2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

上海交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.若直线2g+)，+7=0与直线Lx+(1))，+2=0垂直，则实数。的值等于.

2.已知/(x)=d+at+].若y=/(x)为偶函数，则.

3.函数y=siiuyosA•的最小正周期为.

4.函数y=log?j3-x的定义域为.

5.已知向量。在向量b方向上的投影向量为-2b，且忖=2,则ab=(结果

用数值表示)

6.等差数列伍”｝的前〃项和为S“，己知4=13,S'，当S.最大时，〃的值是.

7.己知函数/(幻=/+6工+。有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是一.

8.在区间[0,2汨上，函数y=sinx与y=tan.r图象的公共点个数为.

9.若直线丁=履-2(常数keR)与曲线工二万刀有两个不同的公共点，则k的取值范围

是.

1().设无穷等比数列所有奇数项之和为-3,则等比数列所有项的和的取值范围是一-

11.已知向量〃与〃满足卜卜2025,且对VxeR,满足则1a-〃1+1。1的最

大值为.

12.平面上有三点三-1,1)项2,1),。(0,4)到直线宜+刀+。=0(。、〃不全为0)距离之和的

最小值为.

二、单选题

13.为锐角”是“a＜，’的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22

14.点M(%),为)为圆f+y=a>0)外一点，则直线为x+%y=a~与该圆的位置关系为

()

A.相交B.相切C.相离D.不确定

15.复数。、£分别对应复平面内的点AQ,若优-2奶+2加=0,则△POQ(其中。为

坐标原点)，是()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.等腰直角三角形D.有一个锐角为60。的直角三角形

16.£tana-tan/?=tan(«+/?).有下列三个结论：

①存在a在第一象限，夕在第三象限.

②存在a在第二象限，尸在第四象限.

③存在a在第一象限，夕在第四象限.

则()

A.①②均正确B.①③均正确

C.②③均正确D.①©③均不正确

三、解答题

17.已知单位向量4、〃满足6卜4+6卜卜一女同，k>0.

⑴将a、〃的数量积表示为关于Z的函数>=/伏)；

⑵求函数)，=〃Q的最大值及取得最大值时〃与〃的夹角氏

18.已知zeC,关于z的实系数一元二次方程zJ2z+a=0.

(1)若方程的一个根大于1,另一个根小于1,求实数〃的取值范围；

(2)方程的两根模均小于2,求实数。的取值范围.

19.最近国际局势波云诡谪，我国在某地区进行军事演练，如图，Q4B是三个军事基地,

C为一个军事要塞，在线段A5上.已知tanN4O8=-3,0A=10km,C到OA,04的距

离分别为5km,2而km.以点。为坐标原点，直线0A为了地，建立平面直角坐标系如图所示,

C位于第一象限.

试卷第2页，共3页

(1)求两个军事基地A6的长；

⑵若要寒。正北方向距离要塞10km处有一E处正在进行爆破试验，爆炸波生成/h时的半径

为「=5而(参数。为大于零的常数)，爆炸波开始生成时，一飞行器以30/km/h的速度

自基地A开往基地8,问参数。控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行.

20.已知函数/(x)=sin"sin'x+coskx-coskx-cos*2x,其中〃6N".

(I)当A—l时，求方程/(八)=|一日的解集；

⑵若/W是偶函数，当A取最小值时，求函数g(x)=/^+siiuTcob的取值范围；

taur

(3)若f(x)是常数函数,求2的值.

21.无穷数列{4}.定义集合？={〃|存在正整数加，使得〃〉〃旦(>凡},集合Q={〃|存

在正整数〃J使得〃?<〃且4>4}.

(1)已知凡=(-2)n,请直接写出集合P、Q；

Z\

⑵已知a”=sin彳+W,夕《［0,2兀)，若PqQ,求。的取值范围：

⑶已知A={x|x=%,〃eN,让1}为无限集，求证："{q}是增数列”的充要条件是

“PuQ=｛川〃wN,〃21;且PQ=0”.

《上海交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案

题号13141516

答案AACC

【分析】写出两直线斜率，由直线垂直得到斜率乘积为-1,建立方程后解出参数。的值.

【详解】由题意知两直线斜率存在，

勺=-2〃，&

解得。=；.

故答案为：!

2.0

【分析】利用偶函数的定义求出参数值.

【详解】函数/（©=/+必+1的定义域为R,由），=/（外为偶函数，得/"）-/（T）=O,

即f+av+l-（x2-ar+l）=2ar=O,而x不恒为0,

所以a=0.

故答案为：0.

3.兀

【分析】利用二倍角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】因为y=sior・cosir=gsin2x,

?7T

所以），=siwCOH的最小正周期丁=彳=兀.

故答案为：兀

4.

【分析】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可.

