专题13三角形的相关性质与判定(一)(云南专用)(原卷版+解析)

专题13三角形的相关性质与判定（一）目录热点题型归纳 1题型01三角形内角和定理与外角和定理 1题型02三角形内角和与外角和定理的应用 4题型03三角形的三边关系 6题型04与三角形有关线段问题 7题型05线段垂直平分线的性质与判定 10题型06角平分线的性质与判定 12中考练场 13 题型01三角形内角和定理与外角和定理【解题策略】三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理的应用：1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．方法总结三角形中角度计算的6种常考模型：A字模型8字模型飞镖模型老鹰抓小鸡模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鹰抓小鸡模型（二）双角平分线模型（一）双角平分线模型（二）双角平分线模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折叠模型（一）三角形折叠模型（二）三角形折叠模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2【典例分析】例1．（2022·内蒙古）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（

）A．90°+12α B．90°−12α例2．（2023·四川）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°则∠B=（

）

A．52° B．50° C．45° D．25°【变式演练】1．（2022·安徽·一模）将两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠E=45°，∠A=30°，BC与DE交于点P，AC与DF交于点Q．若AB∥EF，则∠DPC−∠DQC=（A．40° B．32.5° C．45.5° D．30°2．（2022·安徽合肥·二模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠3=150°，∠1=30°，则A．60° B．70° C．80° D．90°3．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2=度．4．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角0°<α<75°，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E．若△

题型02三角形内角和与外角和定理的应用【典例分析】例1．（2024·江西模拟）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则∠1的度数为（）

A．130° B．120° C．110° D．60°例2．（2023·山西模拟）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（

）图1

图2A．70° B．68° C．60° D．50°【变式演练】1．（2022·湖南）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，则∠AEF=．2．（2024·陕西模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155°，∠2=30°，则∠3A．45° B．50° C．55° D．65°题型03三角形的三边关系【解题策略】三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．【解题技巧】1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．【典例分析】例1．（2024·湖南模拟）3.已知a，b，c是一个三角形的三边，且a，b满足a−1+(b−2)2=0.则c的取值范围是______．例2．（2020·甘肃天水·统考中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2−8x+12=0的根，则该三角形的周长为【变式演练】1．（2023·河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（

）

A．2 B．3 C．4 D．52.（2024·湖南模拟）2,5,m是某三角形三边的长，则(m−3)2+(m−7)A．2m−10 B．10−2m C．10 D．4题型04与三角形有关线段问题【解题策略】三角形有关的线段的性质：高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=12方法总结：1.三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．2.常见三角形的高：3.当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系.【典例分析】例1．（2024·山东模拟）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是(

)A. B.

C. D.例2．（2024·全国模拟）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠CAD=20∘，则∠ACE的度数是(

)

A.20∘ B.35∘ C.例3．（2024·广东模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE=2，则BC的长是(

)

A.3

B.4

C.5

D.6【变式演练】1．（2023·江苏模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF=3FE，则BDDC=2．（2023·黑龙江模拟）已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC题型05线段垂直平分线的性质与判定【解题策略】垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）.性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.方法总结：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．【典例分析】例1．（2023·天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD=DC，AE=4，AD=5，则AB的长为(

)

A.9 B.8 C.7 D.6例2．（2022·湖北）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为（A．25 B．22 C．19 D．18【变式演练】1.（2023·山东）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于D的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是(

)A.BE=DE B.AE=CE

C.CE=2BE D.S2．（2024·吉林模拟）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（

）A．AF=BF B．AE=C．∠DBF+∠DFB=90° D．∠BAF=∠EBC3．（2023·江西模拟）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49∘，则∠BAE的度数为题型06角平分线的性质与判定【解题策略】角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．方法总结性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.【典例分析】例1．（2022·四川）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9【变式演练】1．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为．2.（2022·江苏）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°1．（2023·江苏）如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（

）

A．80° B．85° C．90° D．95°2．（2022·湖北）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，则C，D两点的距离是m3．（2023·江苏）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是(

