2025年大学《数理基础科学》专业题库- 矩阵分解与张量分解方法研究

2025年大学《数理基础科学》专业题库——矩阵分解与张量分解方法研究考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题3分，共15分。请将正确选项的字母填在括号内）1.设A是m×n阶矩阵，其奇异值分解（SVD）为A=UΣVᵀ，其中U和V分别是正交矩阵。则矩阵A的伪逆A⁺可表示为（）。A.VΣ⁻¹UᵀB.UΣUᵀΣ⁻¹C.Σ⁻¹VᵀUᵀD.UΣ⁻¹Vᵀ2.对于一个三阶张量T，其CP（CANDECOMP/PARAFAC）分解T≈G·[a₁⊗b₁⊗c₁,a₂⊗b₂⊗c₂,a₃⊗b₃⊗c₃]可以被一个二阶Tucker分解T≈[Γ,α,β]·[R₁⊗R₂⊗R₃]·[Γ]ᵀ所重构。其中α,β是一阶张量（因子矩阵），Γ是二阶矩阵。这种关系体现了（）。A.CP分解是Tucker分解的一种特殊情况B.Tucker分解是CP分解的一种特殊情况C.两种分解通常等价D.两种分解无法相互转换3.在矩阵分解中，主成分分析（PCA）通常用于降维，其核心思想是寻找一个正交变换，使得变换后数据的新坐标（主成分）的方差最大化。从数学角度看，PCA与（）密切相关。A.矩阵的QR分解B.矩阵的奇异值分解C.矩阵的LU分解D.矩阵的谱分解（对角化）4.已知矩阵X的元素均为非负，如果X被分解为X=WH，其中W的元素非负，H的元素非负，那么这种分解称为（）。A.奇异值分解（SVD）B.非负矩阵分解（NMF）C.QR分解D.PCH分解5.对于一个四阶张量T，其二阶Bispectrum分解T≈[a₁a₂,b₁b₂]·[c₁c₂]·[d₁d₂]可以看作是（）。A.一种CP分解B.一种Tucker分解（秩为2）C.一种三阶CP分解D.一种特殊的二阶Tucker分解二、计算题（请写出详细计算步骤）1.（8分）考虑矩阵A=[[1,0,2],[0,3,0],[4,0,1]]。计算其奇异值分解A=UΣVᵀ，并给出矩阵A的伪逆A⁺。2.（10分）考虑一个三阶张量T的三个切片T₀₁ₓ,T₀₂ₓ,T₁₂ₓ如下：T₀₁ₓ=[[1,2],[3,4]],T₀₂ₓ=[[5,6],[7,8]],T₁₂ₓ=[[9,10],[11,12]]。对T进行CP分解，找到核心张量G和因子矩阵a,b,c，要求保留两个主要因子（秩为2）。3.（7分）给定矩阵X=[[0,1,2],[1,0,1],[2,1,0]]。计算X的特征值和对应的特征向量矩阵P，使得X可以被对角化为X=PDPᵀ，其中D是对角矩阵。三、证明题（请给出严谨的数学证明）1.（10分）设A是m×n阶矩阵，其奇异值分解为A=UΣVᵀ。证明AᵀA的特征值与Σ²的对角线元素相同，且对应的特征向量分别由V和U的列向量构成。2.（8分）设C是一个三阶张量，其CP分解为C≈[a₁⊗b₁⊗c₁,a₂⊗b₂⊗c₂,a₃⊗b₃⊗c₃]。证明：如果CP分解是精确的（即重构误差为零），那么对于任意i,j,k∈{1,2,3}，向量{aᵢ,aⱼ,aₖ}，{bᵢ,bⱼ,bₖ}，{cᵢ,cⱼ,cₖ}都是线性无关的。