【详解】要使函数），=1。82行1有意义，

则解得XV3,

3-x>0

答案第1页，共12页

所以函数y=log2石式的定义域为（Y，3），

故答案为：（­,3）.

5.-8

【分析】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案.

dbbdbr

【详解】由已知可得，向量。在向量b方向上的投影向量为下「问=秆

所以有°电=一2忖2=一8.

故答案为：-8.

6.6

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，确定数列单调性即可求解.

【详解】令等差数列（%）公差为△，由邑=59，得%+为+/+/+%+%=3（/+%）=。，

贝！）％+%=2q+1=0,解得4=-与*=%=4+（〃-l）d=一筹〃+>!^,

显然数列是递减数列.由凡之。，得〃〈三13，即数列伍/前6项都为正，从第7项起为

负，

所以S”最大时，〃的值是6.

故答案为：6

7.9

【详解】由题意知函数/。）在零点两侧同号，所以A=62-4C=0,解得。=9.

8.3

【分析】根据给定条件，求出方程sinx=tanx在[0,2可的根即可.

【详解】依题意，sinx=tanx,IIPsinJT（1--!—）=0,解得sinr=0或cosx=1.

cos.r

而xe[O,27t],因此xw{0,兀,2兀},

所以函数）"Sinx与尸tanK图象的公共点个数为3.

故答案为：3.

9.（点”）

【分析】根据给定条件，确定曲线表示的图形并作出，再利用直线与圆的位置关系求出范围.

答案第2页，共12页

【详解】由工="1—y2,得f+)，2=iqo,则曲线X=jl—y2表示以原点为圆心，1为半

径的圆在y及右侧部分，

直线)，=依-2恒过定点(0,-2),斜率为3在同一坐标系内作出直线)，=履-2与曲线

2

观察图象知4>0,且a+(_[)2<1,解得k>6.

所以4的取值范围是(6,B»).

故答案为：(G,y)

10.(-6,-3)11(-3,0).

【分析】根据给定条件，利用无穷等比数列所有项和公式，结合公比的范围分类求解.

【详解】设无穷等比数列｛凡｝的公比为^7,则0<|同<1,

由无穷等比数列所有奇数项之和为-3,得鲁T=-3,

i-q

则该无穷等比数列所有项和为广」=-3(1+夕)，

1-4

当Tv”0时,-3(1+^)6(-3,0),当0<〃<1时，—3。+q)e(—6,—3),

所以所求范围是(-6,-3)(-3,0).

故答案为：(-6,-3)(-3.0).

11.2025加

【分析】可先对两边平方,根据二次函数性质得到a・b与的关系，再利

用向量模长公式和基本不等式求解+的最大值.

【详解】已知|8-入4以。-〃|,两边平方可得俗-工。)2之(4-5)2.

展开得-2xab+x2a2>a2-2a-b+b2.

答案第3页，共12页

移项整理得x2a2-2xab-d2+2ab>0-

因为对于祗e/?，上式恒成立，所以二次函数2m0—1+2。/的判别式

△二(-2白〃)2-4a'(-a~+lab)<0.

即4(〃“+4/一8。，力40,进一步化简得3%)2一2,%$+0440,即(42一”)2

因为一个数的平方是非负的，所以小〃一1=0,即

可得|a-Z>f=(a-h)2=a2-2a-b+b2.

将am=〃2代入上式得|。-力『二。2一〃2=20252-|。『.

令+设|a|=r(0WY2025),|a-6|=,2025—2,令),=V^^7+/.

222222

将)'变形为y=(V2025-t+f>=2025?-»+/+2ty]2CQ5-t=2025+2420252T2.

由基本不等式岫4仁£(当且仅当。=〃时等号成立)，这里〃=「，1=)20252-/2,则

2/V20252-v<r2+(20252-r)=20252.

所以)，2K20252+2025?=2x2025。BPy<202572,当且仅当/=,20252-产,/=202；、6时

取等号.

故14-61+1。1最大值是2025&.

故答案为：2025VL

12.亚2屈

1313

【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式，结合不等式的性质求出最小值.

\-a+b+c\

【详解】点A(-l/),8(2,l),C(0,4)到直线"+勿+c=0的亚离分别为4=

\Ja2+b2

.\2a+b+c\,|4〃+c|一,

W=]、,4=I,,,则距离之和为"=4+W+4,

\Jcr+b-&r+0~

3

2a+b+c=0a=-b/9

当且仅当4=4=。，即4-=。时取等号,此时2'《F

c=-4b

-a+b+c=0a=-3b_9

d>d,

2当且仅当4=4=0,即4"c=。时取等号,此时，1/4=忖

-a+b+c=0«=0

dN4,当且仅当4=4=0,即《2~+c=。时取等号,此时c=44=3,

答案第4页，共12页

而d—,因此4血=4=2叵，所以所求最小值为近.

iiiiii।]3]3

故答案为：丸叵

13

13.A

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可.

