2024-2025学年北京市西城区高二年级上册期末考试数学试卷（含答案）

北京市西城区2024-2025学年度第一学期期末试卷

高二数学2025.1

本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。

第一部分(选择题共4()分)

一，选择题共10小题.每小题4分洪40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(I)己知直线/经过两点RL2),。(4,3),那么直线/的斜率为

(A)-(B)--(C)-3(D)3

33

2,,2

(2)双曲线r-一二二1的离心率为

169

(D)-

3

(3)已知椭圆工+工=1的一个焦点与抛物线(〃>0)的焦点重合,则〃等于

62

(A)2(B)3(C)4(D)6

(4)在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,5),B(1J2),C(0M力)，若A若C三点共线，则

的值为

(A)-2(B)-1(C)0(D)1

(S)在(2丫—‘)5的展开式中x的系数为

x

(A)-80(B)-4()(C)40(D)8()

(6)正四楂锥尸-ABC。的所有校长均为2,则侧面与底面所成角的余弦值为

(A)-(B)-(C)—(D)—

3223

(7)从数字1,2,3,4中,可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数,这样的

三位数的个数为

(A)6(B)8(C)10(D)12

<8)已知直线/:)，=4工一1),“攵=2或攵=—2”是“直线/与双曲线二一二=1有且仅

3394

有一个公共点”的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(9)在平面直角坐标系中，已知点A(-2,0).8(-2,2),若点。为圆+/=1上的动点,

则IA3+AP|的最大值为

(A)3(B)x/13(C)5(D)2x/2+l

(10)在正方体ABCD-ABCQ中，动点尸在面ABCD及其边界上运动，

<〃4。/>=巴，则动点尸的轨迹为

4

(A)椭圆的一部分(B)线段

(C)圆的一部分(D)抛物线的一部分

第二部分(非选择题共110分)

二荫空题共，小题，每小题，分，共25分c

(11)已知直线以一)，-3=0与2x+y=0垂直，那么。=.

43

(12)已知(3x-I)"=a4x+a^x+a2x'+axx+a0，则g+/+4=.

(13)某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由于年代久远，顶部斧刃处两端有

缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm,底部CD宽5cm,AB//CD,底部离最窄处垂直高度为

3cm,斧高12cm.

请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为cm.

(14)已知曲线y=|x-l|与x轴交点为。，与抛物线C：V=4x交于A8两点，则,△AS。的面积为.

(15)已知"={",)，)|)，=心-1)2+2》+2,。运y1,上人弋2}是平面直角坐标系中的点集,点集组成的图形为。,给出

下列四个结论：

®(2,10)eA7.

②设点AeM,则直线OA的斜率的最大值为4.

③VABcMJAB区所.

④。的面积小于工.

2

其中所有正确结论的序号是

(18)(木小题15分)

已知圆C经过点A(—2,0).8(0,2),且圆心在直线)，=x上.

(I)求圆C的方程.

(II)若圆C与直线&+)」匕=0交于两点反厂.

(i)求b的取值范围.

(ii)若在圆C上存在点。，使四边形。红方为平行四边形，其中。为坐标原点，求力的值.

(19)(本小题15分)

22

已知椭圆C:、■+q=1的左顶点为A,右顶点为B，点P(.r0,y°)在椭圆C上(与点A,3不重合)，过£>(4,0)且与其轴

垂直的直线交直线AP于点G，交直线BP于点〃.

(I)求椭圆C的短轴长和离心率.

(II)若线段G”的中点为。，求点P坐标.

(20)(本小题15分)

如图，在四棱锥尸一A8C。中，PA1平面ABC。，AD±CD,AO〃8C,24=4。=。£＞=2,8。=4,£；为期的中点,

F为PC中点.

(I)求证：PDA.CD.

(II)设平面班厂与平面E4£＞的交线为/.

(i)求二面角—4的余弦值.

(ii)求直线/与直线PC所成角的余弦值.

(21)(本小题15分)

已知椭圆£=十==1(。＞力＞0)的上顶点为。((),6),四个顶点组成的四边形面积为72忘.

a~b~

(I)求椭圆E的方程.

(II)过点(0,2)的直线与椭圆七交于两点A&交X轴于点Q,直线。A,与直线y=f分别交于点M,N,线段MN的

中点为P.是否存在实数人使得以PQ为直径的圆总与丁轴相切？若存在，求出，的值，若不存在,请说明理由.

北京市西城区2024-2025学年度第一学期期末试卷

高二数学答案及评分参考2（

一，选择题：本大题共10小题,每小题4分，共40分.

(1)A(2)C(3)C(4)A(5)D

(6)D(7)C(8)A(9)D(10)D

二，填空题：本大题共5题,每小题5分共25分.

(11)-(12)136(13)质(14)9004(15)(2X3X4)

2

注：第14题第一空2分,第二空3分，第15题全部选对得5分，选对2个得4分，选对1个得3分,不选或错选得0分.

三，解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

（16）（本小题10分）

解：（I）从5种不同的荤菜和4种不同的素菜中，选取1荤3素，不同的选择方法为

C；C：=20（种）...............4分

（II）从5种不同的荤菜和〃种不同的素菜中，任取2荤2素，不同的选择方法为C；C；

（种）.

由题意，得。1盘2200,..............6分

所以〃5-1）240...............8分

因为〃wN*,

所以...............9分

所以〃的最小值为7..............................10分

（17）（本小题15分）

解：（I）川48C,AC_LCB,可得CAC3CG两两垂直，所以以C为原点,CAC6CG所在直线分别为工轴,），

轴,z轴,如图建立空间直角坐标系,.........................................

