重难点培优06 解三角形中几个秒杀公式复习讲义2026年高考数学一轮复习讲练测（解析版）

重难点培优06解三角形中几个秒杀公式（射影定理、张角定

理、正弦平方差、正切恒等式、托勒密定理）

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01知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1

02题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4

题型一射影定理（★★★★）....................................................................................................................4

题型二张角定理（★★★）........................................................................................................................5

题型三正弦平方差公式（★★★★）........................................................................................................8

题型四正切恒等式（★★★★）................................................................................................................9

题型五托勒密定理（★★）......................................................................................................................10

03实战检测・分层突破验成效........................................................................................................12

检测Ⅰ组重难知识巩固..............................................................................................................................12

检测Ⅱ组创新能力提升..............................................................................................................................20

1、射影定理

abcosCccosB，bacosCccosA，cacosBbcosA

将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用.

2、张角定理

在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若D为BC上一点（如图），且BAD，CAD，

sinsinsin

则有．

ADbc

111

证明：因为S△S△S，所以bcsinADcsinADbsin，于是等式两边同除以

ABCABDACD222

1sinsinsin

bcAD得．

2ADbc

3、张角定理与角平分线的长

特别地，如果在VABC中，角B，C所对的边分别为b，c，BAC的平分线交BC于点D，根据张角定理

BACBACBACBACBACBAC

sinsin2sincossinsin

就会有sinBAC，则

222222

ADbcADbc

BAC

2bccosBAC1ADAD

化简得到2，即cos()注：张角定理在在解答题中使用之前需要推导．

AD22bc

bc

4、正弦平方差公式

sin2Asin2BsinABsinAB

证明：

sin2Asin2BsinAsinBsinAsinB

ABABABABABABABAB

sinsinsinsin

22222222

ABABABAB

2sincos2sincos

2222

ABABABAB

2sincos2sincos

2222

sinABsinAB

5、正切恒等式

当ABCk时，tanAtanBtanCtanAtanBtanC.

tanAtanB

证明：tan(AB)，且Ck(AB)

1tanAtanB

tanAtanB

tanCtan(AB)

tanAtanB1

则tanAtanBtanCtanCtanAtanB

6、托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.

如下图,若四边形ABCD内接于圆O,则有ABCD+ADBC=ACBD证明:利用余弦定理即可

∙∙∙

∵四边形ABCD内接于圆O,

∴∠BAD+∠BCD=π

∴cos∠BAD+cos∠BCD=0

在△ABD中,由余弦定理得

BD2=AB2+AD2−2ABADcos∠BAD（1）

在△CBD中,由余弦∙定理得∙∙

BD2=CB2+CD2−2CBCDcos∠BCD（2）

∴（）×CBCD+∙（）∙×AB∙AD得

1ABA∙DCB22+CD2+∙CBCDAB2+AD2

BD2=

ABAD+CBCD

∙∙

由于2222

ABADCB+CD∙+CBC∙DAB+AD=ABCB+ADCDCBAD+CDAB

ABCB+ADCDCBAD+CDAB

所以BD∙2=∙

ABAD+CBCD

ABAD+CBCDCBAD+CDAB

同理AC2=∙∙

ABCB+ADCD

∴AC2BD2=CBAD+CDAB2

即ABCD+ADBC=ACBD

广义托勒∙密定理:在四∙边形ABC∙D内,有ABCD+ADBC≥ACBD,并且仅当四边形ABCD内

接于圆时取等号。该不等式又称为托勒密不等式∙。∙∙

题型一射影定理

1．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足2bcosBacosC+ccosA，则B的大小

为（）

A．B．C．D．

2346

【答案】B

【解析】根据三角形中的射影公式，即可容易求得结果.

【详解】因为2bcosBacosC+ccosA，即2bcosBb，

1

解得cosB，又因为B0,，故可得B.

23

故选：B.

2．在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示VABC的面积，若ccosBbcosC2asinA，

3

SabcosC，则B（）

2

A．30°B．90°C．45°D．60°

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出A,C即可.

