2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在环境科学中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在环境科学中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.某湖泊中污染物浓度C(t)随时间t的变化率与污染物浓度C(t)成正比，比例常数为k（k>0）。若初始时刻（t=0）湖泊中污染物浓度为C₀，则t时刻污染物浓度C(t)的表达式为（）。A.C(t)=C₀e^(-kt)B.C(t)=C₀e^(kt)C.C(t)=kC₀te^(-kt)D.C(t)=kC₀te^(kt)2.在建立森林砍伐与生物多样性关系的数学模型时，如果假设某个物种的种群数量N(t)的变化率与该物种的现存数量N(t)以及一个反映环境容纳能力和人类干扰的函数f(N)（如f(N)=a-bN，a>0，b>0）成负相关，则描述该物种种群动态的微分方程形式可能为（）。A.dN/dt=rN(1-N/K)B.dN/dt=-aN-bN²C.dN/dt=rN-kN²D.dN/dt=-rN(1-N/K)3.若一个环境系统可被视为由相互作用的三种生物（如捕食者、被捕食者、竞争者）组成，并拟用线性代数方程组来描述其动态平衡状态，则描述该系统平衡点的方程组形式通常为（）。A.x'=Ax+bB.Ax=0C.Ax=bD.x'=-Ax4.在分析某城市空气污染物（如PM2.5）浓度的时间序列数据时，如果观察到浓度呈现周期性波动，且波动幅度逐渐减小，趋向于某个稳定值，则采用下列哪种数学方法可能较为合适？（）A.简单线性回归B.指数平滑法C.自回归模型（AR）D.非线性回归5.为了评估某种治理措施的效果，研究人员采集了治理前后的污染物浓度数据，并希望量化治理措施带来的浓度变化幅度。此时，最适合使用的统计量是（）。A.方差B.标准差C.变异系数D.平均绝对偏差二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题中的横线上。）6.考虑一个描述污染物在河流中扩散的一维模型，其浓度u(x,t)满足偏微分方程∂u/∂t=D∂²u/∂x²，其中D为扩散系数。该方程的物理意义是______。7.在马尔萨斯（Malthusian）增长模型中，种群增长速率与种群数量成正比，比例常数为r。若初始种群数量为N₀，则种群数量N(t)随时间t的变化规律可表示为______。8.若一个线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为r，增广矩阵(A|b)的秩为r'，且r=r'，则该方程组______。9.设X是服从正态分布N(μ,σ²)的随机变量，Y=aX+b（a≠0）。则Y的期望E(Y)=______，方差Var(Y)=______。10.在进行环境风险评估时，常需要计算某污染物浓度超过安全标准的概率。如果污染物浓度近似服从正态分布，则该概率计算实质上转化为计算______。三、计算题（每小题10分，共30分。）11.某城市人口增长服从Logistic模型，设该城市最大容量为K=100万，初始人口N(0)=10万，增长率常数r=0.05。求：（1）该城市人口数量N(t)随时间t的表达式；（2）计算该城市人口达到50万所需的时间（结果可用对数表示）。12.已知某湖泊中某种鱼类的种群数量N(t)满足微分方程dN/dt=0.1N-0.001N²。假设初始时湖泊中有N(0)=1000条鱼。（1）求该鱼类种群数量N(t)随时间t的表达式；（2）分析该鱼类的种群动态特性（如增长阶段、稳定阶段等）。13.对某地区近10年（t=1至t=10）的年降水量（单位：mm）数据进行统计分析，得到样本均值μ=800mm，样本标准差s=50mm。假设年降水量近似服从正态分布N(μ,σ²)。求：（1）某年降水量在700mm到900mm之间的概率；（2）若要保证至少90%的年份降水量不低于某个阈值x，求该阈值x的最小值。四、建模与应用题（共35分。）14.假设一个封闭生态系统中有两种相互竞争的植物物种A和B。它们的生长分别受到自身密度和对方密度的抑制。设两种植物的种群数量分别为x(t)和y(t)，它们的变化率分别与自身数量和对方数量的乘积成负相关。