大学物理(上、下册)（侯兆阳）提升题答案 下册 10.17

10.15均匀密绕螺线管的长度为2L，半径为a，单位长度上绕有n匝线圈，通有电流I(1)求螺线管轴线上的磁场分布。取长度与直径的比例不同，轴线上的场强曲线有什么特点？(2)螺线管的磁感应线有什么特点？磁感应强度分布面有什么特点？zIOz2LB10.15图xPldlaA1A2θ2θ1θzIOz2B10.15图xPldlaA1A2θ2θ1θdN=ndl，电流强度为dI=IdN=Indl，(10.1)线圈在P点产生的磁感应强度为，设θ为轴线与P点到dl连线之间的夹角，则有a=rsinθ，即r=a/sinθ。由于l=acotθ，因此dl=-adθ/sin2θ，故，积分得，(10.2)磁感应强度的方向沿轴线向右。如果管长比半径大很多，可认为直螺线管为无限长，令θ1=π，θ2=0，可得B0=μ0nI。(10.3)在半无限长管的一端的中心A1(θ1=π/2，θ2=0)或A2(θ1=π，θ2=π/2)，磁感应强度为B1=μ0nI/2=B0/2。(10.4)在直角坐标系中，场点P的磁感应强度为。(10.5)[图示]如P10.15.1图所示，不论长度与直径之比为多少，轴线中间的磁感应强度最大。当长度与直径之比为1时，轴线上磁感应强度的最大值远没有达到无限长螺线管的值。当长度与直径的比值达到7时，轴线上磁感应强度最大值才达到无限长螺线管的值。当长度与直径的比值更大时，轴线上磁感应强度的最大值保持不变，但范围扩大。可见：长螺线管轴线上的磁感应强度与无限长螺线管的值相同。P10.15.1图[算法]取半径a为长度单位，取B0=μ0nI为磁感应强度单位，磁感应强度可表示为。(10.5*)[程序]P10_15_1.m如下。%通电螺线管轴线上的场强分布clear%清除变量l=1:2:13;%半长度与半径比的向量zm=20;%横坐标的最大范围z=-zm:0.1:zm;%自变量向量[X,L]=meshgrid(z,l);%坐标和比值矩阵B=((L-X)./sqrt(1+(L-X).^2)+(L+X)./sqrt(1+(L+X).^2))/2;%相对磁感应强度fs=16;%字体大小figure%创建图形窗口plot(z,B)%画B的直角坐标曲面legend([repmat('\itL/a\rm=',length(l),1),num2str(l')])%加图例holdon%保持图像plot([-zm;zm],[0.5;0.5],'-.')%画水平零线gridon%加网格xlabel('\itz/a','fontsize',fs)%显示横坐标ylabel('\itB\rm/\it\mu\rm_0\itnI','fontsize',fs)%显示纵坐标axis([-zm,zm,0,1])%曲线范围title('通电螺线管轴线上的磁感应强度分布','fontsize',fs)%显示标题[解析](2)在环电流的磁感应强度的公式和中，z是空间P点在轴上的坐标，也是环电流的圆心到P点的轴坐标之间的距离。螺线管上任何一个圆环形电流元dI=Indl到P点的轴坐标之间的距离为z–l，因此圆环形电流元在空间产生的磁感应强度的两个分量的微元为，(10.6a)。(10.6b)场强的两个分量为，(10.7a)。(10.7b)[算法]取半径a为长度单位，取B0=μ0nI为磁感应强度单位，磁感应强度的两个分量可表示为，(10.7a*)。(10.7b*)这里，l*=l/a是约化积分变量。通过两类完全椭圆积分计算螺线管的磁场，其效率更高。[程序]P10_15_2.m如下。%通电螺线管的磁场clear%清除变量s='(z-l).*cos(phi)./(1+(z-l).^2+x.^2-2*x.*cos(phi)).^(3/2)';%磁感应强度x分量字符串ddBx=inline(s,'x','z','l','phi');%磁感应强度x分量被积内线函数s='(1-x.*cos(phi))./(1+(z-l).^2+x.^2-2*x.*cos(phi)).