313

【详解】在VABC中，由三角形面积公式及SabcosC，得absinCabcosC，

222

则tanC3，而0C180，解得C60，0A120，

由三角形射影定理得ccosBbcosCa，而ccosBbcosC2asinA，

1

则2asinAa，又a0，解得sinA，解得A30，

2

所以∠B90.

故选：B

2A

3．（24-25高三下·广东东莞·月考）在VABC中，2csincb（a，b，c分别为角A，B，C的对边），

2

则VABC是（）

A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解.

A

【详解】由2csin2cb，得c(1cosA)cb，整理得bccosA，

2

在VABC中，由射影定义得ccosAacosCbccosA，则acosC0，

π

而a0，因此cosC0，又0Cπ，则C，

2

所以VABC是直角三角形.

故选：B

4．在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a3bcosC，则tanA的最大值为.

3

【答案】/0.75

4

【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得tanC4tanB，再由和角的正切公式，配方变形即可计算

作答.

【详解】在VABC中，由射影定理abcosCccosB及a3bcosC得：ccosB4bcosC，

由正弦定理边化角为：sinCcosB4sinBcosC，于是得tanC4tanB，

由a3bcosC0得，cosC0，即角C是钝角，tanB0，

tanBtanC3tanB33

tanAtanBC22

1tanBtanC14tanB14，

2tanB4

tanB

11

当且仅当2tanB，即tanB时取“=”，

tanB2

3

所以tanA的最大值为.

4

3

故答案为：

4

题型二张角定理

22

1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC，

3

AB32，AD=3，则CD长度为_____________.

【答案】

【分析】先3利2用同角三角函数基本关系求出cos∠BAC，再利用张角定理进行求解.

【解析】如图：

22

∵sin∠BAC

3

1

∴cos∠BAC1sin2BAC

3

sinBACsinBADsinDAC

由张角定理得：

ADACAB

22sinBAC

即sin

322

3AC32

22cosBAC1

即

9AC32

1

即221

3

9AC32

解得AC32

∴CDAD2AC233

π

2．在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，AD是BAC的角平分线，若BAC，AD23，

3

则2bc的最小值为_____________.

【答案】642

111

【分析】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

bc2

【详解】如图：

π

∵AD是BAC的角平分线，BAC，

3

π

∴BADCAD，

6

sinBACsinBADsinDAC

由张角定理得：，

ADACAB

πππ

即sinsinsin，

366

ADACAB

∵AD23，

311

∴，

222

23bc

111

∴，

bc2

222c4b2c4b

∴2bc2bc662642，

bcbcbc

2c4b

当且仅当，即c222,b22时取“=”，

bc

3．在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，

则4ac的最小值为．

【答案】9

11

【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件1，再利用基本不等式即可解出．

ac

AD1CD1

【详解】在△ABD与△BCD中，由正弦定理得,．

sin60sinAsin60sinC

abADCDADCD

在VABC中，由正弦定理得．

sinAsinBsin120sin60sin60

a11a1111

所以，由正弦定理得1，即acac，即1，

sinAsinAsinCaacac

11c4ac4a

因此4ac(4ac)()5529,

acacac

当且仅当c2a3时取等号，则4ac的最小值为9.

题型三正弦平方差公式

1．设a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边，已知c23a2b2，且tanC3，则B的大小为

_____________.

【答案】

�

【解析】4

sin2C3sin2Asin2B3sinABsinAB

sinC3sinAB3sin2BC3sin2BC

tanC3sinC3cosC3sin2BC

cosCsin2BC

2B

2

B

4

2．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A80,a2bbc，则B的大小为

_____________.

【答案】

°

【解析】40

a2bbca2b2bcsin2Asin2BsinBsinC

sinABsinABsinBsinCsinABsinB

AB,0B

1

ABBBA40

2

22

3．在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.c2a2b2ab，则ab的范围是_______.

c2

【答案】(1,1)

2

解析：易得C,A(0,)，结合正弦定理和三角函数中的平方差公式可得

33

a2b2sin2Asin2Bsin(AB)sin(AB)2

sin(2A)，从而可求得其范围是(1,1).

c2sin2Csin2C33

题型四正切恒等式

1．在ABC中，若tanAtanB22tanAtanB，则tan2C=（）

A.22B.22C.23D.23

【答案】A

解：因为在ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC，

且tanAtanB22tanAtanB

所以tanC2

2tanC22

则tan2C22

1tan2C12

答案：A

2．在ABC中，若tanAtanB1tanAtanB，则cosC=_______.

