2025年大学《数理基础科学》专业题库-数学建模在社会问题中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学建模在社会问题中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.请仔细阅读每道题，理解题意。2.请在规定的位置书写答案，字迹工整，保持卷面整洁。3.考试时间：180分钟。一、简要论述数学建模在社会问题研究中的重要作用，并举例说明如何运用数学建模方法分析一个具体的公共政策问题（如教育资源配置、医疗资源分配、交通流量管理等）。二、某城市希望优化其公共交通线路，以提高效率并减少拥堵。假设该城市可以简化为一个有n个居民区的网络图G=(V,E)，其中V是居民区集合，E是道路集合，每条边(u,v)∈E具有权重w(u,v)，代表道路u到v的通行时间（或距离）。该市计划在若干道路（边）上设置单向交通管制，以引导车流。请构建一个数学模型，用来确定单向交通管制方案，使得某种交通指标（如总出行时间、关键道路的平均延误时间等）达到最优。请说明你选择的目标函数和可能的约束条件。三、人口迁移是影响区域发展的重要因素。假设一个国家由K个区域组成，区域i在年份t的人口数为Pi(t)。研究认为，人口迁移主要受到区域间经济发展水平（用人均GDPGi(t)表示）和生活质量（用综合评价指标Li(t)表示）的差异驱动。请构建一个基于数学模型的框架，描述区域间的人口迁移动态过程。你可以考虑使用差分方程、微分方程或动力系统等方法，并定义相关的参数和变量。四、环境污染（如空气污染、水污染）往往具有累积效应和跨区域传播特征。假设某流域由M个相互连通的水体组成，水体j在时刻t的污染物浓度为Cj(t)。污染物可能来源于本区域工业排放、农业活动，也可能通过水流从一个水体扩散到另一个水体。请建立一个数学模型来模拟该流域内污染物的扩散和累积过程。模型应能反映排放源、扩散过程、水体自净等因素，并定义必要的参数和变量。五、公共物品的供给决策是重要的社会治理问题。假设某社区考虑提供一项公共服务（如公共图书馆、社区活动中心），需要决定服务的最优规模（如设施面积、开放时间、配备人员等）。社区中有N个居民，每个居民i对服务规模x的满意度可以用一个效用函数ui(x)表示，该函数通常随着服务规模增加而先增后减。此外，提供该服务的总成本为C(x)，是服务规模的函数。请构建一个数学模型，为社区确定该公共服务的最优供给规模，使得社区居民的总净效益最大化。请说明你的目标函数和约束条件。六、社会网络的传播现象（如信息传播、疾病传播、流行病态行为扩散）对理解社会动态至关重要。假设一个社会网络可以用图G=(V,E)表示，其中顶点代表个体，边代表个体间的联系。个体i具有状态Si(t)（如：易感S、感染I、康复R等）。请选择一种合适的数学模型（如SIR模型、SEIR模型或其他网络传播模型），描述该网络中某种状态（如“信息”、“疾病”）的传播过程。请明确模型中涉及的参数（如传染率、恢复率、接触概率等）的含义，并简述模型的动力学方程。七、资源分配的公平性与效率是经济学和社会学研究的关键问题。假设一个社会由N个个体组成，他们拥有不同的初始资源禀赋。社会需要决定如何将一种有限的公共资源（如教育经费、医疗保障预算）分配给这些个体。一个常用的评价标准是“公平性”，例如，满足匿名性（不因分配者不同而结果不同）、对称性（交换两个个体的资源禀赋和分配应保持一致）、强帕累托效率（不可能再使任何个体获益而不损害他人）等。请选择或设计一个数学模型，用于在满足一定效率和公平约束的前提下，确定资源的最优分配方案。请明确你的模型目标、决策变量、约束条件以及所选公平性标准。八、犯罪问题是一个复杂的社会问题。研究者试图通过分析犯罪数据来理解犯罪模式、预测犯罪热点、评估预防措施效果。假设你手头有一组城市区域在一段时间内的犯罪记录数据，包括犯罪类型、发生地点、发生时间等。请设计一个数学建模方案，用于识别城市中的犯罪热点区域。你可以考虑使用聚类分析、空间统计或其他合适的方法。请说明你的方法思路、可能使用的数学工具、关键步骤以及如何评估识别结果的有效性。试卷答案一、数学建模通过建立数学结构来抽象、量化社会问题中的复杂关系，使问题可分析、可计算、可预测。它能帮助我们量化不同方案的利弊，评估政策效果，识别关键因素，为决策提供科学依据。例如，在分析教育资源配置问题时，可构建模型模拟不同配置方案下学生接受教育的公平性（如基尼系数）和效率（如教育产出最大化），通过比较不同方案的指标，为优化资源分配提供参考。