2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在金融风控中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在金融风控中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.请将答案写在答题纸上，写在试卷上无效。2.本试卷共分为五个大题，满分100分，考试时间120分钟。一、填空题（每空4分，共20分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ=________。2.一只股票的价格每天上涨或下跌1元的概率相等，若连续三天该股票的价格变化用X表示，则X的方差DX=________。3.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,...,Xn是来自X的样本，则样本均值∑(i=1ton)Xᵢ/n服从的分布是________。4.在金融风险管理中，VaR（ValueatRisk）衡量的是在给定置信水平α下，投资组合在持有期Δt内可能遭受的最大损失，其计算通常基于_________理论。5.若某资产收益率服从均值为μ，方差为σ²的正态分布，则该资产收益率在(μ-2σ,μ+2σ)区间内取值的概率大约为________。二、计算题（每题10分，共40分）1.某金融机构的贷款违约概率估计为2%。现从中随机抽取500笔贷款，求这500笔贷款中违约笔数超过10笔的概率。（建议使用泊松近似或正态近似）2.某投资组合包含两种资产A和B，投资比例分别为50%和50%，资产A的期望收益率E(Rᴬ)=12%，方差σᴬ²=4%；资产B的期望收益率E(Rᴮ)=8%，方差σᴮ²=1%，且资产A和B的收益率的相关系数ρ=0.4。求该投资组合的期望收益率E(Rp)和方差σp²。3.某公司股票的历史收益率数据如下（%）：10,-5,8,15,-10,12。试用简单算术平均法估计该股票的期望收益率。（提示：期望收益率=平均收益率）4.假设市场无风险利率为2%，某股票的当前价格为50元，6个月后到期。该股票有两种可能的价格：一种是上涨到60元，另一种是下跌到40元。若6个月后到期时，投资者要求获得与无风险利率相同的回报率，求该股票的期权的公平价格。（提示：构造无风险投资组合，运用风险中性定价法或二叉树模型思想）三、综合应用题（每题15分，共30分）1.某银行需要对客户的信用风险进行评估。假设银行认为客户的年违约次数Y服从参数为λ=0.1的泊松分布。若某客户一年内没有违约，银行给予其一定的信用评分奖励。已知泊松分布具有无记忆性，求一个已经服务了3年的客户在未来一年内首次违约的概率。（提示：利用泊松分布的无记忆性）2.某基金经理管理一个投资组合，期望在一年内实现15%的收益率。该组合的标准差为12%。市场整体风险溢价为5%，无风险利率为3%。假设市场组合的标准差为15%。请问该基金经理的预期收益率是否超过其风险调整后的预期水平？（提示：计算该投资组合的夏普比率，并与无风险利率进行比较；或直接比较其风险调整后预期收益率E(Rp)-Rf与市场风险溢价）四、论述题（20分）试述中心极限定理在金融风险管理中的应用，并说明其在实际应用中可能遇到的问题或局限性。试卷答案一、填空题（每空4分，共20分）1.22.2/33.N(μ,σ²/n)4.正态5.0.9544二、计算题（每题10分，共40分）1.解：设X为500笔贷款中违约的笔数，X~B(500,0.02)。E(X)=500*0.02=10,D(X)=500*0.02*0.98=9.8.由于n较大，p较小，可用泊松分布近似，λ=10。P(X>10)≈1-P(X≤10)=1-∑(k=0to10)(10ˣ*e⁻¹⁰/x!)查泊松分布表或用计算器可得P(X≤10)≈0.9513。所以P(X>10)≈1-0.9513=0.0487。（或用正态近似，X~N(10,9.8)，P(X>10)≈1-Φ(10-10/√9.8)=1-Φ(0)=0.5。但正态近似在此p=0.02时不够精确，泊松近似更佳。此处按泊松近似给分）答案：约0.04872.解：E(Rp)=wᴬE(Rᴬ)+wᴮE(Rᴮ)=0.5*12%+0.5*8%=10%。Cov(Rᴬ,Rᴮ)=ρ*σᴬ*σᴮ=0.4*√4*√1=0.8。σp²=wᴬ²σᴬ²+wᴮ²σᴮ²+2*wᴬ*wᴮ*Cov(Rᴬ,Rᴮ)=0.5²*4+0.5²*1+2*0.5*0.5*0.8=1+0.25+0.4=1.65。答案：E(Rp)=10%；σp²=1.653.解：简单算术平均法估计期望收益率=(10-5+8+15-10+12)/6=20/6≈3.3333%。答案：约3.3333%4.解：设股票价格上涨到60元记为“上”，下跌到40元记为“下”。期权到期日价值为V=60-50=10（上）或V=0（下）。风险中性概率P(上)满足：0.5*(60-50)+0.5*(0-50)=(1+0.02)*[0.5*(60-x)+0.5*(0-x)]。5=1.02*[0.5*(60-x)+0.5*0]。5=1.02*(30-x)/2。10=1.02*(30-x)。30-x=10/1.02≈9.8039。x≈30-9.8039=20.1961。期权的公平价格（现值）=e^(-0.02*6/12)*[0.5*(10-0)+0.5*(0-20.1961)]=e^(-0.01)*[5-10.09805]=0.99005*(-5.09805)≈-5.045。答案：约-5.045元三、综合应用题（每题15分，共30分）1.解：设X为客户在一年内违约的次数，X~P(0.1)。一年内未违约的概率P(X=0)=e^(-0.1)。已服务三年的客户未来一年内首次违约，等价于这个客户在第一年未违约（概率e^(-0.1)），且在第二年未违约（概率e^(-0.1)），且在第三年首次违约。由于泊松分布的无记忆性，客户在第三年首次违约的概率，相当于一个新客户在一年内首次违约的概率，即P(X=1)。P(X=1)=λ*e^(-λ)=0.1*e^(-0.1)。所以所求概率=P(X=0)*P(X=0)*P(X=1)=(e^(-0.1))^2*(0.1*e^(-0.1))=0.1*e^(-0.3)。答案：0.1*e^(-0.3)2.解法一（夏普比率）：该组合的夏普比率=(E(Rp)-Rf)/σp=(15%-3%)/12%=12%/12%=1。市场组合的夏普比率=(市场风险溢价)/市场组合标准差=5%/15%≈0.3333。由于该投资组合的夏普比率(1)>市场组合的夏普比率(约0.3333)，说明该基金经理的管理能力较强，其预期收益率超过了风险调整后的预期水平。答案：是解法二（直接比较风险调整后预期收益率）：该投资组合的风险调整后预