【详解】若。为锐角，则。＜。＜三，而则。可以为锐角，也可以为零角，还可以为

22

负角，

所以为锐角”是的充分而不必要条件.

故选：A

14.A

【分析】利用点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，结合点到直线的距离公

式即可求解;

【详解】因为点为圆/+）?=/色〉。）外一点，

所以石+）%

圆/+,2=/（.＞0）的圆心（0,0）,半径为r=a,

所以圆心（0,0）到直线AOX+%），="的距离为

lo+o-fl2|

/2，（丁:4,即dvr.

“o+打

所以直线V+j^.y=/与该圆的位置关系为相交.

故选：A.

15.C

【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形

形状.

【详解】依题意，£-2叩+2^=0,若a=0,则夕=0（反之亦成立），

则P,。与原点重合，与己知尸,OQ能组成三角形矛盾,所以。工0,〃/0.

由。2_2妙+2仅2=0,两边除以夕（〃工。），设z=£,则方程变为：

答案第5页，共12页

解得“三

Z2-2Z+2=0,=l±i

由z=l±i,得a=(l±i)夕.

所以|a|=|l土ill0=01川,

。一一=±3，故|a-夕H土豆H4I.

在△POQ中：

\OQ\=\p\,\PQ\=\a-p\=\p\y即IOQRPQI(等腰).

由勾股定理：|。。|2+|~。|2=|m2+|02=202,

而|OP|2=|a|2=2R『，故"QP=90。（直角）.

综上，aPOQ是等腰直隹三角形.

故选：C

16.C

【分析】利用换元法，结合二次函数的性质、三角恒等变换、函数图像即可求解.

tana+tan夕

【详解】因为tanatan/7=tan(a+/?),tan(a+/?)=

I-tana•tan/’

tana+tan0

所以tana•tan0=

1-tan«•tan?

x+y

令x=(ana,y=tan/?,则盯=,整理得/），2+0_“），+'=（）,且方程有解,

\-xy

有△=(\-X)2-4XX2之0,(x-l)2>41,

作函数y=（x-Di="图像

则由图像可知存在x°e（O,l）,有/（与）=0,

答案第6页，共12页

r-l1

所以当x<0时，ANO恒成立，则y+y>=-^〈0,yy=—<0,

Xi2*X

因此如处一正一负，

说明当a在第二象限时，夕在四个象限均可，

当xe(0,x0)时，ANO成立，

X—11

此时)，i+y,=——<0,)，y,=一、0,

XX

因此加力皆为负，

说明当a在第一象限时，夕只能在第二象限或第四象限，

综上所述，②③正确，①错误.

故选：C

17.(1)y=——^+―A€2—y/3,2+g).

⑵)，=/(%)的最大值为-；，^=y.

【分析】(1)将原等式两边平方即可得到结果.

(2)利用基本不等式的性质即可求得.

【详解】⑴百忸+1=|万一间平方得3/+63・方+3=1-23出+二.

化简得。/=土勺<0.

4k

因为二mWcos(a,Z?)=cos(4,Z?)

所以-14土£<0,化简得~4kKl+k2<4〃，解得2-石<A<2+百.

4k

所以尸/代)=一小+，丘(2_6,2+®.

41k)

(2)根据基本不等式的性质*也房=2,所以/(5)=-1+#-；.

当且仅当k=1时取到等号，所以)，=f(k)的最大值为一：.

此时C°s0="=二=」，所以"亭.

\a\]b\1x123

18.(1)(5)；

(2)(0,4).

【分析】(1)利用一元二次方程实根分布列式求解.

答案第7页，共12页

(2)求出方程的两个虚根，再结合已知列出不等式求解.

【详解】(1)依题意，方程zJ2z+〃=0有两个不等实根，贝必=4-400,解得"1,

由方程的一个根大于1,另一个根小于1,得12—2+OVO,解得a<1.

所以实数。的取值范围为〔—，】).

(2)依题意，A=4-4«,

当△之0时，方程有两个实根，a<\,对称轴为x=l,

则22-4+”。，解得。>0,因此()<心1；

当△<()时，方程有两个共挽虚根，a>\,4=l-Ja-li,Z2=l+j4-li,

由㈤=%|=&<2,得av4,因此

所以实数〃的取值范围为10.4).

19.(l)105/2km

⑵当0<a<24逐-48时，爆炸波不会波及飞行器的飞行

【分析】(1)利用直线与圆相切求出C点坐标，联立直线方程求出“点坐标，利用两点的距

离公式即可求解；

(2)由题意得|印>「对/£0,1恒成立，即(30・5)2+(30-15)2>25w对恒成立,

然后对，进行分类讨论，利用基本不等式即可求解.