)A.5 B.10 C.15 D.204.（2023·四川）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=(

)A.2

B.52

C.3

D.5.（2022·四川）如图，在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则DF=(

)

A.54 B.52 C.2 6.（2023·广东）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(

)

A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点 D.三条高的交点7．（2022·湖北）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为（A．25 B．22 C．19 D．188.（2023·内蒙古）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N.若AM=1，BN=2，则BD的长为(

)A.23

B.3

C.29.（2023·浙江）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB.若AB=4，则DC的长是

．

10.（2023·全国）如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E.若线段AE=5，AC=12，则BE长为______．

11.（2023·青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AB=5，AC=8，则△ABD的周长是______．12．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点D，则线段AD的长为

专题13三角形的相关性质与判定（一）目录热点题型归纳 1题型01三角形内角和定理与外角和定理 1题型02三角形内角和与外角和定理的应用 9题型03三角形的三边关系 12题型04与三角形有关线段问题 15题型05线段垂直平分线的性质与判定 21题型06角平分线的性质与判定 26中考练场 30 题型01三角形内角和定理与外角和定理【解题策略】三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理的应用：1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．方法总结三角形中角度计算的6种常考模型：A字模型8字模型飞镖模型老鹰抓小鸡模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鹰抓小鸡模型（二）双角平分线模型（一）双角平分线模型（二）双角平分线模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折叠模型（一）三角形折叠模型（二）三角形折叠模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2【典例分析】例1．（2022·内蒙古）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（

）A．90°+12α B．90°−12α【答案】C【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，且∠BCD=α∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，∴∠B=∠BDC，∴∠B=∠BDC=180°−α∴∠A=∠E=90°−∠B=90°−90°+α∴∠A=∠E=α∴∠EFC=180°−∠ACE−∠E=180°−α−α故选：C．【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．例2．（2023·四川）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°则∠B=（

）

A．52° B．50° C．45° D．25°【答案】B【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠2=35°，再由角平分线确定∠BCD=70°，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵AE∥∴∠1=∠2=35°，∵AC平分∠BCD，∴∠BCD=2∠1=70°，∵∠D=60°，∴∠B=180°−∠BCD−∠D=50°，故选：B．【点睛】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【变式演练】1．（2022·安徽·一模）将两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠E=45°，∠A=30°，BC与DE交于点P，AC与DF交于点Q．若AB∥EF，则∠DPC−∠DQC=（A．40° B．32.5° C．45.5° D．30°【答案】D【分析】根据常用直角三角板的角度，先把各角表示出来，再利用平行线性质及外角性质分别求出∠DPC和∠DQC，作差即可．【详解】解：在RtΔABC中，∠BCA=90°，∠A=30°,则在RtΔDEF中，∠EDF=90°，∠E=45°,则∵AB∥∴∠ACF=∠A=30°,∠BCE=∠B=60°,∴∠DPC=∠E+∠BCE=45°+60°=105°,∠DQC=∠F+∠ACF=45°+30°=75°,∴∠DPC−∠DQC=105°−75°=30°,故选：D．【点睛】本题考查求角度问题，涉及到常见三角板的内角、平行线性质和外角性质，准确将题中数据与图形对应起来得到关系是解决问题的关键．2．（2022·安徽合肥·二模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠3=150°，∠1=30°，则A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】A【分析】如图∠3的顶点用F表示，∠2的顶点用E表示，根据AB∥CD，得出∠1=∠A=30°，根据领补角互补得出∠AFE=180°-∠3=180°-150°=30°，根据三角形外角性质求解即可．【详解】解：如图∠3的顶点用F表示，∠2的顶点用E表示，∵AB∥CD，∴∠1=∠A=30°，∵∠3+∠AFE=180°，∴∠AFE=180°-∠3=180°-150°=30°，∵∠2是△AEF的外角，∴∠2=∠A+∠AFE=30°+30°=60°．故选择A．【点睛】本题考查平行线性质，领补角互补性质，三角形外角性质，掌握平行线性质，领补角互补性质，三角形外角性质是解题关键．3．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2=度．【答案】240【分析】由等边三角形的性质可得∠A=60°，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解．【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，∴∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∵∠AED+∠A+∠ADE=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°=60°+180°=240°，故答案为：240．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．4．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角0°<α<75°，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E．若△

