2024-2025学年北京市顺义区某中学九年级（上）期中数学试卷

2024・2025学年北京市顺义区仁和中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1・8题均有四个选项，符合题意选项只有一个。

1.（2分）下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（)

A.1、2、2、3B.1、2、3、4C.1、2、2、乙D.3、5、9、13

2.（2分）抛物线），=/-2的顶点坐标是（)

A.(-2,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)

3.（2分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数工丁（约为0.618）,就称这个矩形为黄金矩形.若矩形

46CQ为黄金矩形，宽4>=遥一1,则长A3为（)

A.1B.-1C.2D.-2

4.（2分）若将抛物线y=先向左平移3个单位,再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物

线的表达式是（）

A.y=-1(x+3)2+2B.y=-1(X-3)2-2

C.y=1(X+3)2-2

5.（2分）已知点（1,），|）,（2,”），（-3,>3）都在函数），=-2［的图象上，则下列结论正确的是（）

A.y3<y2<y\B.y\<y2<y3C.y\<y3<)^2D.y2<y\<yi

（2分）对于反比例函数y=-*,下列结论中错误的是（）

6.

A.图象必经过点（1,-5）B.y随x的增大而减小

C.图象在第二、四象限D.若x>l,则-5VyV0

7.（2分）已知二次函数y=o?+/zr+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可

以是（）

-2C.0D.2

8.（2分）已知），是x的函数，下表是x与y的几组对应值：丁与x的函数关系有以下3个描述:

x...[24

y421…

①可能是一次函数关系；

②可能是反比例函数关系；

③可能是二次函数关系，

所有正确描述的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）请写出一个开口向上，并且与），轴交于点（0,2）的抛物线的表达式：.

10.（2分）己知点4（3,yi）,B（〃?，＞?）在反比例函数y=（的图象上.若yi＞）明写出一个满足条件

的〃?的值.

11.（2分）把二次函数-6x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为.

12.（2分）若二次函数），=/-〃+&的图象与x轴只有一个公共点，则〃=.

13.（2分）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均

增长率为x,那么十月份医用防护服的产量），（万件）与x之间的函数表达式为.

14.（2分）二次函数y=-x^+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，方程-，+必+。=0的解

15.（2分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的

实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示.如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为lOc/n,

像距为I5c〃?，蜡烛火焰倒立的像的高度是6c〃z,则蜡烛火焰的高度是cm.

图⑴图（2）

16.（2分）已知二次函数y=o?+灰+c（aWO）的图象如图所示.则有以下5个结论：①必c<0；②必<

4“c；③匕=-2a；®a-/?+c>0；⑤对于任意实数/〃，总有anT+bin<a+b.其中正确的结论

是.（填序号）

三、解答题（本题共12小题，第17・22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小

题5分，共68分）

17,（5分）已知A（0,3）,B（2,3）是二次函数>，=-f+纭+。图象上两点，求二次函数的表达式.

18,（5分）已知二次函数），=/+213.

（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；

（2）求该二次函数的图象与/轴交点.

19.（5分）如图，在△4BC中，NC=90°，点。是AC上一点，DELAB于点、E.求证：XABCs4ADE.

20.（5分）如图，一次函数），=依+〃的图象与反比例函数y=?的图象交于4（-2,1）,8（1,〃）两点.

（1）求m,n的值；

（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，请写出自变量x的取值范围.

21.（5分）如图，在矩形ABC。中，E是边A8的中点，连接DE交对角线AC于点F.

（1）求证：XAFEsXCF6

22.（5分）抛物线的顶点。的坐标为（1,-4）,且过点（2,-3）,与x轴交于4,B两点,与y轴交于

点C.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）求四边形/WOC的面积.

23.（6分）图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2加时，水面宽4加.水面下降1〃?，水面宽度增加多少？

（结果保留根号）

24.（6分）在平面直角坐标系xO.v中，二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y对应值如下表:

A-1012…

0

（1）求这个二次函数的表达式;

（2）画出这个二次函数的图象;

（3）若yV-3,结合函数图象，直接写出x的取值范围.