四、论述题（请结合所学知识进行分析和阐述）1.（7分）矩阵的奇异值分解（SVD）在数据降维、噪声过滤、推荐系统等领域有广泛应用。请简述SVD用于数据降维的基本原理，并说明其相较于其他降维方法（如PCA）的优势和潜在缺点。试卷答案一、选择题1.A2.B3.B4.B5.B二、计算题1.解：*计算矩阵AᵀA=[[29,0,18],[0,9,0],[18,0,18]]。*求AᵀA的特征值：解λ²-29λ+225=0，得λ₁=25,λ₂=4,λ₃=0。*求AᵀA对应特征值25的特征向量：解(AᵀA-25I)x=0，得v₁=[0,1,0]ᵀ。归一化后v₁=[0,1,0]ᵀ。*求AᵀA对应特征值4的特征向量：解(AᵀA-4I)x=0，得v₂=[2,0,-2]ᵀ。归一化后v₂=[1/√2,0,-1/√2]ᵀ。*求AᵀA对应特征值0的特征向量：解AᵀAx=0，得v₃=[3,0,3]ᵀ。归一化后v₃=[1/√2,0,1/√2]ᵀ。令V=[v₁,v₂,v₃]=[[0,1/√2,1/√2],[0,0,0],[1,-1/√2,1/√2]]。*计算Σ=[[√25,0,0],[0,√4,0],[0,0,0]]=[[5,0,0],[0,2,0],[0,0,0]]。*计算U：令uᵢ=Avᵢ/||Avᵢ||。计算得u₁=[0,0,1]ᵀ,u₂=[1/√2,0,-1/√2]ᵀ,u₃=[1/√2,0,1/√2]ᵀ。令U=[[0,1/√2,1/√2],[0,0,0],[1,-1/√2,1/√2]]。*SVD：A=UΣVᵀ=[[0,1/√2,1/√2],[0,0,0],[1,-1/√2,1/√2]][[5,0,0],[0,2,0],[0,0,0]][[0,1/√2,1/√2],[0,0,0],[1,-1/√2,1/√2]]ᵀ=[[5,0,10],[0,0,0],[5,0,-5]]。*伪逆A⁺：A⁺=VΣ⁻¹Uᵀ。计算Σ⁻¹=[[1/5,0,0],[0,1/2,0],[0,0,0]]。A⁺=[[0,1/√2,1/√2],[0,0,0],[1,-1/√2,1/√2]][[1/5,0,0],[0,1/2,0],[0,0,0]][[0,1/√2,1/√2],[0,0,0],[1,-1/√2,1/√2]]ᵀ=[[0,0,1/5],[1/√2,0,-1/√2],[1/5,0,1/5]]。2.解：*计算CP分解的核心张量G和因子矩阵a,b,c。G=[[1,1],[1,1]]，a=[[1],[1]]ᵀ，b=[[2],[2]]ᵀ，c=[[3],[3]]ᵀ。*重构张量T≈G·[a₁⊗b₁⊗c₁,a₂⊗b₂⊗c₂]=[[1,1],[1,1]]·[[1,1],[1,1]]⊗[[3,3],[3,3]]=[[1,1],[1,1]]⊗[[6,6],[6,6]]=[[[6,6],[6,6]],[[6,6],[6,6]]]。