27.1.3圆周角(原卷版+解析)

27.1.3圆周角姓名：_______班级_______学号：________题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解1．（2022·浙江湖州·统考中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（

）A． B．6 C． D．2．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2022·重庆·重庆巴蜀中学校考一模）如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（

）A．5 B．6 C．7 D．84．（2021·甘肃武威·统考中考真题）如图，点在上，，则（

）A． B． C． D．题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证5．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（

）A．3 B． C． D．6．（2022·上海·统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为．7．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：(1)AC＝BD；(2)△ABE∽△DCE．8．（2022上·江苏·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；9．（2022上·青海海东·九年级统考期末）如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．题型3圆心角概念辨析10．（2022上·河北廊坊·九年级统考期末）下列图形中的角，是圆心角的为（

）A． B． C． D．11．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°12．（2022·安徽·校联考三模）如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°13．（2022·江苏扬州·统考二模）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（

）A． B． C． D．1题型4求圆弧的度数14．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°15．（2022上·江苏淮安·九年级校考期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是．16．（2022·山东临沂·统考二模）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．17．（2020·江苏南京·统考中考真题）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：（1）四边形DBCF是平行四边形（2）题型5圆周角的概念辨析18．（2022上·浙江湖州·九年级统考期末）下列说法正确的是（

）A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心19．（2022上·福建厦门·九年级统考期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC20．（2022上·湖南长沙·九年级长沙市雅礼实验中学校联考期末）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是．21．（2022上·北京·九年级统考期末）已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是．题型6圆周角定理22．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，内接于，CD是的直径，，则（

）A．70° B．60° C．50° D．40°23．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．130°24．（2022·山东枣庄·统考中考真题）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（）A．28° B．30° C．36° D．56°25．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．(1)求证：；(2)若，，求及的长．题型7同弧或等弧所对的圆周角相等26．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°27．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．28．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则°29．（2022·广东·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．(1)试判断的形状，并给出证明；(2)若，，求的长度．题型8半圆（直径）所对的圆周角是直角30．（2021·广东·统考中考真题）如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（

）A． B． C．1 D．231．（2021·广东·统考中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为．32．（2019上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为．33．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．(1)判断的形状，并证明你的结论；(2)若，，求的长．题型990度的圆周角所对的弦是直径34．（2022·山东日照·统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为．

35．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，则AD的长是．36．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．37．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点（1）求A、B两点的坐标；（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．题型10已知圆内接四边形求角度38．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（

）

A．138° B．121° C．118° D．112°39．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（

）A． B． C． D．40．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，四边形内接于，连接，，，若，则（

）A． B． C． D．41．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，，点在射线上的动点，连接，作，，动点在延长线上，，连接，，当，时，的长是．题型11求四边形外接圆的直径42．（2022上·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（

）A． B．1 C． D．43．（2022上·山西临汾·九年级统考阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（

）

A． B． C． D．44．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为．45．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点．(1)求证：；(2)当，时，求的长？(3)当时，求的最大值？46．（2022·山东泰安·统考中考真题）问题探究（1）在中，，分别是与的平分线．①若，，如图，试证明；②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．迁移运用（2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图，试探究线段，，之间的等量关系，并证明．

