2025年大学《数理基础科学》专业题库-数理基础科学中的数列收敛理论

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数理基础科学中的数列收敛理论考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.下列数列中，收敛的是（）。(A){(-1)^n/n}(B){n/2^n}(C){n!/n^n}(D){sin(n)}2.数列{a_n}收敛于A，若lim(n→∞)(a_n+a_{n+1})=2A，则A等于（）。(A)0(B)1(C)-1(D)任意实数3.数列{a_n}收敛于A，{b_n}收敛于B，则下列说法正确的是（）。(A){a_n+b_n}发散(B){a_nb_n}发散(C){a_n/b_n}(B≠0)收敛于A/B(D){a_n-b_n}收敛于A-B4.下列数列中，收敛的是（）。(A){(-1)^n}(B){nsin(1/n)}(C){ln(n)}(D){n^2/e^n}5.数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=sqrt(2+a_n)，则{a_n}（）。(A)发散(B)收敛于2(C)收敛于-2(D)收敛，但极限不为2或-26.数列{a_n}收敛，数列{b_n}发散，则下列说法可能正确的是（）。(A){a_n+b_n}收敛(B){a_nb_n}收敛(C){a_nb_n}发散(D){a_n/b_n}(b_n≠0)收敛7.若数列{a_n}收敛，则下列数列一定收敛的是（）。(A){na_n}(B){a_n^2}(C){1/a_n}(a_n≠0)(D){sqrt(a_n)}(a_n≥0)8.数列{a_n}收敛的必要条件是（）。(A){a_n}有界(B)lim(n→∞)|a_n|存在(C)对任意ε>0，存在N，当n>N时，|a_n-a|<ε(D){a_n}单调9.下列说法正确的是（）。(A)单调数列必定收敛(B)有界数列必定收敛(C)收敛数列必定单调(D)若数列{a_n}收敛，{b_n}发散，则{a_n+b_n}发散10.若数列{a_n}满足0≤a_n≤1，且lim(n→∞)(a_n+1/a_n)=2，则{a_n}（）。(A)收敛于1(B)收敛于0(C)发散(D)无法判断二、填空题1.数列{a_n}收敛于A，则lim(n→∞)(a_n^2)=________。2.若数列{a_n}收敛于0，则lim(n→∞)(sin(a_n)/a_n)=________。3.数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=1+1/a_n，则lim(n→∞)a_n=________。4.数列{a_n}收敛于A，{b_n}发散，则lim(n→∞)(a_n+b_n)=________。5.若数列{a_n}满足0<a_1<1，a_{n+1}=1-sqrt(1-a_n)，则{a_n}________（填收敛或发散）。三、判断题1.若数列{a_n}收敛，{b_n}发散，则{a_nb_n}必定发散。（）2.若数列{a_n}收敛，则其任意子数列都收敛。（）3.若数列{a_n}收敛于A，{b_n}收敛于B，且A>B，则存在N，当n>N时，有a_n>b_n。（）4.若数列{a_n}单调递增且有界，则{a_n}必定收敛。（）5.若数列{a_n}满足lim(n→∞)|a_{n+1}-a_n|=0，则{a_n}必定收敛。（）四、解答题1.讨论数列{a_n}=n/(n+1)的收敛性。若收敛，求其极限。2.讨论数列{a_n}=(-1)^n*(1-1/n)的收敛性。3.数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=1+1/(1+a_n)，证明{a_n}收敛，并求其极限。五、证明题1.证明：单调有界数列必定收敛。2.证明：若数列{a_n}收敛于A，且A>0，则存在N，当n>N时，有a_n>0。试卷答案一、选择题1.B2.B3.D4.B5.B6.C7.D8.A9.D10.A二、填空题1.A^22.13.14.不存在5.收敛三、判断题1.错2.对3.对4.对5.错四、解答题1.解：数列{a_n}=n/(n+1)=1-1/(n+1)。因为lim(n→∞)(1/(n+1))=0，所以lim(n→∞)a_n=1-0=1。故数列收敛，极限为1。2.解：因为lim(n→∞)(1/n)=0，所以lim(n→∞)(1-1/n)=1。又因为(-1)^n在正负之间交替，所以数列{a_n}=(-1)^n*(1-1/n)在-1和1之间交替，不存在极限。故数列发散。3.解：首先证明数列有界。因为a_1=1，a_2=1+1/2=1.5>1，假设a_n≥1，则a_{n+1}=1+1/(1+a_n)≤1+1/2=1.5>1。由数学归纳法可知，对任意n，a_n≥1。又因为a_{n+1}=1+1/(1+a_n)<1+1/2=1.5，所以数列有上界1.5。数列单调性：a_{n+2}-a_{n+1}=[1+1/(1+a_{n+1})]-[1+1/(1+a_n)]=(1/(1+a_{n+1}))-(1/(1+a_n))=[(a_n-a_{n+1})]/[(1+a_{n+1})(1+a_n)]。因为a_n≥1，所以1+a_{n+1}>0,1+a_n>0。因为数列有界，所以数列不可能无限增大，也不可能无限减小，故数列单调递减。单调有界数列必定收敛。设极限为L，则L=1+1/(1+L)，解得L=(1+sqrt(5))/2。故数列收敛，极限为(1+sqrt(5))/2。五、证明题1.证明：设数列{a_n}单调递增且有上界M。由单调有界原理知，{a_n}必定收敛。设极限为A。对任意ε>0，因为{a_n}收敛于A，存在N，当n>N时，|a_n-A|<ε。即A-ε<a_n<A+ε。因为{a_n}单调递增，所以a_N≤a_n<A+ε。又因为{a_n}有上界M，所以a_N≤M。因此A-ε<a_N≤M。因为ε>0，所以A≤M。故极限A为数列的上确界，即A≤M。从而证明了单调有界数列必定收敛。2.证明：因为数列{a_n}收敛于A，且A>0，由收敛数列的定义，对任意ε>0，存在N，当n>N时