25.（6分）掷实心球是中学生体育考试的必考项目.如图1是一名女生投实心球，实心球行法路线是一条

5

抛物线，行进高度y（〃?）与水平距离x（〃?）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为V当

水平距离为3〃?时，实心球行进至最高点3小处.

（1）求,关丁人的函数表达式；

（2）根据体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70/H,

此项考试得分为满分1。分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由.

图1

26.（6分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的

水平距离为x（单位：〃?），竖直高度为y（单位：〃?），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组

数据

x/m0102030405060

y/m54.57.857.653.445.233.016.8

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）为观察），与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，

并用平滑的曲线连接它们；

（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图

象，可推断出水平距离约为，〃（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点：

（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61〃?，则乙运动

员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点（填写“高”或“低”）.

27.（7分）感知：数学课匕老师给出了一个模型：如图1,点A在直线OE上，且NBD4=/BAC=N

A£C=90。，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型.

应用：（I）如图2,RtZ\ABC中，N4C8=90",CB=CA,直线£7）经过点C,过A作。于点

过B作BE上ED于点E.求证：△BECmACDA.

（2）如图3,在oABC。中，E为边BC上的一点，尸为边4B上的一点.若NOE尸=NB,A8=10,BE

EF

=6,小明想到在BC的延长线上取点M,使。M=OC,连接DM,请你延续小明的想法求二7的值.

28.（7分）在平面直角坐标系xOy中，M（川，yi）,N（X2,1y2）是抛物线y=o?+法+c（Q0）上任意两

点，设抛物线的对称轴为工=人

（1）当x=0时，求），的值：

(2)当xi=2,yi=c时，求抛物线的对称轴；

(3)若对于什1〈川〈什2,3<X2<4,都有yiVK,求)的取值范围.

2024・2025学年北京市顺义区仁和中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案CDCDABBC

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1・8题均有四个选项，符合题意选项只有一个。

1.（2分）下列各组线段（单位：。〃）中，成比例线段的是（）

A.1、2、2、3B.1、2、3、4C.1、2、2、4D.3、5、9、13

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项一一分

析，排除错误答案.

【解答】解：4、1X3W2X2,故选项错误；

8、1X4W2X3,故选项错误；

C、1X4=2X2,故选项正确；

D、3X13W5X9,故选项错误.

故选：C.

【点评】此题考杳了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另

外两个相乘，看它们的积是否相等.同时注意单位要统一.

2.（2分）抛物线），=f-2的顶点坐标是（）

A.（-2,0）B.（2,0）C.（0,2）D.（0,-2）

【分析】利用二次函数的图象和性质，即可得出顶点坐标.

【解答】解：•・，=，-2,

・•・抛物线的顶点坐标为（0，-2）,

故选：D.

【点评】本题考杳了二次函数的图象和性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质.

3.（2分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数汽一（约为0.618）,就称这个矩形为黄金矩形.若矩形

"CQ为黄金矩形，宽4。=遥-1,则长A8为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】根据黄金分割点的定义，求解即可.

【解答】解：•・•矩形ABC。是黄金矩形，

.ADV5-1

•♦=9

AB2

.V5-1V5-1

••,

AB2

••・AB=2,

故选：C.

【点评】本题考查了黄金分割：把线段43分成两条线段AC和8c(4O8C),且使AC是43和8c

的比例中项(即AB：AC=AC：3C),叫做把线段A5黄金分割，点C叫做线段A8的黄金分割点.

4.(2分)若将抛物线y=/先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物

线的表达式是()

A.y——^(x4-3)2+2B.y=—^(x-3)2—2

C.y=+3)2-2D.y=-^(x+3)2—2

【分析】根据抛物线的平移规律进行作答即可.