【答案】22.5°或45°或67.5°【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知∠A=∠A'=30°【详解】解：由折叠的性质知∠A=∠A'=30°当A'D=DE时，

由三角形的外角性质得∠DEA'=∠A+∠ACD+∠此情况不存在；当A'

∠A'=30°由三角形的外角性质得75°=30°+2α，解得α=22.5°；当EA'=DE

∴∠DEA由三角形的外角性质得120°=30°+2α，解得α=45°；当A'D=A

∴∠ADC=∠A∴α=∠ACD=180°−30°−82.5°=67.5°；综上，∠α的度数为22.5°或45°或67.5°．故答案为：22.5°或45°或67.5°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．题型02三角形内角和与外角和定理的应用【典例分析】例1．（2024·江西模拟）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则∠1的度数为（）

A．130° B．120° C．110° D．60°【答案】B【分析】根据正六边形的内角和公式求出∠BAF的度数，再根据等腰三角形的性质求∠ABF的度数，同理可得∠EAF的度数，根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB=AF=EF，∠BAF=6−2∴∠ABF=∠AFB=180°−120°同理∠EAF=30°，∴∠1=180°−30°−30°−120°，故选：B．【点睛】本题考查正多边形内角和的计算以及三角形公式，n边形的内角和为180°⋅n−2例2．（2023·山西模拟）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（

）图1

图2A．70° B．68° C．60° D．50°【答案】C【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=68°，根据三角形的内角和定理可得∠ACB=180°−68°−52°=60°，再根据平行线的性质即得答案．【详解】解：∵AB，CD都与地面平行，∠BCD=68°，∴AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=68°，∵∠BAC=52°，∴∠ACB=180°−68°−52°=60°，∵AM∥CB，∴∠MAC=∠ACB=60°；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，属于基础题型，熟练掌握平行线的性质是解题关键．【变式演练】1．（2022·湖南）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，则∠AEF=．【答案】40°/40度【分析】根据入射角等于反射角，可得∠CDB=∠EDO,∠DEO=∠AEF，根据三角形内角和定理求得∠OED=40°，进而即可求解．【详解】解：依题意，∠CDB=∠EDO,∠DEO=∠AEF，∵∠AOB=120°，∠CDB=20°，∴∠CDB=∠EDO=20°，∴∠OED=180−∠ODE−∠AOB=40°，∴∠AEF=∠DEO=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．2．（2024·陕西模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155°，∠2=30°，则∠3A．45° B．50° C．55° D．65°【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：如图，∵AB∥∴∠1+∠BFO=180°，∴∠BFO=180°−155°=25°，∵∠POF=∠2=30°，∴∠3=∠POF+∠BFO=30°+25°=55°，故选：C．题型03三角形的三边关系【解题策略】三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．【解题技巧】1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．【典例分析】例1．（2024·湖南模拟）3.已知a，b，c是一个三角形的三边，且a，b满足a−1+(b−2)【答案】1<c<3

【解析】解：∵a−1+(b−2)2=0

∴a−1=0，b−2=0，

解得a=1，b=2，

∵2−1=1，1+2=3，

∴1<c<3．

故答案为：1<c<3．

根据非负数的性质列式求出例2．（2020·甘肃天水·统考中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2−8x+12=0的根，则该三角形的周长为【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．【详解】解：∵x2-8x+12=0，∴x−2x−6∴x1=2，x2=6，∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意，∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．【变式演练】1．（2023·河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三角形三边关系求得0<AC<4，再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在△ACD中，AD=CD=2，∴2−2<AC<2+2，即0<AC<4，当AC=BC=4时，△ABC为等腰三角形，但不合题意，舍去；若AC=AB=3时，△ABC为等腰三角形，故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2024·湖南模拟）2,5,m是某三角形三边的长，则(m−3)2+(m−7)A．2m−10 B．10−2m C．10 D．4【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出m的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：∵2,5,m是三角形的三边，∴5−2<m<5+2，解得：3<m<7，∴(m−3)故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m的范围，再对二次根式化简．题型04与三角形有关线段问题【解题策略】三角形有关的线段的性质：高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=12方法总结：1.三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．2.常见三角形的高：3.当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系.【典例分析】例1．（2024·山东模拟）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是(

)A. B.

