2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在食品科学与烹饪技术研究中的应用探究

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在食品科学与烹饪技术研究中的应用探究考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设函数$f(x)=\frac{e^x-1}{x}$，其中$x\neq0$。(1)求$f(x)$在$x=0$处的极限。(2)求$f'(x)$。(3)利用(2)的结果，计算$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$。二、已知向量$\mathbf{a}=(1,2,-1),\mathbf{b}=(2,-1,3),\mathbf{c}=(1,1,1)$。(1)求$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$。(2)求与$\mathbf{a},\mathbf{b}$都垂直的单位向量。三、某食品加工过程可以将一种原料转化为两种产品。已知每投入100公斤原料，可以产出80公斤产品A和60公斤产品B。产品A的售价为每公斤10元，产品B的售价为每公斤8元。假设生产过程不消耗其他原料，且原料成本为每公斤5元。现计划每天使用不超过2000公斤的原料。(1)建立数学模型，表示该食品加工过程每天的总利润。(2)求使每天总利润最大的原料投入量和两种产品的产量。四、设随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$。(1)求$X$的分布函数$F(x)$。(2)求$P(0.5<X<1)$。(3)设$Y=X^2$，求$Y$的概率密度函数$g(y)$。五、某食品公司生产一种新型酸奶，其口感评分服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$。已知该酸奶的平均口感评分为80分，标准差为10分。(1)求口感评分超过90分的概率。(2)现进行一项新的生产工艺测试，测试了36份酸奶，其平均口感评分为82分。假设新工艺不改变酸奶口感评分的方差，能否认为新工艺显著提高了酸奶的口感评分？($\alpha=0.05$)(3)某消费者购买了一盒该酸奶，其口感评分为95分。假设该消费者认为口感评分超过85分的酸奶才值得购买，请问该消费者会认为这盒酸奶值得购买吗？六、设函数$f(x)=x^3-3x^2+2$。(1)求$f(x)$的所有极值点。(2)求$f(x)$的拐点。(3)作出$f(x)$的简图，并说明其单调性、凹凸性和渐近线（如果存在）。七、某烘焙店生产一种面包，其成本函数为$C(q)=0.5q^2+10q+50$，其中$q$为生产面包的数量（单位：个），$C(q)$的单位为元。(1)求生产50个面包的平均成本。(2)求生产50个面包的边际成本。(3)该面包的售价为每个2元，求生产多少个面包时，利润最大？最大利润是多少？八、设线性方程组$\begin{cases}x_1+2x_2-x_3+x_4=1\\2x_1+4x_2-2x_3+2x_4=2\\-x_1-2x_2+x_3-x_4=\lambda\end{cases}$。(1)讨论该线性方程组解的情况（有唯一解、无解、有无穷多解）。(2)若该线性方程组有解，求其通解。九、某食品市场调研发现，某种新产品的需求量$Q$（单位：件）与价格$p$（单位：元/件）之间的关系满足$Q=100-2p$。(1)求该产品的收入函数$R(p)$。(2)求该产品的边际收入函数$R'(p)$。(3)求当价格$p=20$元时，该产品的需求价格弹性。十、某食品公司生产两种类型的零食：A型和B型。生产每吨A型零食需要消耗2吨原料，并需要3个工时；生产每吨B型零食需要消耗3吨原料，并需要2个工时。公司每周可获得的原料量为100吨，工时数为120个。A型零食的售价为每吨5万元，B型零食的售价为每吨4万元。假设生产过程不产生其他成本。(1)建立数学模型，表示该食品公司每周的总收入。(2)求使每周总收入最大的A型零食和B型零食的产量。试卷答案一、(1)$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x(e^0-1)}{x(e^x-1)}=\lim_{x\to0}\frac{e^x(x-0)}{x(e^x-1)}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{e^x-1}\cdot\frac{x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{e^x-1}=1$（利用洛必达法则或等价无穷小）(2)$f'(x)=\left(\frac{e^x-1}{x}\right)'=\frac{(e^x-1)'\cdotx-(e^x-1)\cdot(x)'}{x^2}=\frac{e^x\cdotx-(e^x-1)}{x^2}=\frac{xe^x-e^x+1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)+1}{x^2}$(3)$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{(e^x-1)-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{xe^x-e^x+1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{xe^x-e^x}{x^2}+\lim_{x\to0}\frac{1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x(x-1)+xe^x}{2x}+\lim_{x\to0}\frac{-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x(x-1)}{2x}+\lim_{x\to0}\frac{xe^x}{2x}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（利用$f'(0)$的结果）二、(1)$\mathbf{b}\times\mathbf{c}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&-1&3\\1&1&1\end{vmatrix}=(-1-3)\mathbf{i}-(2-3)\mathbf{j}+(2+1)\mathbf{k}=-4\mathbf{i}+\mathbf{j}+3\mathbf{k}$$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(1,2,-1)\cdot(-4,1,3)=1\cdot(-4)+2\cdot1+(-1)\cdot3=-4+2-3=-5$(2)设$\mathbf{v}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&2&-1\\2&-1&3\end{vmatrix}=(6-1)\mathbf{i}-(3+2)\mathbf{j}+(-1-4)\mathbf{k}=5\mathbf{i}-5\mathbf{j}-5\mathbf{k}=5(1,-1,-1)$与$\mathbf{a},\mathbf{b}$都垂直的向量是$\mathbf{v}$的倍数，单位向量为$\pm\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}=\pm\frac{1}{\sqrt{5^2+(-5)^2+(-5)^2}}(1,-1,-1)=\pm\frac{1}{5\sqrt{3}}(1,-1,-1)$三、(1)设每天投入$x$公斤原料，生产产品A$y$公斤，产品B$z$公斤。