【详解】(1)则由题设得：4(10.0),直线08的方程为3x+y=0,C(%,5)(与>0),

由坨力=2而，且%>0,解得垢=5,所以C(5,5).

V32+l2

所以直线AC的方程为y=-(x-10),即x+)=IO=O,

联立方程厂IA八，解得IV，即网-5,15),

所以|J(-5-IO)?+05-0)2=]5夜，

即基地AB的长为15Vikm.

(2)设爆炸产生的爆炸波圆E,

由题意可得打5,15),爆炸波生成"、时后，飞行在线段A4上的点尸处，

答案第8页，共12页

则|AP|=30",0<z<1,所以/(10-307,30/),

爆炸波不会波及飞行器的通行，即|£日>「对飞0,1恒成立.

所以怛Ff=(30/-5/+(30/-I5)2>r2=25m,即(30，-5r+(30r-15)2>25m,

当，=0时，上式恒成立；

当“(0,g时，整理得“72，+¥一48，

因为72f+$4822,72”了-48=246-48,

当且仅当72/=山，即仁好时，等号成立，

，6

所以在0<a<246-48时，〃<|如恒成立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行.

当0<a<24石-48时，爆炸波不会波及飞行器的飞行.

20.(1>=E+或x=E一/，kwZ

(2)一,1M1,1+用

⑶&=3

【分析】(1)当％=1时，/(x)=l-cos2x=l-^,求解方程cos2x=立即可；

22

(2)/(x)的定义域为R,由/(x)是偶函数得DxeRJ(-x)=/(x),展开并整理得

siMx,sin—[l+(-l)1=0,进而我为正奇数，当A取最小值即&=1时，/(x)=2sin2x,化

nni,、

简g(x)=2siarcosx+sinx+cosx.(/weZ)利用奥元法令/=sinx+cosx，

x哎(meZ),将g(x)的值域问题转化为函数)，=/+「-1,飞[-&,&]且”±1的值域

即可.

(3)因为VAeN"/(())=(),若/(力是常数函数,则/")=(),当&=1时”"=1—8S2X

不是常数函数；当上=2时，通过/(])=-1工。说明/(工)不是常数函数；证明当攵=3时

〃司=0成立；当心4时，通过/"<0,说明/(耳天是常数函数即可.

Ik/

【详解】(1)当攵=1时，/(x)=siav-siav+COSA--cos.v-cos2x=1-cos2x,

由小：H邛得：虫邛,解得2—和或2A一

答案第9页，共12页

即1=而+」~,或工=履——,keZ,

1212

故所求方程的解集为<x|K=依+不，egx=ATI--,eZL

14I乙

(2)/(力的定义域为R,由)(同是偶函数得:VXGR,/(-X)=/(X),即:

sinsin((-x)+cos(-ZLV)-cosA(一x)-cos'(-2x)=si-sinAx+cos^x,•cosxx-cos12x.

所以-sinAx(-1)Asin*x+coskx-cos*x-cos*2x=sinkx-sinkx+coskx•cos*x-cosx2.v,

从而sinZsin-1+(-1/=0,进而1+(-1>=0,所以左为正奇数,

当攵取最小值即2=1时，/(x)=1-cos2x=2sin2x,

2sm"x._..

f(x\—：---Fstar+cosx=zsiavcosx+siav+cosxnnt/

所以g(x)=-----+sinx+cos.¥sinvx中——(in€Z),

tanx2、

cosx

令t=sinx+cos.v=&sinb+彳xw学("iwZ),则2siavcosx=/2-1,/w[-夜，也]且/h±1,

所以函数g(A)的值域转化为y=r+r-l,te［-a,0］且t工±1的值域，

对称轴f=-g,所以「=『+/-1在卜夜，T(T—；上单调递减，在一31)(1，&］上单

调递增，

所以当/=-3时，取得最小值为n=J—；-1=-；；当时，取得最大值

Jmax=2+>/2-1=1+>/2；

又当/=±1时，>'=/2+/-1=±1,当7=0时，y=z2+z-l=-l；

故函数g(x)=S^+sinx+cosx的取值范围为‘；/)311+问；

(3)因为VAeN”，/(0)=0,所以若〃力是常数函数，则/(力=0,

①当&=1时，由(1)知,/(x)=l-8s2x不是常数函数;

/\

②当2=2时，/(^)=sin2x-sin2x+cos2x-cos2x-cos22x,此时，f—=-1*0,

12,

〃x)不是常数函数；

③当左=3时，/(x)=sin3x•sin、+cos3xcos5x-cos32x

=(sin2Aleosvsin'x+cos2.xsin4x)+(cos2.rcos4x-sin2.xsinrcosL)-cos32x

答案第10页，共12页

=(sin2.vco