第13章 三角形 复习讲义（原卷版）

2/2第十三章三角形（复习讲义）1.

了解三角形的定义、分类（按边、按角），体会三角形概念、分类及各性质间的整体联系。2.

能用三角形三边关系（两边和大于第三边、两边差小于第三边）判断线段能否构成三角形。3.

理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能识别并运用它们进行相关线段计算。4.

掌握三角形内角和定理（内角和为180°），会利用定理及外角性质（外角等于不相邻两内角和、大于不相邻内角，外角和360°），解决角度计算、证明等问题。知识点01三角形的概念及分类1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.2.三角形的分类(1)按边分类可以分为；(2)按角分类可以分为知识点02三角形中三边关系三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.知识点03三角形的高线、中线、角平分线三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段；三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．知识点04三角形的内角和定理定理：三角形三个内角和等于180度；直角三角形的两个锐角互余.知识点05三角形的外角性质（1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个）（2）外角性质：eq\o\ac(○,1)三角形的外角等于和它不相邻两内角的和；eq\o\ac(○,2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角；eq\o\ac(○,3)三角形外角和为360度.题型题型一判断三边是否能构成三角形【例1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（

）A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1【变式1-1】下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（）A．2，4，7 B．4，8，12 C．3，7，12 D．4，10，12【变式1-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三角形的是（

）A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10【变式1-3】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（

）A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6题型二三角形的稳定性题型二三角形的稳定性【例2】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其中所涉及的数学原理是（

）A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形的稳定性C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线【变式2-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（

）A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边【变式2-2】（24-25八年级上·新疆喀什·期末）以下图形不具有三角形稳定性的是（）A． B． C． D．【变式2-3】（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（

）A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于题型三已知三角形的两边长，求第三边的取值范围题型三已知三角形的两边长，求第三边的取值范围【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围．【变式3-1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是．【变式3-2】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是．【变式3-3】已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是；若此三角形的周长为偶数，则，此时三角形的形状是三角形．题型四题型四判断是否三角形的高线【例4】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（

）A． B．C． D．【变式4-1】（24-25八年级上·北京·期中）已知，作边上的高，下列作图中正确的是（

）A．B．C． D．【变式4-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（

）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【变式4-3】如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（

）A．是的高 B．是的高C．是的高 D．是的高题型五题型五根据三角形的中线求解【例5】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为．【变式5-1】如图，，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是．【变式5-2】（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则；若，则．（2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则．【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16．（1）的面积为；（2）设的面积为m，的面积为n，则．题型六题型六在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积【例6】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上．(1)画出边上的高和中线；(2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）．【变式6-1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上．(1)的面积______；(2)只用直尺画出的高；(3)只用直尺过点C画．【变式6-2】（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期中）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点均在格点上，按要求解答：(1)请画出的边上的高；(2)连接格点，用一条线段将分成面积相等的两部分（直接画图即可）；(3)直接写出的面积为__________．【变式6-3】图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作图痕迹．(1)的面积为______，(2)在图①中，过点C作线段，使点D为格点；(3)在图②中，过点B作的垂线段．题型七题型七利用三角形的中线、高线、角平分线求解【例7】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是中线，，．(1)求与的周长差．(2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长．【变式7-1】（23-24七年级下·四川达州·期中）如图，中，，于，平分交于．(1)当，时，求的度数；(2)猜想：与有什么关系，并说明理由．【变式7-2】如图，在中，是角平分线，是中线，是高线．(1)如果，求的长；(2)如果，求的度数．【变式7-3】在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分）【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明．【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________；题型八题型八利用三角形的内角和求角的度数【例8】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为．【变式8-1】已知：如图，在中，，，若，则．【变式8-2】在中，为边上的高，，，则是度．【变式8-3】将一副直角三角板如图放置．已知，当时，的度数为．题型九题型九利用三角形的外角求角的度数【例9】如图，，，，求的度数．

【变式9-1】在中，．现进行第一次操作：如图1作射线，使得，作射线，使得．再进行第二次操作：如图2作射线，使得，作射线，使得．再进行第三次操作：如图3作射线使得，作射线，使得．则．【变式9-2】在中，的平分线与的外角的平分线交于点E．

(1)如图①，若，则________；如图②，若，则_______；如图③，若，则________；(2)根据以上求解的过程，你发现与之间有什么关系？如果有，写出你的发现过程；如果没有，请说明理由（借助图①）．【变式9-3】（1）如图1，在中，平分，P为线段上的一点，于P交直线于点E，交直线、于F、G，若，时，______度；（2）如图2，平分的外角，其余条件不变，若，，求的度数；（用含有，的式子表示）．基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（）A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、92．下列关于三角形的性质描述错误的是（

）A．三角形具有稳定性B．三角形的高线不一定在三角形的内部C．三角形的外角和为360°D．三角形的一个外角等于两个内角之和3．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（

）A．2 B．3或5 C．4或5 D．64．如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（

）A． B． C． D．二、填空题6．在中，若，则是三角形．7．已知三角形的三边分别为，则a的整数值可能是．（填一种即可）8．如图，在中，平分，平分，如果，那么°．9．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是．10．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为．三、解答题11．用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的倍少．(1)用含的式子表示第三条边长；(2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长．12．如图，是的平分线，过点作的平行线，交于点．(1)求证：；(2)是线段上一点（不与，两点重合），连接．若，，求的度数．13．如图，点C，F，D在同一条直线上，，，垂足分别E，B，与交于点O．(1)求证：；(2)若平分，，求的度数．14．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”．(1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）．，，；，，；，，．(2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数．(3)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”．能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题1．三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（

）A．1 B．3 C．5 D．62．如图，已知直线，三角板的直角顶点放在直线上，，，则的度数是（）A． B． C． D．3．如图，的面积为2，分别延长至点D，使，延长至点E，使，延长至点F，使，依次连接，则阴影部分的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．124．如图，和的平分线交于点，连接的外角的平分线与的延长线交于点交于点．下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确的结论有（）A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④5．如图，在中，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（

）①；②的周长的周长；③；④；A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③二、填空题6．如图，已知，，，，，则点到边的距离是．7．如图，的两个外角平分线交于点，若，则的度数为°．8．如图，于点，于点，点在线段上，且．、分别平分和，则的度数是．9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为．10．如图，已知中，，O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，…，平分，平分，…，以此类推，则°，°．三、解答题11．在中，．(1)求长度的取值范围；(2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状．12．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．(1)若，求的度数．(2)若面积为40，，求的长．13．已知的三边长分别为a，b，c．(1)化简式子；(2)若，，．①x的取值范围是；②当为等腰三角形时，求a，b，c的值．14．如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F．(1)若，且点E在线段上．①_______，理由是________；②若平分交于点H