C. D.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了作图−基本作图、三角形的角平分线、中线和高、线段垂直平分线的性质，根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD即可判断．

【解答】

解：观察作图痕迹可知：

A.CD⊥AB，但不平分，

所以A选项不符合题意；

B.CD为△ABC的边AB上的中线，

所以B选项符合题意；

C.CD是∠ACB的角平分线，

所以C选项不符合题意；

D.不符合基本作图过程，

所以D选项不符合题意．

故选B．例2．（2024·全国模拟）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠CAD=20∘，则∠ACE的度数是(

)A.20∘ B.35∘ C.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12(180°−∠CAB)=70°.再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12∠ACB=35°．

【解答】

解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，

∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12(180°−∠CAB)=70°．

∵CE是例3．（2024·广东模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE=2，则BC的长是(

)

A.3

B.4

C.5

D.6【答案】B

【解析】【分析】

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

根据三角形中位线定理解答即可．

【解答】

解：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC=2DE，

∵DE=2，

∴BC=4，

故选：B．【变式演练】1．（2023·江苏模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF=3FE，则BDDC=【答案】3【分析】连接ED，由BE是△ABC的中线，得到S△ABE=S△BCE，S△AED=S△EDC，由BF=3FE，得到【详解】解：连接ED∵BE是△ABC的中线，∴S△ABE∵BF=3FE∴设S△AEF∴∴∴∵∴x+y=4x−4y∴x=∵△ABD与△ADC是等高三角形，∴S故答案为：32【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．2．（2023·黑龙江模拟）已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC【答案】1【分析】根据题意得到ABAC=23，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线AE至F，使得【详解】如图，反向延长中线AE至F，使得AE=EF，连接CF，∵BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线，∴可设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，∵∴△ABE≅△FCE∴AB=CF由三角形三边关系可知，AC−CF<AF<AC+CF∴k<AF<5k∴∴1故答案为：12【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．题型05线段垂直平分线的性质与判定【解题策略】垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）.性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.方法总结：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．【典例分析】例1．（2023·天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD=DC，AE=4，AD=5，则AB的长为(

)A.9 B.8 C.7 D.6【答案】D

【解析】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，

∴AC=2AE=8，DA=DC，

∴∠DAC=∠C，

∵BD=CD，

∴BD=AD，

∴∠B=∠BAD，

∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°，

∴2∠BAD+2∠DAC=180°，

∴∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠BAC=90°，

在Rt△ABC中，BC=BD+CD=2AD=10，

∴AB=BC2−AC2=102−82=6，

故选：D．

根据线段垂直平分线的性质可得AC=2AE=8例2．（2022·湖北）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为（A．25 B．22 C．19 D．18【答案】C【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∵AB=7，AC=12，∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故选：C【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式演练】1.（2023·山东）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于D的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是(

)A.BE=DE B.AE=CE

C.CE=2BE D.S【答案】D

【解析】解：由作法得AB=AD，PB=PD，

∴AP垂直平分BD，

∴BE=DE，所以A选项不符合题意；

∵∠ABC=90°，∠C=30°，

∴∠BAC=60°，

由作法得AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=30°，

∴∠CAE=∠C，

∴AE=CE，所以B选项不符合题意；

在Rt△ABE中，∵∠BAE=30°，

∴AE=2BE，

∴CE=2BE，所以C选项不符合题意；

在Rt△ABC中，∵∠C=30°，

∴AC=2AB，

∵AD=AB，

∴AD=CD，

∴S△EDC=12S△ACE，

∵CE=2BE，

∴CE=23BC，

∴S△ACE=23S△ABC，

∴S△EDC=12×23S△ABC=13S△ABC，所以D选项符合题意．

故选：D．

由作法得AB=AD，PB=PD，则可判断AP垂直平分BD，于是根据线段垂直平分线的性质可对A选项进行判断；由作法得AE平分∠BAC，则∠BAE=∠CAE=30°，所以∠CAE=∠C，则可对B选项进行判断；在2．（2024·吉林模拟）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（

