大学物理(上、下册)（侯兆阳）提升题答案上册 3.18

3.18我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运行，地球的中心处于椭圆的一个焦点上。已知地球半径为Re=6.378×106m，人造卫星距地面的最近高度（即近地点）为h1=4.39×105m，最远高度（即远地点）为h2=2.384×106m。卫星在近地点的速度为v1=8.10×103m/s。画出[解析]取地球中心为坐标原点，则表示地球圆周的参数方程为x=Recosθ，y=Resinθ。(3.1)卫星椭圆轨道的半长轴为a=(h1+h2+2Re)/2=(r1+r2)/2，(3.2)其中，r1=Re+h1，r2=Re+h2。半焦距为c=a-Re–h1=(h2-h1)/2，(3.3)半短轴为。(3.4)椭圆的方程为，(3.5)其参数方程为x=acosθ-c，y=bsinθ。(3.6)设卫星的质量为m，卫星在近地点的角动量为L1=mv1r1，在远地点的角动量为L2=mv2r2，根据角动量守恒定律可得。(3.7)方法一：用开普勒第二定律求周期。行星运动的开普勒第二定律是：行星对太阳的矢径在相等时间内扫过相等的面积。该定律也适用于卫星绕地球运行的情况。(3.8)根据近地点的速度和距离可计算常数C，(3.9)当卫星运行一圈时，矢径扫过的面积就是椭圆的面积，卫星运动的时间就是一个周期。椭圆的短半轴可表示为，(3.10)椭圆的面积为，(3.11)因此卫星的周期为。(3.12)方法二：用开普勒第三定律求周期。行星运动的开普勒第三定律是：行星公转周期的平方与它的轨道长半轴的立方成正比。该定律也适用于卫星绕地球运行的情况。(3.13)如果卫星的轨道是圆形，长半轴就是圆的半径。假设一颗绕地卫星绕地球表面做匀速圆周运动，周期为T0，则常数C为。(3.14)本题中卫星的周期为。(3.15)假设绕地卫星的质量为m，在绕地球表面做匀速圆周运动时，根据向心力公式得，其速度为=7.91×103m/s，(3这就是第一宇宙速度。地面卫星的周期为，(3.17)由(3.15)式可得卫星周期为。(3.18)[算法]根据椭圆的两个半轴可画卫星的轨迹，根据开普勒第二定律和第三定律都能求出运行周期，两种方法的结果可相互参照。[程序]P3_18.m如下。%我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期clear%清除变量re=6.378e6;%地球半径th=(0:10000)/10000*2*pi;%角度向量x=re*cos(th);%地球横坐标y=re*sin(th);%地球纵坐标figure%创建图形窗口fill(x,y,'g')%画地球h1=4.39e5;%近地高度h2=2.384e6;%远地高度r1=re+h1;%近地距离r2=re+h2;%远地距离a=(r1+r2)/2;%轨道半长轴c=a-r1;%轨道半焦距b=sqrt(a^2-c^2);%轨道半短轴axis([-r2,r1,-b,b])%轨道范围axisequal%使轴相等gridon%加网格fs=16;%字体大小title('我国第一颗人造地球卫星的轨道和周期','fontsize',fs)%标题xlabel('\itx\rm/m','fontsize',fs)%标记坐标x符号ylabel('\ity\rm/m','fontsize',fs)%标记坐标y符号v1=8.1e3;%近地速率fs=14;%字体大小text(r1,0,['\itv\rm_1='num2str(v1)'m/s'],'fontsize',fs)%显示近地点速率v2=v1*r1/r2;%求远地速率text(-r2,0,['\itv\rm_2='num2str(v2)'m/s'],'fontsize',fs)%显示远地点速率x=a*cos(th)-c;%椭圆横坐标y=b*sin(th);%椭圆纵坐标holdon%保持图像plot([-r2,r1],[0,0])%画长轴comet(x,y)%画慧星轨道plot(x,y)%画椭圆%用开普勒第二定律计算周期s=pi*a*b;%求椭圆面积c=r1*v1/2;%求常数t=s/c;%求周期txt=['用开普勒第二定律求周期\itT\rm='num2str(t)'s'];%周期文本text(-r2,b,txt,'fontsize',fs)%显示周期%用开普勒第三定律和地面卫星计算周期g=9.8;%重力加速度vI=sqrt(re*g);%第一宇宙速度t0=2*pi*re/vI;%地面卫星的周期tt=t0*(a/re)^(3/2);%卫星周期txt=['用开普勒第三定律求周期\itT\rm='num2str(tt)'s'];%周期文本text(-r2,-b,txt,'fontsize',fs)%显示周期[图示]如P3.1