【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y=-±/先向左平移3个单位，再向

下平移2个单位，新抛物线的表达式是

y=-加+3)2-2,

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键.

5.(2分)已知点(1,V)，(2,”)，(-3,>3)都在函数)，=・2金的图象上，则下列结论正确的是()

A.y3<y2<y\B.yi<y2<y3C.>'!<)3<>^2D.y2<yi<y3

【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得V、”、声，再比较其大小即可.

【解答】解：•・•点(1,ji),(2,(-3,2)都在函数y=-2?的图象上,

.\yi=-2X12=-2,”=-2X22=-8,2=-2X(-3)2=-18,

•'•y3<y2<y]^

故选:A.

【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解

题的关键.

6.(2分)对于反比例函数y=-J,下列结论中错误的是()

A.图象必经过点（1,-5）B.y随工的增大而减小

C.图象在第二、四象限D.若x>l,则・5V），V0

【分析】根据反比例函数的性质解答即可.

【解答】解：A、当x=l时，），=-5,即图象必经过（1,-5）,正确，不符合题意；

B、因为-5V0,所以在每一象限内，y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意；

C、因为-5<0,图象在第二、四象限，正确，不符合题意；

。、若x>l,图象位于第四象限内，y随x的增大而增大，此时-5V）Y0,正确，不符合题意，

故选：B.

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知以上知识是解题的

关键.

7.（2分）已知二次函数JUGA/K+C的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量％的取值可

【分析】利用抛物线的对称性确定（0,2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方

所对应的自变量的范围即可.

【解答】解：•・•抛物线的对称轴为x=-1.5,

・••点（0,2）关于直线x=・1.5的对称点为（-3,2）,

当3VxV0时，）>2,

即当函数值y>2时，自变量k的取值范围是-3<xV0.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键.

8.（2分）已知），是x的函数，下表是x与y的几组对应值：），与x的函数关系有以下3个描述：

x,••124

y421

①可能是一次函数关系；

②可能是反比例函数关系；

③可能是二次函数关系，

所有正确描述的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.（D@<3）

【分析】根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的

横坐标和纵坐标的枳都为4,即可判断可能是反比例函数.

【解答】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确；

三个点的横坐标和纵坐标的积都为4,故都在反比例函数y图象.上，故②正确：

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的定

义，二次函数图象上点的坐标特征，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐

标的积都为4是解题的关键.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）请写出一个开口向上，并且与），轴交于点（0,2）的抛物线的表达式：尸$+2.

【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式〃是正数，c=2即可.

【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0,2）的抛物线的表达式可以为），=/+2,

故答案为：），=，+2（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质.

10.（2分）已知点A（3,yi）,B（〃?，>2）在反比例函数y=£的图象上.若写出一个满足条件

的m的值4（答案不唯一）.

【分析】反比例函数y=3的图象位于一二象限，点A在第一象限，户>0,符合题意，当点人和点“

位于同一分支上时，y随x的增大而减小，从而可得到3<〃?.

【解答】解：•・•反比例函数y的图象位于一三象限，点人在第一象限，

•・,当mVO时，点8位于第三象限,

故户〉）2

当〃?>0时，点8位于第i象限，

又•・•“〉”,

所以，〃的值可为4.

故答案为：4（答案不唯一）.

【点评】本题主要考杳的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.

11.（2分）把二次函数），=』-6x+5化成），=4（x-力）2+左的形式为y=（…）2-4.

【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可.

【解答】解：-6X+5

=9-6戈+9-9+5

=（x-3）2-4；

故答案为：），=（x-3）2-4.

【点评】本题考查了二次函数的解析式及二次函数的性质，熟练掌握配方法是关键.

12.（2分）若二次函数），=7-2r+k的图象与x轴只有一个公共点，则k=1.

【分析】令X2・2计4=0,求A=0时k的值.