^(3/2)';%磁感应强度z分量字符串ddBz=inline(s,'x','z','l','phi');%磁感应强度z分量被积内线函数phi=linspace(0,pi,30);%角度向量lm=4;%螺线管半长度与半径之比l=linspace(-lm,lm);%管的长度向量(绕过奇点)dl=l(2)-l(1);%管的长度间隔zm=2*lm;%z坐标范围z=linspace(0,zm,30);%横坐标向量z(1)=sqrt(eps);%零改为小量xm=4/5*zm;%x坐标范围x=linspace(0,xm,30);%纵坐标向量x(1)=sqrt(eps);%零改为小量[X,Z,L,PHI]=ndgrid(x,z,l,phi);%设置数据网点dBx=trapz(ddBx(X,Z,L,PHI),4)/2/pi*phi(2);%Bx分量对角度积分dBz=trapz(ddBz(X,Z,L,PHI),4)/2/pi*phi(2);%Bz分量对角度积分Bx=trapz(dBx,3)*dl;%Bx分量对长度积分Bz=trapz(dBz,3)*dl;%Bz分量对长度积分clearPHIL%清除矩阵sx=0.1:0.1:0.9;%磁感应线的起点横坐标sz=zeros(size(sx))+0.001;%磁感应线的起点纵坐标figure%创建图形窗口plot([0;0],[-xm;xm])%画竖直轴线holdon%保持图像plot([-zm;zm],[0;0])%画水平轴线ms=6;%符号大小z=-lm:0.25:lm;%管的横坐标向量x=ones(size(z));%上管的纵坐标向量plot(z,x,'ro',z,x,'r.','markersize',ms)%画上面流出屏幕的电流plot(z,-x,'ro',z,-x,'rx','markersize',ms)%画下面流出屏幕的电流plot([11]*lm,[-1+0.1;1-0.1],'r','linewidth',3)%画右端的剖面plot([-1-1]*lm,[-1+0.1;1-0.1],'r','linewidth',3)%画左端的剖面gridon%加网格axisequal%使坐标刻度相等fs=16;%字体大小title('通电螺线管的磁感应线','fontsize',fs)%显示标题xlabel('\itz/a','fontsize',fs)%显示横坐标ylabel('\itx/a','fontsize',fs)%显示纵坐标text(-zm,xm-1,'管的半径为\ita','fontsize',fs)%标记文本txt=['管的长度为2\itL\rm='num2str(2*lm)'\ita'];%文本text(-zm,-xm+1,txt,'fontsize',fs)%标记文本Z=Z(:,:,1);%取横坐标矩阵X=X(:,:,1);%取纵坐标矩阵streamline(Z,X,Bz,Bx,sz,sx)%画第一象限磁感应线streamline(-Z,X,-Bz,Bx,-sz,sx)%画第二象限磁感应线streamline(Z,-X,Bz,-Bx,sz,-sx)%画第三象限磁感应线streamline(-Z,-X,-Bz,-Bx,-sz,-sx)%画第四象限磁感应线Z=[-fliplr(Z),Z;-fliplr(Z),Z];%四象限横坐标矩阵X=[flipud(X),flipud(X);-X,-X];%四象限纵坐标矩阵Bz=[fliplr(flipud(Bz)),flipud(Bz);fliplr(Bz),Bz];%四象限Bz矩阵Bx=[-fliplr(flipud(Bx)),flipud(Bx);fliplr(Bx),-Bx];%四象限Bx矩阵B=sqrt(Bz.^2+Bx.^2);%总场强A=atan2(Bx,Bz)*180/pi;%场强角度BC={Bz,Bx,B,A};%数据元胞zc={'\itB_z/B\rm_0','\itB_x/B\rm_0',...'\itB/B\rm_0','\it\alpha\rm/\circ'};%高坐标元胞tc={'\itz\rm分量','\itx\rm分量','总量\itB\rm','方向'};%标题的一部分txt='\itB\rm_0=\it\mu\rm_0\itnI';%磁感应强度单位文本fori=1:4%循环figure%创建图形窗口surf(Z,X,BC{i})%画第一象限曲面shadinginterp%染色boxon%加框axistight%帖轴t=['通电螺线管的磁感应强度的'tc{i}'的分布面'];%标题title(t,'fontsize',fs)%显示标题xlabel('\itz/a','fontsize',fs)%显示横坐标ylabel('\itx/a','fontsize',fs)%显示纵坐标zlabel(zc{i},'fontsize',fs)%显示高坐标text(-zm,xm,max(BC{i}(:))/2,txt,'f