2

【答案】

2

解：因为在ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC，

且tanAtanB1tanAtanB，即tanAtanB11tanAtanB

2

所以tanC1，则C，cosC

42

2

答案：

2

3．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.

【答案】8

【详解】

tanB+tanC

sinAsin(BC)2sinBsinCtanBtanC2tanBtanC，又tanA=，因此

tanBtanC1

tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC22tanAtanBtanCtanAtanBtanC8,即最

小值为8.

11

4．在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2，

tanBtanC

则tanAtanBtanC的最小值是（）

A.4B.33C.63D.8

【答案】D

11

解：因为2，所以tanBtanC2tanBtanC

tanBtanC

tanAtanBtanCtanA2tanBtanC22tanAtanBtanC

令xtanAtanBtanC，因tanAtanBtanCtanAtanBtanC，则有x22x，所以x8，

即tanAtanBtanC8

答案：D

题型五托勒密定理

1．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接

四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意

思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差

公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在

同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条BD43对角线，，且ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积

为（）

A．163B．16C．123D．12

【答案】C

【解析】设ACADCDa，由托勒密定理可知ABCDADBCACBD，

即aABaBCaBD，所以，ABBCBD43，

ππ

又因为ABDACD，CBDCAD，

33

11

因此，SSSABBDsinBCBDsin

四边形ABCDABDBCD2323

332

ABBCBD43123.故选：C.

44

AB3

2．平面四边形ABCD中,BC=CD=2,=,∠ABD=90∘,则AC的最大值为______.

BD4

【答案】4

解析:设AB=3x,BD=4x,∵∠ABD=90∘,∴AD=5x

则由托勒密不等式可得：ABCD+ADBC≥ACBD

⇔ 2×3x+2×5x≥AC×4x⇔AC≤∙4则AC的∙最大值为4.∙

3．如图,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=3,AC⊥CD,CD=3AC,当∠ABC变化时,对角线BD的最大

值为______.

【答案】

解析:由托3勒3密不等式,

BDAC≤ABCD+ADBC

∴BD∙AC≤3∙AC+32∙AC

∴BD≤∙33∙∙

π3

4．已知平面四边形ABCD是由△ABC与等腰直角△ACD拼接而成,其中∠ACD=,AC=CD,AB=BC=1,

25

则当点B到点D的距离最大时,角B的大小______.

【答案】3π

4

解析:由托勒密不等式,

BDAC≤ABCD+ADBC

因为△为等腰直角三角形

∙ACD∙∙

∴AD=2AC=2CD

56

∴BD≤AB+2BC=1+

3

3π

当点B到点D的∙距离最大时,也即托勒密不等式取等号时,即四边形ABCD四点共圆时,所以B=

4

检测Ⅰ组重难知识巩固

1．在ABC中，tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)的值是（）

1222

A.B.C.D.

2222

【答案】D

解：因为在ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC，

且tanAtanBtanAtanB1，则tanC1，C，

4

2

所以cos(AB)cosC

2

答案：D

2．在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，S表示VABC的面积，若ccosBbcosCasinA，

3

S(b2a2c2)，则B（）

12

A．90B．60C．45D．30

【答案】B

【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答.

【详解】在VABC中，由射影定理accosBbcosC及ccosBbcosCasinA得：asinAa，解得sinA1，

b2a2c2323S

而0A180，则A90，由余弦定理cosC及S(b2a2c2)得：cosC，

2ab12ab

13

而SabsinC，因此，cosC3sinC，即tanC，又0C180，则C30，

23

所以B180AC60.