【解答】解：令f-2rht=0,

;抛物线与x轴只有一个交点，

A=（-2）2-4&=0,

解得k=l,

故答案为：1.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

13.（2分）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均

增长率为工，那么十月份医用防护服的产量），（万件）与工之间的函数表达式为y=50（1+x）2.

【分析】根据平均增长问题，可得答案.

【解答】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为y=50（卢1）2.

故答案为：y=50（x+1）2.

【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键.

14.（2分）二次函数y=-F+A.+C的部分图象如图所示，由图象可知，方程-jr+bx+c=O的解为川=

【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（7,0）,根据方程+法+。

=0的解即为尸-，+法+。的图象与x轴的交点即为所求.

【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=2,

而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5,0）,

所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）,

所以方程・/hbx+c=。的解为％]=・],门=5,

故答案为：xi=-1»X2=5.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是求出抛物线与x轴的交点.

15.（2分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的

实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示.如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为1052,

像距为15。〃，蜡烛火焰倒立的像的高度是6c〃?，则蜡烛火焰的高度是4cm.

&X旬AT

图⑴图⑵

【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答

【解答】解：设蜡烛火焰的高度是.1"〃，

由相似三角形的性质得到：~

156

解得x=4.

即蜡烛火焰的高度是4o〃.

故答案为：4.

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力.利用数学知识解

决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实

际问题转化为数学问题.

16.（2分）已知二次函数y=af+/u-+c（aWO）的图象如图所示.则有以下5个结论：①HcVO；V

4ac；③〃=-2a；®a-Z?+c>0；⑤对于任意实数〃?，总有an^+bm^a+b.其中正确的结论是①③

⑤.（填序号）

【分析】，根据二次函数的图象的开口方向，与），轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象

与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过（7,0）判断④；根据当x=1时函

数取最大值判断⑤.

【解答】解：•・•抛物线开口向下，抛物线与），轴交于正半轴.

・•・〃<（）,c>0,

•.•对称轴为x=1,

.*./?=-2a,

・M>0,

/.«/?(•<0»

・••①正确.

•••抛物线与x轴有两个交点,

JA=b2-4ac>0,

：.b2>4ac,

・••②错误.

・：b=-2a,

・••③正确.

:当x=-1时,y=0,

.*.«-b+c=O,

・••④错误.

当x=1时，y有最大值为a+b+c,

・••对于任意实数机，总有anr^bm+ca+b+c,

・••对于任意实数/〃，总有a扇+btn&a+b.

••・⑤正确.

故答案为：①③⑤.

【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b,c对弛物线的决定作用是求解本题的关键.

三、解答题（本题共12小题，第17・22题，每小题5分，第23・26题，每小题5分，第27、28题，每小

题5分，共68分）

17.（5分）已知A（0,3）,B（2,3）是二次函数y=-f+bx+c图象上两点，求二次函数的友达式.

【分析】将A、8两点坐标代入解析式求出从c,用待定系数法求解即可.

【解答】解：•・•/1（0,3）,8（2,3）是二次函数y=-7+以+c图象上两点，

・[c=3

••l-4+2b+c=3'

.•.{"二：，

lc=3

・••此二函数的解析式为：尸-7+2x+3.

【点评】此题考查J'用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定

系数法是解题的关键.

18.（5分）已知二次函数），=7+2・3.

（I）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；

（2）求该二次函数的图象与I轴交点.

【分析】（1）化成顶点式，即可得出答案；

（2）把），=。代入函数解析式求出此即可求出答案；

【解答】解：（1）y=/+2x-3=（x+1）2-4,

函数图象的对称轴是直线x=-1,顶点坐标是（・1，-4）；

（2）当）=0时，/+2丫-3=0,

解得：x=l或-3,

即函数图象与X轴的交点坐标为(1，0),(-3,0).

【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点以及函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质的内容是

解此时的关键.

19.(5分)如图，在△A8C中，ZC=90°,点。是AC上一点，。旦LA8于点七.求证：XXBCsMADE.

