种“合成大于部分之和”的哲学，旨在利用组合效应产生优于单个组件的效果。Bagg