故选：B

AB3

3．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosBbcosA3，且sin2，b3，则a

24

（）

33

A．B．C．3D．33

42

【答案】C

AB3

【分析】由射影定理以及acosBbcosA3可得c的值，根据sin2可计算出C的值，结合已知条

24

件可求解出a的值.

【详解】因为acosBbcosA3，所以cacosBbcosA3，

2AB31cosAB1cosC3

又因为sin，所以，

24224

1

所以cosC，所以C，

23

又因为bc3，C，所以VABC是等边三角形，所以a3.

3

故选：C.

【点睛】本题考查解三角形中射影定理的应用以及二倍角公式的化简，难度一般.三角形中的射影定理：

abcosCccosB，bacosCccosA，cacosBbcosA.

4．（多选题）已知ABC为锐角三角形，且sinAsinBsinC，

则下列结论中正确的是（）

A．tanBtanCtanBtanCB．tanAtanBtanCtanAtanBtanC

4

C．1tanAD．tanAtanBtanC的最小值为4

3

【答案】ABC

【分析】B选项可以直接由正切恒等式得到.

【详解】解：因为sinAsinBCsinBcosCsinCcosBsinBsinC，

两边同除cosBcosC得tanBtanCtanBtanC，故A正确；

由均值不等式tanBtanCtanBtanC2tanBtanC解得tanBtanC4当且仅当tanBtanC2时取等

号，

tanBtanC

tanAtanBC，所以tanAtanBtanCtanAtanBtanC，故B正确；

1tanBtanC

tanBtanC111

tanA1，由tanBtanC4，所以0，所以得

tanBtanC1tanBtanC1tanBtanC13

14

1tanA1，故C正确；

tanBtanC13

tan2Btan2C1

tanAtanBtanCtanBtanC12，

tanBtanC1tanBtanC1

116

由tanBtanC13且yx在3,上单调递增，所以tanAtanBtanC的最小值为，故D错误．

x3

22

5．函数ysinxcosx的最大值为______________.

1212

【答案】

3

【解析】由2正弦平方差公式得

2222

ysinxcosxsinxsinx1

12121212

sinxxsinxx1

12121212

sin2xsin1

6

13

sin2x1

22

6．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A,B,C的大小成等比数列，且b2a2ac，则

角B的弧度数等于.

【答案】

2

【解析】7由�题设及正弦定理得

sin2Bsin2AsinAsinCsinBAsinBAsinCsinBAsinAsinC

sinBAsinA

BAAB2A

2

又B2AC,ABCA,B

77

1

7．在VABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cacosB2cosA，2bc，若cosC，则

4

VABC的面积为.

【答案】315

4

【分析】由三角形中的射影定理cacosBbcosA,结合已知条件求得b的值，进而得到c的值，然后利用

余弦定理求得a的值，进而利用面积公式求得.

【详解】由三角形中的射影定理cacosBbcosA,结合已知条件cacosB2cosA，可得b2,

21

又∵2bc，∴c4，由c2a2b22abcosC，可得16a44a，

4

2

111315

解得a3(负值舍去)，∴三角形的面积为absinC321，

2244

315

故答案为：.

4

3

8．已知AD是VABC的A角平分线，cosBAC，AB5，AC2，则AD.

4

【答案】514

7

sin2sinsin

【分析】设BADCAD，借助张角定理可得，结合数据计算即可得解.

ADABAC

【详解】设BADCAD，

sin2sinsin

则由张角定理可得：，

ADABAC

2sincossinsin2cos11

故，即有，

ADABACADABAC

2cos11720

所以，则ADcos，

AD52107

2314

又因cos22cos1，cos，

44

202014514

所以ADcos.

7747

9．若，则ysinsin的范围为.