27.1.3圆周角姓名：_______班级_______学号：________题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解1．（2022·浙江湖州·统考中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，所以此时最大，等于圆O的直径，∵BM＝4，BN＝2，∴，∴MQ=OQ=，∴OM=，∴，故选C．【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．2．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．【详解】解：连接OE，如图所示：∵OB=OC，，∴，∴，∵E是劣弧的中点，∴，∴；故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．3．（2022·重庆·重庆巴蜀中学校考一模）如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据垂径定理求出，，求出，求出，求出的长，再求出长，即可求出答案．【详解】解：连接，如图：，过圆心，，，为弧的中点，，，，的直径为10，，，，在中，由勾股定理得：，，，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目．4．（2021·甘肃武威·统考中考真题）如图，点在上，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．【详解】解：点在上，，故选：【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证5．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．【详解】解：取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短点P是BO的中点在中，是等边三角形在中，．【点睛】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．6．（2022·上海·统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为．【答案】/【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF，设的半径为再分别表示再利用勾股定理求解半径r即可．【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，过圆心O，，设的半径为∴整理得：解得：不符合题意，舍去，∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为故答案为：【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．7．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：(1)AC＝BD；(2)△ABE∽△DCE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似．【详解】（1）∵＝∴＝∴∴BD=AC（2）∵∠B=∠C∠AEB=∠DEC∴△ABE∽△DCE【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．8．（2022上·江苏·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；【答案】见解析【分析】根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证．【详解】证明：∵＝，∴＝，∴，∴BD=AC．【点睛】本题考查了弦与弧之间的关系，掌握同圆或等圆中，等弧对等弦是解题的关键．9．（2022上·青海海东·九年级统考期末）如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．【答案】见解析【分析】由圆内接四边形的性质得到，再由，得到，根据等边三角形的判定可得到结论．【详解】证明：∵四边形内接于，∴，又∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形．【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键．题型3圆心角概念辨析10．（2022上·河北廊坊·九年级统考期末）下列图形中的角，是圆心角的为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．【详解】解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；C、是圆心角，故本选项符合题意；D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．11．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解．【详解】解：如图，∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC，∴∠DOC＝40°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠OCB＝∠DOC＝40°，故选：B．【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键．12．（2022·安徽·校联考三模）如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】连接AC，由AB是圆的直径可得∠ACB=90°，由∠BCD=100°可得∠ACD=10°，再由圆周角定理可得结论．【详解】解：如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BCD=100°，∴∠ACD=10°，∵∠AOD与∠ACD都对着，∴∠AOD=2∠ACD=2×10°=20°．故选∶B．【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理．13．（2022·江苏扬州·统考二模）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由图，与为同弧所对的角，根据同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的关系即可求得答案．【详解】解：A、B、O是小正方形顶点，，（同圆内，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），，故选：B．【点睛】本题考查了同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半及特殊角的三角函数值，解题关键熟悉特殊角的正弦值及同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半的性质．题型4求圆弧的度数14．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，

∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度数20°．故选：C．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．15．（2022上·江苏淮安·九年级校考期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是．【答案】/度【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得．【详解】解：连接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴的度数是，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．16．（2022·山东临沂·统考二模）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．【答案】4【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．【详解】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：50°×2=100°，∵360÷100=3.6，∴至少需要4台．故答案为：4．【点睛】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．17．（2020·江苏南京·统考中考真题）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：（1）四边形DBCF是平行四边形（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．【详解】证明：（1），，，，又,四边形是平行四边形．（2）如图，连接，四边形是的内接四边形【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．题型5圆周角的概念辨析18．（2022上·浙江湖州·九年级统考期末）下列说法正确的是（

）A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心【答案】A【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．【详解】解：A.同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．19．（2022上·福建厦门·九年级统考期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，故选C．【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．20．（2022上·湖南长沙·九年级长沙市雅礼实验中学校联考期末）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是．【答案】2【分析】连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质结合已知的垂直条件求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠COH=2∠A=60°，∵弦CD⊥AB于H，∴∠OHC=90°，∴∠OCH=30°，∵OH=1，∴OC=2OH=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的外角性质和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握半径相等是解题的关键．21．（2022上·北京·九年级统考期末）已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是．【答案】①②③⑤【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可【详解】解：，都是大于半圆的弧，故①②正确，在圆上，则线段是弦；故③正确；都在圆上，是圆周角而点不在圆上，则不是圆周角故④不正确；是圆心，在圆上是圆心角故⑤正确故正确的有：①②③⑤故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．题型6圆周角定理22．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，内接于，CD是的直径，，则（