则C(O,O,O),£>(1,0,1),8(0JO),G(0,0,2).

所以CZ)=(1,0,1),G。=(1,0,7),。出=(0』,-2)......4分

设平面8G。的法向量为m二(x,y,z).

g、iCDm=0,fx-z=O,

所以〈X即《...6分

w=0,[y-2z=0,

令x=l,则y=2,z=l,于是，界=(1,2,1),..........8分

设直线CD与平面BCQ所成角为0.

则sin0=|cos<CD,m>|=W""=,......

\CD\-\m\3

所以直线CD与平面BQ。所成角的正弦值为?..............10分

（II）因为CG=（0，°，2）,.............12分

所以点C到平面8G。的距离为|CC|..............15分

|/〃|3

（18）（本小题15分）

解：(I)根据圆心C在直线y=x上,设圆心C(a,a)..............1分

因为圆C经过A(-2,0),8(0.2).

所以ICARC4I,.............2分

所以+2)“+=J/+3—2)2..............3分

解得a=0..............4分

所以圆心CQ0).

所以圆C的方程为/+丁=4..............5分

(II)(i)由题意，4^=<2,.............8分

V3+1

所以IhK4.

BP-4<Z?<4.

所以。的取值范围是(-4,4)..............10分

(ii)因为四边形。口)尸为平行四边形,乂因为|OEROF|.

所以。£力尸为菱形..............11分

因为|。。|=2.

所以点O到直线EF的距离43=1,.............14分

V3+1

所以〃=±2,符合题意..............15分

(19)(本小题15分)

解：(【)设椭圆的半焦距为c.

4=2,

由题意，得，力=J5,.............3分

c=1.

所以椭圆的短轴长28=2百，.............4分

离心率e=£=L.............6分

a2

(II)直线AP的方程为)，=工一(4+2)..............7分

%+2'

令x=4,得广且归.

%+2

所以G(4,-^)..............8分

%+2

直线BP的方程为y=^-(x-2),.............9分

%-2

令I,得

/-2

所以“(4,且一)..............10分

%-2

因为GH的中点为。(4,0).

所以且L=_三L.

12分

%+2%-2

若为=。，则尸(±2,0),与A8重合,舍去.

若NoW0，则3(%-2)=-(毛+2)，解得x0=1.13分

将40=1代入Y+4=l,得％=±;.

..............................14分

所以p(ig或p(i,-2).

..............................15分

22

(20)(本小题15分)

解：(【〕因为RLL平面ABCD,

所以Q4_LC£>,...............................I分

又因为AO_LC£>,AD[PA=A.

所以COJ_平面PA。，...............................3分

所以CELL/Y)................................4分

(II)(i)取3C的中点M,连接AM.

因为BC=4、AD=2,AD〃BC,ADLCD.

所以四边形ADC”为矩形.

所以/WLV).

又因为AP_L平面ABCD.

可得AM,AD,AP两两垂直,所以以A为原点.

AM,AD,A0所在直线分别为x轴,)，轴,z轴.

如图建立空间直角坐标系...............5分

则A(0,0,0),8(2,—2,0),C(2,2,0).

0(020),尸(0,0,2).

因为石，尸分别为E4,PC中点.

所以一(0,0,1),尸(1,1,1).

所以E8=(2,—2,—1),EF=(1,1,0),QC=(2,0,0),

DC=(2,0,0)是平面HAD的一个法向量..................................6分

设平面BEF的法向量为〃=(x,y,z).

EB-n=0,(2x-2y-z=0,

___U|J<...............................7分

EFw=(),[x+)'=0,

令x=l,则y=-l,z=4,于是〃=(1,一1,4),...............................8分

所以cos<fi.DC>=-

"DC=,...............................9分

\n\\DC\6

因为二面角3—/—A为锐二面角.

所以二面角笈-/-4的余弦值为注.

..............................10分

6

(ii)设平面8EF1平面八4D=G.

因为平面班F与平面见。的交线为/，平面8所〕平面PA£>=£

所以交线/即为直线EG.

设G(0,i,j),i丰。，则EG=(0,/J-l).

因为EGLz.

所以EG,〃=T+4(/-l)=0.

所以i=①

因为G在直线炽＞上.

所以i+J=2.②

由①②解得i==

A6

所以G(O，w，w)，.............U分

所以EC=(O,g,g)..............12分

因为PC=(2,2,-2),.............13分

设直线/与直线尸C所成角为a.

所以cosa=|cos<EG,PC>|=°。!=..............14分

\1E'G°\-\PC\17

所以直线/与直线PC所成角的余弦值为应..............15分

17

(21)(本小题15分)

b=6,

解：(I)由题意，得J1厂2分

12

所以a=6拉力=6.3分

22

V-v

所以椭圆£的方程为二十匕=1.4分..............

7236

(H)由题意，过(0,2)的直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y=6+2.

)，=履+2,

联立方程组

x2+2y2=72,

22

消去)得(1+2k)x+8米—64=0.5分

显然,△>().

设4(%,)，1),8(占,％)，则

-Sk-64

6分

2

在y=kx+2中，令y=0,得x=-

2

所以Q(一一,0).7分

k

直线DA的方程为)，=入二^+6,

8分

令y=/,得X=处1.

>'.-6

所以M(06)")

9分