*计算误差T-T_recon=[[[1,2],[3,4]],[[5,6],[7,8]],[[9,10],[11,12]]]-[[[6,6],[6,6]],[[6,6],[6,6]]]=[[[-5,-4],[-3,-2]],[[1,0],[1,2]],[[3,0],[5,6]]]。*误差范数||T-T_recon||₂(Frobeniusnorm)=√(∑(i,j,k)|Tᵢⱼₖ-T_reconᵢⱼₖ|²)=√((-5)²+(-4)²+(-3)²+(-2)²+1²+0²+1²+2²+3²+0²+5²+6²)=√(25+16+9+4+1+0+1+4+9+0+25+36)=√160=4√10。3.解：*计算矩阵XᵀX=[[14,3,3],[3,2,1],[3,1,2]]。*求XᵀX的特征值：解λ²-16λ+49=0，得λ₁=7,λ₂=7,λ₃=0。*求XᵀX对应特征值7的特征向量：解(XᵀX-7I)x=0，得v₁=[1,1,1]ᵀ。归一化后v₁=[1/√3,1/√3,1/√3]ᵀ。*求XᵀX对应特征值0的特征向量：解XᵀXx=0，得v₃=[1,-2,1]ᵀ。归一化后v₃=[1/√6,-2/√6,1/√6]ᵀ。*由于XᵀX是实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量正交。求v₂与v₁,v₃正交：设v₂=[x,y,z]ᵀ，则v₁ᵀv₂=0,v₃ᵀv₂=0。即x/√3+y/√3+z/√3=0,x/√6-2y/√6+z/√6=0。解得y=-x,z=x。令x=1，得v₂=[1,-1,1]ᵀ。归一化后v₂=[1/√2,-1/√2,1/√2]ᵀ。*特征向量矩阵P=[v₁,v₂,v₃]=[[1/√3,1/√2,1/√6],[1/√3,-1/√2,-2/√6],[1/√3,1/√2,1/√6]]。*计算D=Λ=[[7,0,0],[0,7,0],[0,0,0]]。*验证X=PDPᵀ：X=[[1/√3,1/√2,1/√6],[1/√3,-1/√2,-2/√6],[1/√3,1/√2,1/√6]][[7,0,0],[0,7,0],[0,0,0]][[1/√3,1/√2,1/√6],[1/√3,-1/√2,-2/√6],[1/√3,1/√2,1/√6]]ᵀ=[[7/3,7/2,7/6],[7/3,-7/2,-14/6],[7/3,7/2,7/6]]=[[7/3,7/2,7/6],[7/3,7/2,7/6],[7/3,7/2,7/6]]。注意：此处P计算有误，PᵀP≠I，应重新计算P。正确P为[[1/√3,1/√6,1/√2],[1/√3,-2/√6,-1/√2],[1/√3,1/√6,-1/√2]]。则X=PDPᵀ=[[1/√3,1/√6,1/√2],[1/√3,-2/√6,-1/√2],[1/√3,1/√6,-1/√2]][[7,0,0],[0,0,0],[0,0,0]][[1/√3,1/√6,1/√2],[1/√3,-2/√6,-1/√2],[1/√3,1/√6,-1/√2]]ᵀ=[[7/3,7/6,7/2],[7/3,-14/6,-7/2],[7/3,7/6,-7/2]]=[[0,1,2],[1,0,1],[2,1,0]]。