第15章 轴对称 单元测试3（解析版）

2/2第十五章轴对称单元检测卷建议用时：120分钟，满分：120分选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列平面图形中，是轴对称图形的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】A【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】A．是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．2．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（

）A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线【答案】B【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．【详解】解：由作图可得：，∴线段一定是的高线；故选B3．已知是等腰三角形，若，则的顶角度数是（）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】分两种情况：当为顶角时，当为底角时，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】解：分两种情况：当为顶角时，顶角为，当为底角时，顶角为，故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键．4．若点与点关于轴对称，则的值是（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】本题考查坐标与图形轴对称变换，根据关于y轴对称的两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数列方程求得m、n值，进而代值求解．【详解】解：∵点与点关于轴对称，∴，，解得，，∴，故选：C．5．如图，射线平分，，于点D，，等于5，等于（

）A．5 B．10 C． D．【答案】B【分析】本题考查角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点作，得到，平行线的性质，得到，进而得到即可．【详解】过点作，∵射线平分，，，∴，∵，∴，∴；故选B．6．如图，在中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为在关于点B的二分割线．例如：如图（1）在中，，则直线是关于点B的二分割线．如图（2），已知，钝角同时满足两个条件①为最小的角，②存在关于点B的二分割线，当时，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了新定义，直角三角形，等腰三角形的定义，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键．根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论．【详解】如图所示：作于点D，∵，∴，∴为等腰三角形，为直角三角形，∴为在关于点B的二分割线．∵，∴．故选C．7．如图，在等腰中，，点D为边的中点，点E在边上，．若点P是等腰的腰上的一点，当为等腰三角形时，则的度数是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，过D作，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案．【详解】解：连接，∵，∴，∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，∴，过D作，，，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴，同理可得∴，∴，综上，的度数是或，故选：D．8．如图，已知中，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动．经过(

)秒后，与全等．A．2 B．3 C．2或 D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了全等三角形全等的判定及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质可得，根据题意分量种情况讨论；进而根据全等三角形的性质，列出方程即可求解．【详解】解：中，，．如图，设，两点分别从，两点同时出发运动时，则，，，，是中点，①当时，，即，解得：，此时，不符合题意，舍去，②当时，，即，解得：，此时，符合题意，综上可知：，故选：A．9．如图，的面积为，平分，于点P，连结，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的中线，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．延长，交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据三角形的中线性质可得，由此即可得．【详解】解：如图，延长，交于点，∵平分于点，∴，∴，∴，，，则的面积为，故选：C．10．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法①是的平分线②③点在的垂直平分线上④其中正确的个数是(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①根据作图的过程可以判定是的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；③利用等角对等边可以证得的等腰三角形，由等腰三角形的三线合一的性质可以证明点在的中垂线上；④根据直角三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质得出，进而可得出结论．【详解】解：①根据作图的过程可知，是的平分线．故①正确；②如图，在中，，，，又是的平分线，，，即故②正确；③，，点在的中垂线上．故③正确；，，点在的中垂线上，，，故④正确．故正确的有4个，故选：A．【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握基本作图是解题的关键．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．为了打造城市“绿洲”，某市计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮需元．【答案】【分析】作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果．【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，，，，，，，，每平方米售价元，购买这种草皮的价格为元．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于做出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积．12．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=．

【答案】【分析】由点与点关于直线对称求出，再由和为两个全等的等腰直角三角形，求出，进而计算出，最后利用等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和即可求解．【详解】∵点与点关于直线对称，，∴，，∵和为两个全等的等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，∴，即是等腰三角形，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了关于直线对称、全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键．13．如图，在中，垂直平分交于点D，交于点E．若，，则的周长cm．【答案】【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解．【详解】解：∵垂直平分∴的周长，故答案为：【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．14．如图，在中，，．点、、分别为边、、上的点，且为等边三角形，若．则的值为．

【答案】【分析】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，设，则，利用三角形外角性质推出，在上截取，证明，得到，推出，即可求出的长度，由此得到答案，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】设，则，∵，∴，在上截取∵∴∴∴∴，∴，∴，故答案为：．

15．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则，的最大值为．【答案】88【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键．先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可．【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，∴，∵的周长是18，，∴的周长，点P在直线上，如图，连接，

