2025年大学《数理基础科学》专业题库-拓扑学在网络拓扑中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——拓扑学在网络拓扑中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.下列哪个拓扑性质在判断一个网络是否允许进行某些类型的布线操作时通常最为关键？A.紧致性B.连通性C.同胚性D.亏格数2.若一个网络可以抽象为一个无向图，且该图存在欧拉回路，则该网络在拓扑意义上可以看作是：A.单连通的B.具有多个不相交环的C.不可能实现全局覆盖的D.其最小生成树包含所有顶点3.在网络拓扑学中，一个网络的基本群为平凡群（仅包含恒等映射），这通常意味着该网络：A.包含无数条环路B.不存在任何环路C.至少存在一个简单的环路D.其结构是二维流形4.计算一个无向连通图的一维同调群（H1），其主要反映了该网络结构的哪种属性？A.顶点的数量B.边的数量C.独立环路或“孔洞”的数量D.网络的连通分量数量5.将一个网络嵌入到二维平面上而不出现任何边交叉，这等价于该网络的图论表示满足：A.存在哈密顿路径B.欧拉示性数为0C.是平面图D.同胚于球面二、填空题6.拓扑学中的______概念用于描述网络中从一个节点到另一个节点存在至少一条路径的性质。7.如果一个网络在移除某个节点后仍然保持连通，则称该节点是______的。8.基本群是研究网络中绕圈或______性质的重要工具。9.同调群H1为零意味着该网络结构中不存在______。10.一个具有n个顶点和m条边的无向连通图，其欧拉示性数（Eulercharacteristic,χ）通常等于______。三、计算题11.考虑一个由四个顶点A,B,C,D和四条边AB,BC,CD,DA组成的基础四边形网络（正方形）。请计算该网络抽象图的一维同调群H1，并简要说明其物理或网络拓扑意义。12.给定一个网络，其抽象图由以下顶点和边构成：顶点集V={1,2,3,4,5}，边集E={{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},{1,5}}。请判断该网络图是否为平面图。如果是，请简要说明理由；如果不是，请说明原因。四、证明题13.证明：任何树状结构的网络（其图论表示为树）的基本群都是平凡的。14.设G是一个简单的无向连通图，且其欧拉示性数χ(G)=2。证明：G可以嵌入到二维球面上，即G是一个平面图。试卷答案一、选择题1.B2.A3.B4.C5.C二、填空题6.连通性7.生成8.环路9.独立环路10.n-m三、计算题11.H1=Z。该网络有一个独立的环路（例如，顺时针绕正方形一圈），因此H1中的基向量对应这个环路。其物理或网络拓扑意义在于，该网络存在一个“基本回路”，绕此回路运行不会回到起点，这反映了网络结构中的一个自由度或潜在的非平面性特征。12.该图是平面图。理由：该图可以嵌入到二维平面中而不产生任何边交叉。例如，可以将其绘制为：顶点1在左上，顶点2在右上，顶点3在右下，顶点4在左下，顶点5在中心连接顶点1和4。所有边均不相交，满足平面图定义。四、证明题13.证明：设T是树状结构的网络。根据树的定义，T是无环连通图。对于无环连通图，不存在任何闭合环路。环路的存在意味着可以通过沿边行走回到起点，而树由于定义上没有环，任何这样的尝试都会在某个顶点遇到重复访问，这与连通性矛盾（因为连通图任意两顶点间有路径，树中路径唯一）。因此，T中不存在环路，其基本群G(T)仅包含恒等映射，即G(T)是平凡群。14.证明：根据欧拉示性数公式χ(G)=V-E+F，其中V是顶点数，E是边数，F是面数。已知χ(G)=2。对于嵌入到二维球面上的简单平面图，每个面（包括无限外部面）至少由三条边组成。因此，2E≥3F（所有边被计算多次，每条边属于两个面）。整理得2V-2E≥2F，即2-χ(G)≥F。将χ(G)=2代入，得F≤0。由于F表示面数，F必须为非负整数，所以F=0。将F=0代入欧拉公式2=V-