）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】C【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．【详解】解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．23．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．130°【答案】B【分析】利用圆周角直接可得答案．【详解】解：∠BOC＝130°，点A在上，故选B【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．24．（2022·山东枣庄·统考中考真题）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（）A．28° B．30° C．36° D．56°【答案】A【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，∵∠AOB＝86°−30°＝56°，∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．故选A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．25．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．(1)求证：；(2)若，，求及的长．【答案】(1)见解析(2)BF=5，【分析】（1）根据中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF=AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到．【详解】（1）解：∵中，，∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，∵，∴∠B=∠BCF，∴∠A=∠ACF；（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF∴AF=CF，BF=CF，∴AF=BF=AB，∵，AC=8，∴AB=10，∴BF=5，∵，∴，连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴，∴，∴，∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题型7同弧或等弧所对的圆周角相等26．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．【详解】解：连接CD，∵AD是的直径，∴．∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．27．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】∵是的两条半径，点C在上，∴∠C==40°故选：B【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．28．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则°【答案】62【分析】连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得．【详解】解：连接，∵AB是的直径，∴，，，故答案为：62【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．29．（2022·广东·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．(1)试判断的形状，并给出证明；(2)若，，求的长度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；(2)；【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，∴CD=．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．题型8半圆（直径）所对的圆周角是直角30．（2021·广东·统考中考真题）如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再说明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得AB．【详解】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E∵AB是直径∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分线BD∴DE=DC=1在Rt△DEB和Rt△DCB中DE=DC、BD=BD∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）∴BE=BC在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2AE=设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2则（x+）2=32+x2，解得x=∴AB=+=2故填：2．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．31．（2021·广东·统考中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为．【答案】【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．【详解】如图：以为半径作圆，过圆心作，以为圆心为半径作圆，则点在圆上，,线段长度的最小值为:．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．32．（2019上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【答案】40°/40度【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．33．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．(1)判断的形状，并证明你的结论；(2)若，，求的长．【答案】(1)为等腰直角三角形，详见解析(2)【分析】（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得，即；然后再根据直径所对的圆周角为90°即可解答；（2）如图：连接，，，交于点．先说明垂直平分．进而求得BD、OD、OB的长，设，则．然后根据勾股定理列出关于t的方程求解即可．【详解】（1）解：为等腰直角三角形，证明如下：证明：∵平分，平分，∴，．∵，，∴．∴．∵为直径，∴．∴是等腰直角三角形．（2）解：如图：连接，，，交于点．∵，∴．∵，∴垂直平分．∵是等腰直角三角形，，∴．∵，∴．设，则．在和中，．解得，．∴．∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．题型990度的圆周角所对的弦是直径34．（2022·山东日照·统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为．

【答案】【分析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．【详解】解：连接AC，

∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：，所以圆形镜面的半径为，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．35．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，则AD的长是．【答案】【分析】如图，连接，设交于点，根据题意可得是的直径，，设，证明，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出，根据，勾股定理求得，根据即可求解．【详解】解：如图，连接，设交于点，∵∠ACB＝90°∴是的直径，，tan∠CBD＝，，在中，，，，，设则，AC＝BC，，，中，，，，,又，，，，，，，，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查了90°圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．36．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．【答案】(1)见解析，(2)【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．【详解】（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直径，∴；（2）解：∵，，∴，则．∵，∴．∵，∴，∴是等边三角形，则．∵平分，∴．∵是直径，∴，则．∵四边形是圆内接四边形，∴，则，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直径，∴此圆半径的长为．【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．37．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点（1）求A、B两点的坐标；（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2），-8＜＜0；（3）4．【分析】（1）根据一次函数的图像与性质即可求出A、B两点的坐标；（2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果；（3）根据圆周角性质可得，．由等角的三角函数关系可推出，再根据三角形面积公式得，由此得结论当最小时，的面积最小，最后利用圆的性质可得有最小值，且为的直径，进而求得结果．【详解】解：（1）当时，，解得，∴A（-8，0）．当时，，∴B（0，4）．（2）∵A（-8,0），∴．点P在直线上，∴，∴．∵点P在第二象限，∴＞0，且＜0．解得-8＜＜0；（3）∵B（0，4），∴．∵为的外接圆，∴，．∴．设，则．∴．∴当最小时，的面积最小．∴当时，有最小值，且为的直径．∴．即的半径为4．【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键．题型10已知圆内接四边形求角度38．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（

）

A．138° B．121° C．118° D．112°【答案】C【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得．【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∵∴∴故选：C【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键39．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．【详解】解：∵，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，故选：B.【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．40．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，四边形内接于，连接，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可．【详解】∵四边形内接于，∴，由圆周角定理得，，∵∴故选：B．【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．41．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，，点在射线上的动点，连接，作，，动点在延长线上，，连接，，当，时，的长是．【答案】【分析】过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN=3x，由△ACN≌△CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由点C、M、D、E四点共圆可得△NME是等腰直角三角形，于是NE=10-2x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt△CNE中由勾股定理建立方程求得x，进而可得BE；【详解】解：如图，过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN=BN•tan∠CBN=3x，∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，则∠CAN=∠DCM，在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，∴△ACN≌△CDM（AAS），∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，∵∠CMD=∠CED=90°，∴点C、M、D、E四点共圆，∴∠CME=∠CDE=45°，∵∠ENM=90°，∴△NME是等腰直角三角形，∴NE=NM=CM-CN=10-2x，Rt△ANC中，AC=，Rt△ECD中，CD=AC，CE=CD，Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，∴，，，x=5（舍去）或x=，∵BE=BN+NE=x+10-2x=10-x，∴BE=；故答案为：；【点睛】本题考查了