c第三章平稳时间序列模型的特性复习进程

c第三章平稳时间序列模型的特性第一节格林函数和平稳性一、线性常系数差分方程及其解的一般形式任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程。因此，ARMA模型的性往往取决于差分方程程根的性质。线性定常离散时间系统的主要数学工具是常系数差分方程:(3.1.1)

上式是普通的n阶差分方程，其中为系统参数的函数，当其为常数时,就是常系数n阶差分方程，是个离散序列,也叫做驱动函数；是系统的响应。时,为齐次差分方程.2求解n阶齐次差分方程就是在给定输出时间序列n个初始条件

下，求出输出时间序列…来。当然，最好是求出一般解。ARMA模型完全等价于一个差分方程，驱动函数可以看作是(3.1.2)那么，如何求解差分方程呢?与微分方程一样，先求相应的齐次方程的通解，然后求一个原方程的特解，原方程的解等于通解与特解的线性组合。3首先设

,则(3.1.2)的特征方程为(3.1.3)(3.1.3)左端为特征多项式，多项式的根为特征根。如果能求出特征方程(3.1.3)的n个特征根就可求得n阶齐次差分方程的通解为其中，为任意实数，既可能是实数，也可能是复数，如果,则表示差分方程有重根。求特解，要根据驱动函数的具体形式而定，一般令y(k)=i常数即可。4例3.1

显然是一个一阶非齐次差分方程。解：求相应的齐次差分方程的通解，设,则有∴是相应的齐次方程的通解。下面求特解，设常数，则故原方程的通解为5例3：

解：本例是一个二阶齐次方程。为求其通解，同样设则有显然有重根则方程的通解为为任意实数，其中6二、AR(1)系统的格林函数

格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。AR(1)模型为

（3.1.4）

由于在动态条件下，…………7依次推下去，并代入(3.1.4)式，可得到：

(3.1.5)将(3.1.5)代入(3.1.4)式，得方程的解(3.1.5)式是驱动函数的一个线性组合，方程解的系数函数客观地描述了该系统的动态性，故这个系数函数就叫做记忆函数，也叫格林函数(Green'sfunction)

82.AR(1)模型的后移算子表达式及格林函数

为更方便的描述线性差分方程，需要引入后移算子B的概念。后移算子B，就是“Back”算子，B的次数表示后移期数。如:这样，AR(1)可写成它的解为93.格林函数的意义

(1)是前j个时间单位以前进入系统的扰动对系统现在行为(响应)影响的权数。(2)客观地刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。(3)是系统动态的真实描述。系统的动态性就是蕴含在时间序列中的数据依存关系。(4)格林函数所描述的动态性完全取决于系统参数.10三、根据格林函数形成系统响应(时间序列)

1．根据生成序列:说明实例见下表3.1

11各个扰动对系统后继行为的作用描述在图3.1(b)~(g)中。

122.根据

生成序列13各个扰动对系统后继行为的作用描述在图3.2中。143.1系统参数对系统响应的影响(1)取负值时，响应波动较大。(2)取正值时，响应变得平坦。(3)越大，系统响应回到均衡图3.1、图3.2可以知道:面的序列分将别利用和成了两个序列，分别描绘在图3.2和图3.3中，通过比较位置的速度越慢，时间越长。对此我们用实例加以说明，对前15四、AR(1)系统的平稳性1.系统稳定性与非稳定性渐近稳定性是指系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态向量都随时间的增长而趋于平衡状态。渐近稳定系统一定是平稳的。而系统的不稳定性则是指，如果系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态向量将随时间而趋向无穷。不稳定系统一定是非平稳的。如果系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态向量随时间的增长既不回到均衡位置，又不趋于无穷，这就是系统的临界稳定性。本书以后所讨论的平稳系统就是指渐近稳定系统。162.AR(1)系统的平稳性条件

对于AR(1)系统来说，如果系统受扰后，该扰动的作用渐渐减小，直至趋于零，即系统响应随着时间的增长回到均衡位置，那么，该系统就是渐近稳定的，也就是平稳的。相对于格林函数来说，就是随着j→∞，扰动的权数,由于故必有,

显然，这就是AR(1)系统的渐近稳定条件，也就是平稳性条件。17五、格林函数与Wold分解所谓Wold分解也叫正交分解，其核心就是把一个平稳过程分解成不相关的随机变量的和.正交和不相关是一致的。由于这一思想是由Wold引入(1938年)到时序分析中的，故叫做Wold分解。他认为可以用线性空间来解释ARMA模型的解。如果用线性空间的观点来看AR(1)模型的解由于是相互独立的，可看作线性空间的基(或无限维坐标轴)，显然可由线性表示，其系数就是对于的坐标，因而上式也叫做Wold分解式，其系数叫Wold系数。18六、ARMA(2，1)系统的格林函数