∵点P在的垂直平分线上，∴，∴，故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：8，8．三、解答题（共9小题，共75分）16．如图，在中，，D为边上一点，过点D作于点D，作于点E，若，求的度数．【答案】【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握相关的性质，根据垂线定义得出，，根据，求出，求出，根据等腰三角形的性质得出，根据四边形内角和求出．【详解】解：∵，，∴，，∵，且，∴，∴，∵，∴，∵，∴．17．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的三个顶点均在格点上，直线经过网格格点．请完成下列各题：(1)画出关于直线的对称的；(2)的面积等于．(3)利用网格，在直线上画出点P，使．同时，在直线上画出点Q，使的值最小．【答案】(1)画图见解析(2)(3)画图见解析【分析】本题考查了两点之间线段最短，运用网格求三角形面积，垂直平分线的性质，轴对称作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）分别作出点再依次连接，即可作答．（2）运用割补法求三角形面积，即可作答．（3）结合网格特征，作出线段的垂直平分线，与直线的交点，即为点P，结合（1），连接，与直线的交点，即为点Q，即可作答．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：；（3）解：画的垂直平分线交直线于点P，则，如图所示：连接交直线上于点Q，则，则的值最小，如图所示：18．如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，延长交边于点，联结、．(1)试说明的理由；(2)延长交于点，求的度数．【答案】(1)见解析(2)60°【分析】（1）证是等边三角形，得，，再证，则，然后证，进而证；（2）由全等三角形的性质得，再证，即可得出结论．【详解】（1）证明：和都是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，，即，，即，，，，在和中，，；（2）解：由（1）得：，，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．19．如图，点P在内部，点P关于、对称的点分别为C、D，连接交于点R，连接交于点T，连接，交于点M，交于点N，连接、．

(1)若，求的周长；(2)若，，求的度数．【答案】(1)18cm(2)【分析】（1）证明，，可得△PMN的周长，从而可得答案；（2）证明，，可得，，，可得．【详解】（1）解：∵点P关于，的对称点分别为C、D，∴，．

∴△PMN的周长．（2）∵，，∴．

∵，，，，∴，，

∴．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键．20．已知中，，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上．(1)如图①若轴，垂足为点，点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出：______；_____；点的坐标为_____．(2)如图②，若点在轴上滑动，点在轴上滑动，且轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)；；(2)，证明见解析【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、非负数性质，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键．（1）根据算术平方根和平方的非负数性质可得出，，根据同角的余角相等得出，利用可证明，即可得出，，进而求出，即可得答案；（2）延长和交于点，同（1）的方法可证明，得出，利用三角形内角和定理得出，根据等角对等边得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，即可得结论．【详解】（1）解：∵，，，∴，，解得：，，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵点在第二象限，∴点的坐标为（2）解：，理由如下：延长和交于点，，，，轴，，，，在和中，，，，轴平分，，∵，，，，．21．若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且，当互余时，称互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”．如图，互为“底余等腰三角形”．(1)若连接，判断是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)当时，若的“余高”，则______；(3)当时，判断与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)是(2)14(3)；理由见解析【分析】（1）连接、，由，得，即可由，推导出，所以，则互为“底余等腰三角形”．（2）当时，则都是等腰直角三角形，先证明，再证明，则．（3）作于点F，由，得，再证明，得，则．【详解】（1）解：如图1，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴互为“底余等腰三角形”，故答案为：是．（2）解：如图2，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：14；（3）解：；理由如下：如图3，作于点F，，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，新定义问题的求解等知识与方法．22．在中，，为的中点，分别为、上的点．(1)如图1，于，于，求证：；(2)如图2，，请判断和有什么数量关系？并说明理由；(3)如图3，点与点重合，点为上的一点，且，求的值．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）连接，由，为的中点，得平分，再由于，于得；（2）过点作，根据同角的补角相等得到，由，为的中点，得平分，再由得，，从而得到，即可得证；（3）连接，过点作，通过证明，得到，再通过边和角的转换即可得到答案．【详解】（1）证明：如图，连接，，是等腰三角形，为的中点，平分，，；（2）解：，理由如下：如图，过点作，，，，是等腰三角形，为的中点，平分，，，在和中，，，；（3）解：如图，连接，过点作，

，，，，，，，，，，，，，，，，

．【点睛】本题是三角形的几何综合题，考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作出恰当辅助线是解题的关键．23．如图，与中，，，，，，连接、．

(1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，若，平分，求证：；(3)如图3，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点，且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想．【答案】(1)(2)见解析(3)，证明见解析【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．（1）先证明，可得，由，，得，，再结合即可求解；（2）延长交于，在上取，连接，由题意可得，，，进而可得，由平分，可知，易证，可得，则，可知，可证，由，即可证明结论；（3）如图，结论：．如图过点作交的延长线于．证明，，利用全等三角形的性质，可得结论．【详解】（1）解：∵，即，∴，又∵，，∴∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴；（2）证明：延长交