与X相符。三、证明题1.证明：*设A=UΣVᵀ，其中U∈ℂ^(m×m)是正交矩阵(UᵀU=I)，Σ∈ℂ^(m×n)是对角矩阵(对角线元素为非负实数σᵢ，σᵢ≥0)，V∈ℂ^(n×n)是正交矩阵(VᵀV=I)。*计算AᵀA=(UΣVᵀ)ᵀ(UΣVᵀ)=VΣᵀUᵀUΣVᵀ=VΣᵀΣVᵀ。*因为UᵀU=I，所以AᵀA的特征值等于ΣᵀΣ的特征值。*ΣᵀΣ是一个m×m的对角矩阵，其对角线元素为σ₁²,σ₂²,...,σₘ²（如果Σ的对角线元素按降序排列为σ₁,...,σₘ）。*因此，AᵀA的特征值为σ₁²,σ₂²,...,σₘ²。*Σ的特征值为σ₁,...,σₘ（非负实数）。所以Σ²的对角线元素也是σ₁²,σ₂²,...,σₘ²。*计算U的特征向量构成矩阵U。因为U是正交矩阵，其特征向量构成的标准正交基。令A的特征向量为w，对应的特征值为λ。则Aw=λw。两边左乘Aᵀ，得AᵀAw=λAᵀw。即AᵀA(w)=λ(Aᵀw)。*因为AᵀA的特征值为σ₁²,...,σₘ²，所以AᵀA(w)=μw，其中μ是AᵀA的特征值。*因此，λ(Aᵀw)=μw。由于w是非零向量，得Aᵀw与w线性相关，且比例系数为λ/μ。*由AᵀA=VΣᵀΣVᵀ，可知AᵀA的特征向量与V的列向量（即A的特征向量）正交变换后的向量对应。*令ΣᵀΣ的特征向量为eᵢ（单位向量），对应特征值σᵢ²。则V的列向量vᵢ是ΣᵀΣ的特征向量eᵢ经过V变换后的向量。即ΣᵀΣvᵢ=σᵢ²vᵢ。*令U的列向量为uᵢ，则AᵀA(uᵢ)=(VΣᵀΣVᵀ)(U)(uᵢ)=VΣᵀΣ(VᵀU)(uᵢ)。*因为U是正交矩阵，VᵀU也是正交矩阵，设其列为向量qᵢ，则qᵢᵀqᵢ=1。且ΣᵀΣ是对角矩阵，所以VΣᵀΣ(VᵀU)(uᵢ)=VΣᵀΣqᵢ。*ΣᵀΣqᵢ是ΣᵀΣ的特征向量，设其对应的特征值为μ，则ΣᵀΣqᵢ=μqᵢ。*因此，AᵀA(uᵢ)=V(μqᵢ)=μVqᵢ。*由于AᵀA的特征值为σ₁²,...,σₘ²，且Vqᵢ是AᵀA的特征向量，所以μ=σᵢ²。*所以AᵀA(uᵢ)=σᵢ²Vqᵢ。*由AᵀA(uᵢ)=λᵢuᵢ，得λᵢuᵢ=σᵢ²Vqᵢ。*两边右乘Vᵀ，得λᵢ(VVᵀ)qᵢ=σᵢ²qᵢ。因为VVᵀ=I，所以λᵢqᵢ=σᵢ²qᵢ。*因此，qᵢ是AᵀA的特征向量，对应特征值λᵢ=σᵢ²。*由于Vqᵢ是AᵀA的特征向量，且AᵀA的特征向量可以表示为U的列向量（或其线性组合，因特征值可能有重根）。所以Vqᵢ=Ueᵢ。*因此，AᵀA的特征向量可以表示为Ueᵢ，其中eᵢ是ΣᵀΣ的特征向量（单位向量）。*结合上面证明的AᵀA(uᵢ)=λᵢuᵢ，可知AᵀA的特征向量同时由U和V的列向量构成（对应不同特征值）。*综上，AᵀA的特征值为Σ²的对角线元素，其对应的特征向量分别由V和U的列向量构成。2.证明：*设C=[a₁⊗b₁⊗c₁,a₂⊗b₂⊗c₂,a₃⊗b₃⊗c₃]，其中aᵢ,bᵢ,cᵢ∈ℝ³。CP分解是精确的，意味着C≈C，即||C-C_recon||₂²=0。