则有$y=\frac{4}{5}x,z=\frac{3}{5}x$。每天总利润$L=10y+8z-5x=10\cdot\frac{4}{5}x+8\cdot\frac{3}{5}x-5x=8x$(2)$x\leq2000$，$L=8x$是关于$x$的线性函数，在$x=2000$时取得最大值。此时，$y=\frac{4}{5}\cdot2000=1600$，$z=\frac{3}{5}\cdot2000=1200$。最大利润为$L=8\cdot2000=16000$元。四、(1)当$x<0$时，$F(x)=0$；当$x>1$时，$F(x)=1$。当$0\leqx\leq1$时，$F(x)=\int_0^x2tdt=t^2\bigg|_0^x=x^2$。所以，$F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\x^2,&0\leqx\leq1\\1,&x>1\end{cases}$(2)$P(0.5<X<1)=F(1)-F(0.5)=1-0.5^2=1-0.25=0.75$(3)当$y<0$时，$g(y)=0$；当$y>1$时，$g(y)=0$。当$0\leqy\leq1$时，$g(y)=\frac{d}{dy}P(Y\leqy)=\frac{d}{dy}P(X^2\leqy)=\frac{d}{dy}P(-\sqrt{y}\leqX\leq\sqrt{y})=\frac{d}{dy}(F(\sqrt{y})-F(-\sqrt{y}))=F'(\sqrt{y})\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}-F'(-\sqrt{y})\cdot\left(-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)=2\sqrt{y}\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=1$所以，$g(y)=\begin{cases}0,&y<0\\1,&0\leqy\leq1\\0,&y>1\end{cases}$五、(1)$P(X>90)=P\left(\frac{X-80}{10}>\frac{90-80}{10}\right)=P(Z>1)=1-P(Z\leq1)=1-0.8413=0.1587$（标准正态分布表）(2)$H_0:\mu=80,H_1:\mu>80$检验统计量$T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{82-80}{10/\sqrt{36}}=\frac{2}{1.67}=1.197$拒绝域$R=\{T>z_{0.05}\}=\{T>1.645\}$因为$1.197<1.645$，所以不拒绝$H_0$，不能认为新工艺显著提高了酸奶的口感评分。(3)$P(X>85)=P\left(\frac{X-80}{10}>\frac{85-80}{10}\right)=P(Z>0.5)=1-P(Z\leq0.5)=1-0.6915=0.3085$因为$0.3085<0.5$，所以该消费者不会认为这盒酸奶值得购买。六、(1)$f'(x)=3x^2-6x$令$f'(x)=0$，得$x^2-2x=0$，$x(x-2)=0$，$x=0,2$$f''(x)=6x-6$$f''(0)=-6<0$，所以$x=0$为极大值点。$f''(2)=6>0$，所以$x=2$为极小值点。(2)令$f''(x)=0$，得$x=1$$f'''(x)=6$$f'''(1)=6\neq0$，所以$(1,f(1))=(1,0)$为拐点。(3)$f(-\infty)=-\infty,f(\infty)=\infty$$f'(x)>0\Leftrightarrowx<0$或$x>2$$f'(x)<0\Leftrightarrow0<x<2$$f''(x)<0\Leftrightarrowx<1$$f''(x)>0\Leftrightarrowx>1$单调递增区间：$(-\infty,0),(2,\infty)$单调递减区间：$(0,2)$凹区间：$(-\infty,1)$凸区间：$(1,\infty)$无渐近线。七、(1)$\bar{C}(50)=\frac{C(50)}{50}=\frac{0.5\cdot50^2+10\cdot50+50}{50}=0.5\cdot50+10+1=31$元/个(2)$C'(q)=0.5\cdot2q+10=q+10$当$q=50$时，$C'(50)=50+10=60$元/个(3)收入函数$R(q)=2q$利润函数$L(q)=R(q)-C(q)=2q-(0.5q^2+10q+50)=-0.5q^2+2q-50$$L'(q)=-q+2$令$L'(q)=0$，得$q=2$$L''(q)=-1<0$，所以$q=2$为最大值点。最大利润为$L(2)=-0.5\cdot2^2+2\cdot2-50=-2+4-50=-48$元但是，$L(2)<0$，说明生产该产品会亏损。为了减少亏损，需要停产，即$q=0$。此时，亏损为固定成本$50$元。所以，应该停产，不生产任何产品。八、增广矩阵$\overline{\mathbf{A}}=\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&4&-2&2\\-1&-2&1&\lambda\end{pmatrix}$行变换：$R_2\leftarrowR_2-2R_1,R_3\leftarrowR_3+R_1$$\overline{\mathbf{A}}=\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&\lambda+1\end{pmatrix}$(1)当$\lambda\neq-1$时，$R_3$的首元为非零数，$\overline{\mathbf{A}}$的秩为3，$R_1$的秩为1，方程组无解。当$\lambda=-1$时，$R_3$为零行，$\overline{\mathbf{A}}$的秩为1，$R_1$的秩为1，方程组有无穷多解。(2)当$\lambda=-1$时，方程组为