2025-2026学年四川省成都市金堂县金堂中学校高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省金堂中学校高二上学期10月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某中学为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，500名学生身高的全体是(

)A.总体 B.个体

C.从总体中抽取的一个样本 D.样本的容量2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是(

)A.A与B互为对立事件 B.A与B互斥

C.PA=PB D.A3.若a,b,cA.b+c，b，b−c B.a，a+b，a−b

C.a+b，4.高一年级举行“校园安全伴你行”知识能力竞赛，男生队40人，女生队60人，按照比例分配的分层抽样的方法从两队共抽取20人，相关统计情况如下：男生队答对题目的平均数为5，方差为1；女生队答对题目的平均数为4，方差为2，则这20人答对题目的方差为(

)A.1.8 B.1.82 C.1.84 D.1.865.如图，在三棱锥P−ABC中，∠APB=90∘，∠CPA=∠CPB=60∘，PA=PB=PC=2，点D，E，F满足PD=DB，PE=2EA，AF=FCA.32 B.22 C.6.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.7，乙的中靶概率为0.8，则甲乙中恰有一人中靶的概率为(

)A.0.7 B.0.8 C.0.38 D.0.567.在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为1cm的球，4个球两两相切，且其中3个球均与同一块木板相切，则两木板之间的最小距离为(

)A.463cm B.268.如图，在四面体OABC中，BM=12BC，MN=12NO，AP=34AN，若A.23 B.32 C.43二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列调查中，适宜采用抽样调查的是(

)A.调查某市小学生每天的运动时间

B.某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查

C.农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量

D.调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况10.为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件Ai为“第i次抽到选择题”i=1,2,3，则下列结论中正确的是(

)A.A1与A2互斥；A2与A3互斥

B.不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同

C.11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P满足BPA.若λ+μ=1，则AP//平面A1C1D

B.若λ2+μ2=1，则点P的轨迹长度为π2

C.若λ+μ=12，则线段AP三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在空间直角坐标系中，点A(5,−4,3)关于x轴对称的点坐标为

．13.总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1∼100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为

8

44

2

17

8

31

57

4

55

688

8

31

47

7

21

76

33

50

6314.从集合{1,2,3,⋯,100}中任取一个元素a，使得x2+ax+4a=0只有整数解的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知a=(2,−2,2),(1)求向量b的坐标及cos⟨(2)若(ka+b)//(16.(本小题15分第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a，b的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数(分位数精确到0.1)；(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．17.(本小题15分)甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜；两人获胜局数相同为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为12(1)求比赛3局结束的概率；(2)求甲最终获胜的概率．18.(本小题17分如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD/​/BC，∠ABC=90∘，且PA=AD=2，AB=BC=1，PB=5，

(1)证明：CE//平面PAB；(2)求三棱锥P−ACE的体积；(3)求二面角E−AC−D的余弦值．19.(本小题17分n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组a1,a2,⋯,an称为一个n维向量，其中aii=1,2⋯,n称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量a=a1,a2,⋯,an(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量x1，x2，…，xk满足它们的前m个分量都是相同的，求证：参考答案1.A

2.C

3.C

4.C

5.D

6.C

7.C

8.D

9.AC

10.BC

11.ACD

12.5,4,−3

13.31

14.3100或0.0315.(1)∵ab=∴a⋅b=2×4+−2∴cos(2)∵a∴ka+b又∵(ka+b)//(a∴2k+4=−6λ−2k−1=02k=2λ，解得k=−12∴k=−1

16.(1)2a+b+0.045+0.020×10=10.045+0.020+a×10=0.7，解得：(2)50×0.005×10+60×0.025×10+70×0.045×10+80×0.020×10+90×0.005×10=69.5，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为0.005+0.025×10=0.3<0.6，前三组志愿者的频率为0.005+0.025+0.045×10=0.75>0.6，所以第60%分位数落在第三组志愿者中，设第60%分位数为x，则x−65×0.045=0.6−0.3，解得：x≈71.7，故第(3)第四、第五两组志愿者的频率比为4:1，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a,b,c,d，第五组志愿者人数为1，设为e，这5人中选出2人，所有情况有a,b,a,c,a,d,a,e,b,c

17.(1)根据题意可知，比赛3局结束的事件为前两局中，甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局，第三局由前两局中胜一局的一方获胜，所以比赛3局结束的概率为P=2×1(2)根据题意可知，甲最终获胜的可能性有：①两局后获胜，即连续胜两局，此时概率为P1②三局后获胜，且前两局有一局没获胜，此时概率为P2③四局后以胜2局获胜，且前三局只胜一局，另两局没有全败，此时概率为P3④四局后以胜1局获胜，且另外3局全是平局，此时概率为P4所以设“甲最终获胜”为事件A，则PA

18.(1)取PA中点M，连接EM，BME为PD的中点，M为PA中点，所以EM//AD，且EM=1

又AD//BC，BC=1，AD=2，BC=1所以有EM//BC，且EM=BC所以四边形BCEM为平行四边形，则CE//BM，又BM⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE//平面PAB．(2)底面ABCD是直角梯形，BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC//平面PAD，则点C到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，所以三棱锥P−ACE的体积VP−ACE=又E为PD的中点，则点E到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离的一半，所以VE−PAB又PA=AD=2，AB=BC=1，PB=所以PA2+A又∠ABC=90∘，BC//AD，所以平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，又AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，故VE−PAB(3)因为平面PAB⊥平面ABCD，且其交线为AB，又AP⊂平面PAB，AP⊥AB，

所以AP⊥平面ABCD，取AD的中点F，连接EF，在▵PAD中，E，F分别为PD，AD的中点，所以AP//EF，EF=则EF⊥平面ABCD，过F作FN⊥AC于N，连接EN，则有EN⊥AC，所以∠ENF为二面角E−AC−D的平面角，

在直角梯形ABCD中，AB=BC=1，∠ABC=90∘，所以所以∠FAC=45又AF=12AD=1在Rt▵EFN中，tan∠ENF=所以sin∠ENFcos∠ENF解得：cos∠ENF=即二面角E−AC−D的余弦值为3

19.(1)两两垂直的4维信号向量可以为：1,1,1,1，−1,−1,1,1，−1,1,−1,1，−1,1,1,−1．(2)假设存在10个两两垂直的10维信号向量y1，y2，…，因为将这10个向量的某个分量同时变