1．ARMA(2，1)系统的格林函数的隐式我们可以利用比较系数法来求得ARMA(2，1)模型的格林函数。具体推导如下：ARMA(2，1)模型是一个二阶非齐次差方程:(3.1.11)设该二阶非齐次差分方程的解为,为方便用B算子式(3.1.12)(3.1.13)19(3.1.14)由B的同次幂的系数必相等，于是有：20将上式变形得

利用B算子式得这样,在已知系统参数的情况下，我们便可递推地计算出所有的。当j充分大时，格林函数满足(3.1.11)式自回归部分相应的差分方程。212.ARMA(n,n-1)系统的格林函数的隐式与ARMA(2，1)系统相类似，将代入ARMA

模型，展开并整理对比B的同次幂系数得B的幂指数,得:这样，便可递推地计算出出格林函数223.ARMA(2，1)系统的格林函数的显式

ARMA(2，1)系统的特征多项式是个二次多项式,设两个特征根分别为,则通解为,其中是任意常数,其值由初始条件唯一地确定。这里的初始条件为：于是有而,所以,即：23解得则ARMA(2，1)系统的格林函数为：24例如，

,用显式求格林函数。解：求特征根，即求的根即于是，格林函数为254．AR(2)和ARMA(1，1)系统的格林函数

AR(2)和ARMA(1，1)模型是ARMA(2，1)模型的特殊形式，ARMA(2，1)的格林函数AR(2)系统动态性的格林函数，即ARMA(1，1)系统的格林函数为：265.ARMA(n,n-1)系统的格林函数

比较AR(1)和ARMA(2，1)可以发现，动态性增加，是通过把一个带有适当系数的项加到AR(1)系统的格林函数之上实现的，那么，与此相类似，ARMA(n,n-1)系统的格林函数则为27七、ARMA(2，1)系统的平稳性1.用特征根表示的平稳性条件对于ARMA(2，1)模型格林函数为：显然，只有当时，才能使得这就是ARMA(2，1)系统的平稳性条件，即也就是，特征方程的特征根的模在单位圆内。对于ARMA(n,n-1)模型，类似地有282.用自回归系数表示的平稳性条件：

ARMA(2，1)系统的平稳性条件的系统参数形式为：这说明系统的平稳性仅与自回参数有关，而与移动平均参数无关。特征值的表示形式也说明了这一点，由于特征值仅与自回参数有关，而与移动平均参数无关，所以，一切ARMA(2，m)系统的平稳性条件均为上式。293.ARMA(2，m)系统的平稳区域平稳性条件的几何图，即平稳区域如图3.5所示。(1)当时,平稳区域为1，2，3。(2)当时,平稳区域为4，5，6。(3)当时，平稳区域为1，4。(4)当时,平稳区域为2，3，5，6。30

第二节逆函数和可逆性

用过去的的一个线性组合来逼近系统现在时刻的行为。我们把这种表达形式称为的“逆转形式”。其中的系数函数称为逆函数。可见它是一个无穷阶的自回归模型。一个过程是否具有逆转形式，也就是说逆函数是否存在的性质，通常称为过程是否具有可逆性，如果一个过程可以用一个无限阶的自回归模型逼近，即逆函数存在，我们就称该过程具有可逆性，也就是可逆的，否则，就是不可逆的。31AR(1)模型和MA(1)模型的逆函数

1.AR(1)模型的逆函数由上面的分析，AR(n)模型本身就是一个逆转形式，并且故AR(1)模型和AR(2)模型的逆转形式分别为和显然，322.MA(1)模型的逆函数：

对于MA(1)模型：,由于由可得模型的逆转形式为33第三节自协方差函数一、自协方差函数客观地描述了系统响应的分布特征1.直观解释若前k期的行为对现在时刻行为有一定的影响作用，则与可能是相关的而不是无关的，其作用程度具体表现为相关程度的高低；相关程度高，影响作用大，反之亦然。若某一时刻的值对其k期以后的值没有影响作用，则在数值上应该表现为毫无关系，即不相关的。可见，系统的动态性完全可用自相关函数来刻化。342.理论依据

可以用的线性组合表出，而则是一个正态过程，此时是一个严平稳正态过程，因而它的概率特性完全由自协方差函数来描述，显然也是一个正态过程，它的特性也完全取决于自协方差函数。35二、理论自相关函数和样本自相关函数

对于ARMA系统来说，设为零均值序列，则自协方差函数自相关函数362.样本自相关函数样本自相关函数有373．格林函数与自协方差函数之间的关系

（1）AR（1）模型的自协方差函数AR(1)自相关函数为，即其中AR(n)序列的自协方差函数和自相关函数是拖尾的，这是AR(n)序列的重要特征。38（2）MA(1)模型的自协方差函数

MA(n)模型为由白噪声序列的定义知，当时，有MA(n)序列的充分必要条件是其自协方差函数和自相关函数是n步截尾的，这是MA(n)序列的本质特征。394.偏自相关函数

对于考察由对即选择系数作最小线性方差估计，，使得达到极小值，则称系数为偏自相关函数。可见，偏自相关系数就是使残差的方差达到极小的阶自回归模型