）A．AF=BF B．AE=C．∠DBF+∠DFB=90° D．∠BAF=∠EBC【答案】B【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是∠ABC的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是∠ABC的角平分线，∴AF=BF,∠BDF=90°,∠ABF=∠CBE，∴∠ABF=∠BAF,∠DBF+∠DFB=90°，∴∠BAF=∠EBC，综上，正确的是A、C、D选项，故选：B．【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2023·江西模拟）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49∘，则∠BAE的度数为【答案】82°.【分析】如图，连接BD，延长CA与BD交于点F,利用等腰三角形的三线合一证明CF是BD的垂直平分线，从而得到AB=AD,再次利用等腰三角形的性质得到：∠DAF=∠BAF,从而可得答案．【详解】解：如图，连接BD，延长CA与BD交于点F,∵AC平分∠DCB，CB=CD，∴CF⊥BD,DF=BF,∴CF是BD的垂直平分线，∴AB=AD,∴∠DAF=∠BAF,∵∠EAC=49°,∴∠DAF=∠BAF=∠EAC=49°,∴∠BAE=180°−49°−49°=82°,故答案为：82°.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．题型06角平分线的性质与判定【解题策略】角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．方法总结性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.【典例分析】例1．（2022·四川）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9【答案】A【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF∽△DEC，求出BF，故A错误．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥AB∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，∴△BDF∽△DEC，

∴CEDF∴BF=DF⋅CD故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，相似三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．【变式演练】1．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为．【答案】5+5【分析】知道∠BAC=60°和AD是角平分线，就可以求出∠DAE=30°，AD的垂直平分线交AC于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到C△DEF【详解】解：∵AD的垂直平分线交AC于点F，∴DF=AF（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴C△DEF∵∠BAC=60°，AD是角平分线∴∠DAE=30°∵AD=10∴DE=5，AE=53∴C【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．2.（2022·江苏）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．【详解】解：∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故选项C不正确；故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．1．（2023·江苏）如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（

）

A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【分析】根据旋转可得∠B=∠ADB=∠ADE，再结合旋转角α=40°即可求解．【详解】解：由旋转性质可得：∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD，∵α=40°，∴∠DAF=15°，∠B=∠ADB=∠ADE=70°，∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=85°，故选：B．【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．2．（2022·湖北）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，则C，D两点的距离是m【答案】800【分析】如图所示：过点C作CE⊥BD于点E，先求出CE=800m，再根据勾股定理即可求出CD【详解】如图所示：过点C作CE⊥BD于点E，则∠BEC=∠DEC=90°，∵∠ABC=150°，∴∠CBD=30°，∴∠BCE=90°-30°=60°，又∵∠BCD=105°，∴∠CDB=45°，∴∠ECD=45°=∠D，∴CE=DE，∵BC=1600m∴CE=1∴CD2=C故答案为：8002【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．3．（2023·江苏）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是(

)A.5 B.10 C.15 D.20【答案】B

【解析】【解答】解：∵等腰三角形的腰长为3，∴3−3<等腰三角形的底长<3+3，即0<等腰三角形的底长<6，∴6<等腰三角形的周长<12，故选：B．4.（2023·四川）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=(

)A.2

B.52

C.3

D.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OC=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，

∵AC=6，BD=8，

∴OC=3，OB=4，

∴CB=OB2+OC2=5，

∵E为边BC的中点，

∴OE=12BC=52．

故选：B．

由菱形的性质得到OC=5.（2022·四川）如图，在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，A