【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案.

【解答】证明：・・・Q£_LAB于点£

/.ZA£D=ZC=9(r.

VNA=NA,

:.XABCS2AOE.

【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形判定，本题属于中等题型.

20.(5分)如图，一次函数)=依+〃的图象与反比例函数y=£的图象交于4(-2,1),8(1,〃)两点.

(1)求m,n的值；

(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，请写出自变量x的取值范围.

.y

【分析】(1)把A(-2,1)代入反比例函数y=求出川的值即可；把8(1,〃)代入反比例函数

的解析式可求出小

(2)观察函数图象得到当・2VxV0或x>l时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的下方，即一

次函数的值小于反比例函数的值.

【解答】解：(1)•・•反比例函数y=?的图象过点A(-2,I),

人

**•m="2X1=-2.

・,•反比例函数的表达式为y=

人

•・,点B(1,〃)在反比例函数y=—。的图象上，

人

.\n=~Y——2.

(2)观察函数图象可知，自变量取值范围是：-2<rV0或x>l.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反匕例函数与一次函数的交点坐标同时满足两

个函数解析式；利用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握以上知识点是关键.

21.(5分)如图，在矩形ABC。中，E是边4B的中点，连接DE交对角线AC于点F.

(1)求证：XAFEsXCF6

(2)若A4=4,AD=3,求CF的长.

A£B

【分析】(1)根据矩形对边平行，有AE〃OC,可知

ApAP

(2)根据相似三角形的性质可得二二=，再利用已知线段的长代入即可求出Cb的长.

CFCD

【解答】(1)证明：•・•四边形A8CO是矩形，

：.AE//DC,

:・NgE=/FCD,NFEA=NFDC,

：・2AFES4CFD,

故得证.

(2)解：由(1)知△AFEs^c"),

AFAE

•'=.

CFCD

而E是边48的中点，且A8=4,AD=3,

•••AE=2,AC=5,

AF21

•••_9

CF42

而AC=5,

5

A10

・-

3CEF=H

故C尸的长为式.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的

长度.

22.（5分）抛物线的顶点。的坐标为（1,-4）,且过点（2,-3）,与x轴交于4,3两点，与y轴交于

点C.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）求四边形/WOC的面积.

【分析】（1）根据抛物线的顶点。的坐标为（1，-4）,设抛物线的函数表达式：（x-1）2-4,

将（2,・3）代入尸a（x・1）2・4中求出。就可；

（2）利用y=/-2x・3,求出A,B,C,。的坐标，再利用分割的思想，把求不规则的图形面积转化

为规则的图形的面积.

【解答】解：（1）•・•抛物线的顶点。的坐标为（1,-4）,

设抛物线的函数表达式：17）2-4,

将（2,-3）代入y=a（x-1）2-4中，-3=a（2-I）2-4,

解得：a=l,y=（x-1）2-4=7-2x-3；

（2）•・•>=』・2."3=（x-3）（x+1）=（x-1）2-4,

，当y=0时，用=3,X2=-1»

当x=0时，y=-3,该函数的顶点坐标为（1,-4）,

••・点4的坐标为（-1,0）,点8的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,-3）,点Z）的坐标为（1,-

4）；

连接ACCD,BD,OD,如下图所示，

1D

丁点4的坐标为（7,0）,点8的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,・3）,点。的坐标为（1,-

4）,

**•四边形ABDC的面积是：S&AOC+SA0℃+S^ODB=^^=%

【点评】本题考查抛物线与X釉的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键

是明确题意，利用二次函数的性质解答.

23.（6分）图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2〃1时，水面宽4〃i.水面下降1〃?，水面宽度增加多少？

（结果保留根号）

【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再把），=-I代入抛物线解析式得出水

面宽度，即可得出答案.