3

【答案】

31

【解析】令−4,4

22

,ysinsinsinsin

66666

131

sin2,

444

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2a2ccosB，若△ABC的外接圆的圆心为O，

cosBcosA

且满足CBCA2mCO，则m的值为．

sinAsinB

【答案】3

2

【详解】∵b2a2ccosB，∴b2(ccosBbcosC)2ccosB，即b2bcosC．

1cosBcosA

∵b0，∴cosC，∵0C，∴C，对CBCA2mCO两边同时点乘CO得：

23sinAsinB

uuruuuruuruuuruuur

cosBcosA2

CBCOCACO2mCO．

sinAsinB

11111cosB1cosA2

CBCOCB2CO=a2,CACOCA2COb2,a2b22mCO，即

22222sinA2sinB

22uuur

1a1b2

sinAcosBcosAsinB2mCO，

2sin2A2sin2B

22uuur

ab23

由正弦定理知4CO，∴msinAcosBcosAsinBsinAB．

sin2Asin2B2

11．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边

形）进行研究时，分别总结出如下结论：

（1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的

四个顶点共圆时等号成立．

（2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形

的面积最大．

根据上述材料，如图，在凸四边形ABCD中，若AB2，BC6，AD=CD=4，求四边形ABCD面积取

得最大值时角A的大小为，并求出此时四边形ABCD的面积为．

2π

【答案】83

3

【分析】先分析出当A、B、C、D四点共圆时，四边形ABCD的面积达到最大，然后分别在△ABD，△BCD

中，根据余弦定理表示出BD，再由圆的内接四边形对角互补，即可求出角A；再根据三角形的面积公式分

别求出△ABD，△BCD的面积，相加即可得到四边形ABCD的面积.

【详解】由题设当A、B、C、D四点共圆时，四边形ABCD的面积达到最大，如图，

连接BD，在△ABD中，由余弦定理得：

BD2AB2AD22ABADcosA2016cosA，①

在△BCD中，由余弦定理得：

BD2BC2CD22BCCDcosC5248cosC，②

因为A、B、C、D四点共圆，所以ACπ，

从而cosAcos(πC)cosC，③

12π

由①②③解得cosA，因为A(0,π)，所以A．

23

112π

从而SABADsinA24sin23，

ABD223

11π

SCBCDsinC64sin63，

BCD223

所以S四边形ABCDSABDSBCD83．

2π

故答案为：；83.

3

12．（1）如图，点P在线段AB上，直线AB外一点O对线段AP,BP的张角分别为,，即

sinsinsin

AOP,BOP.求证：.

OPOBOA

（2）在ABC中，D为线段AC上一点，ABc,DCkAD,DBA,DBC，其中k0，试用c,k,,

表示线段BC的长.

cksin

【答案】（1）证明见解析；（2）.

sin

【分析】（1）利用三角形的面积公式将SAOBSAOPSBOP表示出来，化简整理可得结论；

1SABD1S

（2）选用三角形的面积公式：底面积高可得，再利用正弦定理表示出ABD，整理可得BC.

2SCBDkSCBD

111

【详解】（1）SSSOAOBsinOAOPsinOBOPsin

AOBAOPBOP222

1sinsinsin

等式两边同除OAOBOP，即得；

2OPOBOA

1

ABBDsin

S1cksin

（2）∵DCkAD，∴ABD2BC.

S1ksin

CBDBCBDsin

2

13．如图，已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosCa，点M在线段AB上，且∠ACM=∠BCM，

AC6CM6，则cos∠BCM的值为多少？

【答案】

3

【分析】4先利用正弦定理和解直角三角形得到acosBCM，再利用角平分线张角定理进行求解.

【解析】∵bcosCa

∴由正弦定理得：sinBcosCsinA

即sinBcosCsin（BC）

即sinBcosCsinBcosCsinCcosB

∴sinCcosB0

∵sinC0

∴cosB0

∵0B

∴B

2

∵AC6CM6

∴CM1

∴在Rt△BCM中，aCMcosBCMcosBCM

1CMCM

∵由角平分线张角定理得：cosBCM

2CBAC

111111

即cosBCMcosBCM

2a62cosBCM6

32

∴cosBCM或cosBCM（舍）

43

14．如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，OA4cm，B为半圆上任意一点，以AB为一

边作等边三角形ABC．设AOB，问：

(1)当为何值时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值；

(2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四

边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，