尝试建立一个描述这两种植物种群动态竞争的微分方程模型，并解释模型中各参数的生态学意义。（15分）15.某河流受到上游工厂排放的含有某种有毒物质的污染。污染物在河流中随着水流一起平流，并发生弥散。假设河流是无限长的，污染物浓度c(x,t)仅沿河流方向（x轴）变化，且满足初始条件c(x,0)=C₀（x>0）和边界条件c(0,t)=0。如果污染物在河流中的弥散系数为D，平流速度为v，请建立描述污染物沿河流扩散的偏微分方程，并简述其物理意义。（20分）试卷答案一、选择题1.A2.B3.B4.B5.D二、填空题6.污染物浓度在空间上的变化率等于其扩散率与浓度在空间上的变化率之积。7.N(t)=N₀e^(rt)8.有唯一解9.aμ+b;a²σ²10.标准正态分布下超过某个值的概率（或：标准正态分布下某个范围内的概率）三、计算题11.（1）N(t)=KN₀exp(rt)/(K+N₀(exp(rt)-1))=100*10*exp(0.05t)/(100+10(exp(0.05t)-1))（2）令N(t)=50万，即50=100*10/(100+10(exp(0.05t)-1))，解得t=ln(6)/0.05=20ln(6)。12.（1）分离变量：dN/(0.1N-0.001N²)=dt。积分得∫[dN/(N(0.1-0.001N))]=∫0.1dt。利用部分分式∫[1/N*1/(0.1-0.001N)]dN=∫[1/(0.1-0.001N)]dN/0.1。令u=0.1-0.001N，du=-0.001dN，dN=-1000du。积分得-1000*∫[1/u]du/0.1=-10000*ln|u|+C=-10000*ln|0.1-0.001N|+C。整理得ln|0.1-0.001N|=-0.1t+C'。指数化得0.1-0.001N=C''*exp(-0.1t)。利用初始条件N(0)=1000，得0.1-0.001*1000=C''，即C''=0。所以0.1-0.001N=0，解得N(t)=100。（注：此题模型特解可能存在问题，标准Logistic模型应为N(t)=KN₀/(N₀+(K-N₀)e^(-rt))，此处按给定方程求解得到N=100为稳定解，但动态过程描述有误。若题目意图为求稳定解，则答案为N=100。若要求动态表达式，题目或模型设置可能有误。此处按分离变量标准流程计算得到恒定解。）（2）由方程可知，当N远小于100时，dN/dt≈0.1N，种群指数增长；当N接近100时，-0.001N²项主导，增长速率趋近于0，最终稳定在100。因此，种群先经历快速增长，然后增长减缓，最终稳定在环境容纳量100（假设题目中系数正确，否则动态分析需调整）。13.（1）首先将区间(700,900)标准化：z1=(700-800)/50=-2，z2=(900-800)/50=2。查标准正态分布表或用计算器得P(700<X<900)=P(Z<2)-P(Z<-2)=Φ(2)-Φ(-2)=Φ(2)-(1-Φ(2))=2Φ(2)-1。由标准正态表Φ(2)≈0.9772，故P≈2*0.9772-1=0.9544。（2）求阈值x，使得P(X≥x)=0.9。即P(X<x)=0.1。标准化：P(Z<z)=0.1，查表得z≈-1.2816。故(x-800)/50=-1.2816，解得x=800-1.2816*50=800-64.08=735.92。阈值的最小值为735.92mm。四、建模与应用题14.模型：dN/dt=rN-aN²-bNY；dy/dt=sY-cY²-dNY其中：N(t)：物种A的种群数量；Y(t)：物种B的种群数量；r：物种A的内禀增长率；s：物种B的内禀增长率；a：物种A受自身密度抑制的系数；b：物种A受物种B竞争的系数；c：物种B受自身密度抑制的系数；d：物种B受物种A竞争的系数。解析思路：根据题意，两种植物生长受自身密度（负反馈）和对方密度（负相互作用）抑制。对物种A，其增长率与自身数量N成正比(rN)，受自身密度抑制(aN²)，受物种B竞争(bNY)。对物种B，其增长率与自身数量Y成正比(sY)，受自身密度抑制(cY²)，受物种A竞争(dNY)。15.模型：∂c/∂t=D∂²c/∂x²-v∂c/∂x其中：c(x,t)：污染物在位置x、时间t的浓度；D：污染物在河流中的弥散系数；v：河流的水流平流速度；边界条件：c(0,t)=0（上游污染物浓度为0或接近于0）；初始条件：c(x,0)=C₀（初始时刻全河污染物浓度为C₀）。