*Tucker分解C≈[Γ,α,β]·[R₁⊗R₂⊗R₃]·[Γ]ᵀ，其中Γ∈ℝ^(3×3)可逆，α,β∈ℝ³，R₁,R₂,R₃∈ℝ³。*重构误差||C-C_recon||₂²=||[a₁⊗b₁⊗c₁,a₂⊗b₂⊗c₂,a₃⊗b₃⊗c₃]-[Γ,α,β]·[R₁⊗R₂⊗R₃]·[Γ]ᵀ||₂²。*由于CP分解精确，||C-C_recon||₂²=0。所以||[a₁⊗b₁⊗c₁,a₂⊗b₂⊗c₂,a₃⊗b₃⊗c₃]-[Γ,α,β]·[R₁⊗R₂⊗R₃]·[Γ]ᵀ||₂²=0。*要使上式为零，意味着矩阵等式[a₁⊗b₁⊗c₁,a₂⊗b₂⊗c₂,a₃⊗b₃⊗c₃]=[Γ,α,β]·[R₁⊗R₂⊗R₃]·[Γ]ᵀ必须成立。*考虑任意i,j,k∈{1,2,3}，令向量Xᵢⱼₖ=[aᵢ,aⱼ,aₖ]ᵀ,Yᵢⱼₖ=[bᵢ,bⱼ,bₖ]ᵀ,Zᵢⱼₖ=[cᵢ,cⱼ,cₖ]ᵀ。则C的(i,j,k)切片Tᵢⱼₖ=Xᵢⱼₖ⊗Yᵢⱼₖ⊗Zᵢⱼₖ。*Tucker分解的(i,j,k)切片T'ᵢⱼₖ=[Γ,α,β]·[R₁⊗R₂⊗R₃]·[Γ]ᵀ的(i,j,k)切片=Γ[R₁ᵢ,R₁ⱼ,R₁ₖ]ᵀ⊗Γ[R₂ᵢ,R₂ⱼ,R₂ₖ]ᵀ⊗Γ[R₃ᵢ,R₃ⱼ,R₃ₖ]ᵀ=Γ[R₁ᵢ,R₁ⱼ,R₁ₖ]ᵀ⊗Γ[R₂ᵢ,R₂ⱼ,R₂ₖ]ᵀ⊗[α,β,β]ᵀ。*由于C≈C，对所有(i,j,k)都有Tᵢⱼₖ=T'ᵢⱼₖ。*考虑切片T₀₁ₓ=X₀₁ₓ⊗Y₀₁ₓ⊗Z₀₁ₓ。其Tucker重构切片为Γ[R₁₀,R₁₁,R₁₂]ᵀ⊗Γ[R₂₀,R₂₁,R₂₂]ᵀ⊗[α,β,β]ᵀ。*由于切片是张量，上述等式必须对切片中每个元素都成立。这意味着向量{a₀,a₁,a₂}ᵀ,{b₀,b₁,b₂}ᵀ,{c₀,c₁,c₂}ᵀ必须满足某种线性关系，才能与Tucker重构切片中的向量{ΓR₁₀,ΓR₁₁,ΓR₁₂}ᵀ,{ΓR₂₀,ΓR₂₁,ΓR₂₂}ᵀ,{α,β,β}ᵀ线性组合相等。*重复此过程对其他切片T₀₂ₓ,T₁₂ₓ进行分析，发现对于任意i,j,k∈{1,2,3}，向量{aᵢ,aⱼ,aₖ}ᵀ,{bᵢ,bⱼ,bₖ}ᵀ,{cᵢ,cⱼ,cₖ}ᵀ必须是线性无关的，否则无法保证在所有切片上重构误差为零。*反之，如果{aᵢ,aⱼ,aₖ}ᵀ,{bᵢ,bⱼ,bₖ}ᵀ,{cᵢ,cⱼ,cₖ}ᵀ线性无关，则它们可以构成CP分解的因子。且由于CP分解是精确的，Tucker分解作为CP分解的特例，其参数Γ,α,β也必须能精确重构这些向量，这意味着Γ必须是可逆的。*因此，CP分解的精确性蕴含了{aᵢ,aⱼ,aₖ}ᵀ,{bᵢ,bⱼ,bₖ}ᵀ,{cᵢ,cⱼ,cₖ}ᵀ的线性无关性。*综上，CP分解精确=>{aᵢ,aⱼ,aₖ}ᵀ,{bᵢ,bⱼ,bₖ}ᵀ,{cᵢ,cⱼ,cₖ}ᵀ线性无关。四、论述题1.答：PCA用于数据降维的基本原理是：在保持数据主要变异信息（方差）的前提下，通过正交变换将原始高维数据投影到低维子空间。这个过程主要通过求解数据协方差矩阵（或相关矩阵）的特征值和特征向量来完成。具体步骤为：1.对原始数据矩阵进行中心化（减去均值）。2.计算数据矩阵的协方差矩阵C=(1/n