二、模型可采用图论中的网络流或优化模型。设x(u,v)为边(u,v)上的交通流量，y(u,v)为0或1，表示边(u,v)是否实施单向交通管制。目标函数可设为城市总出行时间或关键道路平均延误时间的最小化：Min∑_(u,v)∈Ed(u,v)*x(u,v)(若以总出行时间最小化为目标)或Min(∑_(k∈Key_E)∑_(u,v)∈Ed(u,v)*x(u,v))/|Key_E|(若以关键道路平均延误最小化为目标)其中d(u,v)为边(u,v)的通行时间，Key_E为关键道路集合。约束条件包括：1.流量守恒：对于每个顶点u∈V,∑_(v)∈N(u)x(u,v)-∑_(v)∈N(u)x(v,u)=b(u)(b(u)为净流入/流出，0表示无净流入)2.容量约束：对于每条边(u,v)∈E,x(u,v)≤c(u,v)(c(u,v)为容量)3.管制约束：若y(u,v)=1，则必须满足单向流动要求（如u→v允许，v→u禁止）；若y(u,v)=0，则边(u,v)为双向通行。4.非负约束：x(u,v)≥0,y(u,v)∈{0,1}。三、可采用基于空间交互的微分方程模型。设Pi(t)为区域i在t时刻的人口，Mi为区域i的迁移率（受本地因素影响），Ki为区域i对区域j的吸引力（取决于Gi(t)-Gj(t)和Li(t)-Lj(t)的差值）。模型为：dPi(t)/dt=Mi*Pi(t)-∑_(j≠i)Ki*Pi(t)*Pj(t)其中Ki可定义为Ki=α*|Gi-Gj|+β*|Li-Lj|，α,β为权重参数。该模型描述了人口在区域间的流动，反映了经济和生活质量差异对迁移的影响。四、可采用多区域环境模型。设Cj(t)为水体j在t时刻的污染物浓度，Qi(t)为区域i的排放量，Di,j为从水体i到水体j的扩散通量，Rj(t)为水体j的自净率。模型组为：dCj(t)/dt=(∑_(i≠j)Di,j*Cj(t))-(∑_(i≠j)Di,j*Ci(t))/Aj+Qi(t)/Vj-Rj(t)*Cj(t)其中Aj为水体j的面积，Vj为水体j的体积。扩散通量Di,j可表示为Di,j=k*Aj*|Cj-Ci|(k为扩散系数)。自净率Rj(t)可以是常数或浓度相关函数。此模型描述了污染物在不同水体的迁移转化过程。五、模型可采用效用最大化模型。设x为服务规模，ui(x)为居民i的效用函数，C(x)为总成本。目标函数为社区居民总净效益最大化：Max∑_(i=1)^N[ui(x)-pi(x)](pi(x)为居民i支付的税费或成本分享)约束条件包括：1.总成本约束：C(x)≤B(B为预算约束)2.每个居民的净效益非负：ui(x)-pi(x)≥03.变量非负：x≥0可以通过拉格朗日乘数法求解此优化问题，得到最优服务规模x*。六、可选择SIR（易感-感染-移除）模型。设V为个体总数，Si(t),Si(t),Sr(t)分别为时刻t易感、感染、移除的个体数。模型假设：1.网络是动态的，个体间接触通过图G的边实现。2.个体状态转换：S→I（感染），I→R（康复/移除）。动力学方程为：dSi(t)/dt=-β*Si(t)*∑_(v∈N(i))I(v(t))/|N(i)|(β为传染率，N(i)为个体i的邻居节点集合)dSj(t)/dt=β*Si(t)*∑_(v∈N(i))I(v(t))/|N(i)|-γ*Sj(t)(γ为恢复率)dSr(t)/dt=γ*Sj(t)其中β和γ为模型参数。此模型考虑了网络结构对传播的影响。七、可采用公平分配模型，如满足公平性公理的分配方案。例如，可以使用基于“最大最小”原则的模型。设xi为分配给个体i的资源，Wi=∑_(j∈N(i))w_ij*xj为个体i的总资源效用（w_ij为个体i对资源j的评估权重）。目标是在所有满足帕累托效率（无人能通过改变自身资源获得更高效用而不损害他人）的分配方案中，选择使最低效用个体效用最大化的方案：Maxmin_iWis.t.∑_ixi=X(总资源量)xi≥0(非负约束)Efficiency:∀i,j,Wi-Wj≥(xi-xj)*w_ij(帕累托效率条件)可以通过线性规划等方法求解此模型。八、可采用空间自相关分析或地理加权回归模型。方法思路如下：1.数据预处理：整理犯罪记录数据，包含位置（经纬度）、时间、犯罪类型等信息。将数据空间化，生成栅格数据或Voronoi图。2.空间自相关检验：使用Moran'sI或Geary'sC等指标检验犯罪率在空间上是否存在集聚性（热点）。高Moran'sI值通常表示存在显著的空间聚集。3.热点识别：使用Getis-OrdGi*统计量识别局部显著热点区域。计算每个栅格单元的G