【解答】解：以48中点为原点，所在直线为入•轴，建立平面直角坐标系，如图：

由已知可得抛物线顶点C坐标为（0,2）,

设抛物线解析式为y=a1+2,将4（・2,0）代入得:

0=4〃+2,

解得：a=-0.5,

・••抛物线解析式为）=-0.5/+2,

把），=-1代入抛物线解析式得出:

-1=-0.5?+2,

解得：x=±V6,

•••水面宽度增加到2遥米，比原先的宽度当然是增加了（2V6-4）米，

答：水面宽度增加（2V6-4）米.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的

关键.

24.（6分）在平面直角坐标系xO.v中，二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y对应值如下表:

A-1012…

y-3010…

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）画出这个二次函数的图象;

（3）若yV・3,结合函数图象，直接写出工的取值范围.

【分析】（1）利用表中的数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1,1）,设二次函数的

解析式为：＜x-I）2+1,把点（o,0）代入求出a的值即可;

（2）利用描点法画二次函数的图象即可;

（3）根据），=-3时x的值，再结合函数图象得出yV-3时，x的取值范围即可.

【解答】解：（1）由表格数据可知，当x=（）和x=2时，＞'=0,

・•・二次函数的对称轴为直线x=野=1,

・••二次函数的顶点坐标为（1,1）,

设二次函数的解析式为：y=〃（x-1）2+1,

把点（0,0）代入y=a（x-1）2+1得，“=-1,

・•・抛物线解析式为y=-（「1）2+1,即）,=-X2+2X；

（2）由（I）知，抛物线顶点为（I,1）,对称轴为直线x=l,过原点,

根据抛物线的对称性可得抛物线过（2,0）,

抛物线的图象如图所示：

（3）当y=-3时，-7+2x=-3,

解得：Xl=-1，X2=3,

结合函数图象，当yV-3时，工＞3或xV-I.

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根

据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，也考查了二次函数的图象与性质.

25.（6分）掷实心球是中学生体育考试的必考项如图1是一名女生投实心球，实心球行正路线是一条

抛物线，行进高度y（机）与水平距离x（机）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为：，当

水平距离为3〃?时，实心球行进至最高点3加处.

（1）求），关于x的函数表达式；

（2）根据体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70〃?，

此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由.

图1

【分析】（I）根据题意设出），关于人的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；

（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0,解方程艮J可.

【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为），=〃（x-3）2+3.

把（0，代入解析式，得q=a（0-3尸+3,

解得e一言.

・•・），关于入•的函数表达式为产—白（x-3）2.3.

（2）该女生在此项考试中是得满分.

理由：令），=0,即，

解得用=7.5,X2=~1.5（舍去）.

・•・该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为75m,大于6.70/7/.

,该女生在此项考试中是得满分.

【点评】本题考杳二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题.

26.（6分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的

水平距离为x（单位：〃竖直高度为），（单位：〃。，下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组

数据

x/ni0102030405060

y/m54.57.857.653.445.233.016.8

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）为观察1y与x之间的关系，建立坐标系，以大为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，

并用平滑的曲线连接它们；

（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图

象，可推断出水平距离约为14.4m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；

（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61”，则乙运动

员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高（填写“高”或“低”）.

（2）根据图表求解即可:

（3）根据图表求解即可.

（2）根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分；

结合图象，图象的最高点在10机到20〃?之间，可推断出水平距离约为144%时,甲运动员起跳后达到

最高点；

故答案为：抛物线，14.4；

（3）由图可知，乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61〃?，

则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高.

故答案为：高.

【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键.

27.（7分）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点A在直线力E上，且N8D4=NMC=N

4EC=90°,像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型.

应用：(1)如图2,中，/AC8=90°,CB=CA,直线EO经过点C,过A作AQ_LE。于点

D,过8作8E_LEO于点E.求证：/XBEC^/XCDA.

(2)如图3,在D/WCQ中，E为边4c上的一点，U为边A8上的一点.若NDEF=NB,AB=10,BE