2025年大学《数理基础科学》专业题库- 拓扑学在数据可视化中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——拓扑学在数据可视化中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在括号内。）1.下列哪个不是拓扑学的基本性质？A.连通性B.紧致性C.可度量化性D.同胚不变性2.在数据可视化中，Alpha形状主要用于什么？A.描述数据集的局部几何结构B.描述数据集的全局拓扑结构C.描述数据集的统计分布D.描述数据集的时间序列特征3.下列哪种拓扑方法更适合处理高维数据？A.车比雪夫拓扑B.分段线性拓扑C.基于图的拓扑方法D.以上都不是4.力导向图在数据可视化中的作用是什么？A.揭示数据点之间的相似性B.揭示数据点之间的关联性C.揭示数据点之间的层次关系D.揭示数据点之间的时空关系5.拓扑数据分析（TDA）的核心思想是什么？A.将数据映射到低维空间B.将数据表示为点集C.研究数据的拓扑不变量D.研究数据的统计特征二、填空题（每小题3分，共15分。请将答案填在横线上。）6.连通性是拓扑学中的一个基本概念，它描述了______之间的连接关系。7.图论是拓扑学研究的重要工具，它可以用来表示数据点之间的______关系。8.拓扑图是一种基于拓扑学的数据可视化方法，它可以用来揭示数据集的______结构。9.在数据可视化中，拓扑学可以帮助我们理解数据的______特征。10.拓扑学在机器学习中的应用之一是用于______的分类和聚类。三、简答题（每小题5分，共20分。）11.简述拓扑学在数据可视化中的优势。12.简述Alpha形状在数据可视化中的工作原理。13.简述力导向图在数据可视化中的布局原理。14.简述拓扑数据分析（TDA）的基本流程。四、计算题（每小题10分，共20分。）15.假设有一个数据集包含5个数据点，它们之间的距离矩阵如下：||A|B|C|D|E||---|---|---|---|---|---||A|0|2|5|1|3||B|2|0|3|2|4||C|5|3|0|4|2||D|1|2|4|0|1||E|3|4|2|1|0|请使用图论方法计算该数据集的连通性。16.假设有一个数据集的拓扑图如下（节点表示数据点，边表示数据点之间的连接关系）：(请在这里绘制拓扑图)请描述该数据集的拓扑结构。五、论述题（每小题10分，共20分。）17.论述拓扑学在数据可视化中的意义和应用前景。18.论述不同拓扑可视化方法的优缺点，并举例说明如何选择合适的拓扑可视化方法。试卷答案一、选择题1.C2.A3.C4.B5.C二、填空题6.数据点7.连接8.局部9.拓扑10.高维三、简答题11.简述拓扑学在数据可视化中的优势。解析思路：拓扑学关注数据结构的不变量，能够揭示数据集的内在结构和特征，不受度量尺度的影响，能够处理高维数据和噪声数据，提供新的数据分析和可视化视角。12.简述Alpha形状在数据可视化中的工作原理。解析思路：Alpha形状通过调整参数Alpha值，可以构建一个嵌套的复杂形状序列，Alpha值越小，形状越复杂，包含的细节越多。通过观察不同Alpha值下的Alpha形状，可以了解数据集的局部几何结构和密度。13.简述力导向图在数据可视化中的布局原理。解析思路：力导向图基于物理力的模拟，将节点视为带电荷的粒子，节点之间的连接视为弹簧。通过模拟电荷之间的斥力和连接之间的引力，使得节点在二维平面上的布局更加美观和易于理解。14.简述拓扑数据分析（TDA）的基本流程。解析思路：TDA的基本流程包括：构建数据集的拓扑特征（如持续同调群），计算拓扑特征之间的距离或相似度，以及基于拓扑特征进行数据分析或可视化。四、计算题15.假设有一个数据集包含5个数据点，它们之间的距离矩阵如下：||A|B|C|D|E||---|---|---|---|---|---||A|0|2|5|1|3||B|2|0|3|2|4||C|5|3|0|4|2||D|1|2|4|0|1||E|3|4|2|1|0|请使用图论方法计算该数据集的连通性。解析思路：根据距离矩阵，构建一个无向图，节点为数据点，距离小于等于2的节点之间建立边。该图如下：A-B,A-D,B-C,B-D,B-E,C-E,D-E通过深度优先搜索或广度优先搜索，可以得到以下连通分量：{A,B,D},{C,E}16.假设有一个数据集的拓扑图如下（节点表示数据点，边表示数据点之间的连接关系）：(请在这里绘制拓扑图)请描述该数据集的拓扑结构。解析思路：根据拓扑图，分析节点之间的连接关系，判断数据集的连通性、循环等拓扑特征。例如，如果图中存在一个闭合的环路，则说明数据集中存在循环结构。五、论述题17.论述拓扑学在数据可视化中的意义和应用前景。解析思路：拓扑学为数据可视化提供了新的视角和方法，能够揭示数据集的内在结构和特征，不受度量尺度的影响，能够处理高维数据和噪声数据。拓扑学在生物信息学、社交网络分析、地理信息学等领域有着广泛的应用前景。18.论述不同拓扑可视化方法的优缺点，并举例说明如何选择合适的拓扑可视化方法。解析思路：不同的拓扑可视化方法有不同的优缺点，例如Alpha形