2024-2025学年上海某中学高一（上）期末数学试题及答案

上海市实验学校2024学年第一学期高一级数学期末

2025.01

一、填空题（本大题满分40分）

化271/x

I.若指数函数的图像经过点12则其解析式为了（即=.

2.已知角°的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且终边经过点打一2,1）,则tana=.

3.已知3"=6,用/〃表示噫54.

1

sina=-

4.若3,。是第二象限角，则cosa=.

5.若函数Jx-9+法+1是定义在上的奇函数，则L+从二

6.甲、乙两人解关于x的不等式f+"+c<°,甲写错了常数4得到的解集为（一32）,乙写错了常数

c,得到的解集为（一'4）.那么原不等式的解集为.

7,已知函数y="x）奇函数.其定义域为R,且满足/（工+4）=/（力，当工«°，2）时，

/（x）=2'+kg（x+2）,贝J/（2023）=

4「1一

8.已知函数”"一"晨，g（x）=2'a-1,若对于任意“晅」存在W42,3],使得

〃%）Zg（X2）,则实数〃的取值范围是.

（.二1+hir

9.已知函数Ax在（°』是严格增函数，在口'+8）上为严格减函数，若对任意“e（0,+8）,

都有依则&的取值范围是

10.已知函数/（6=加-2^+0（。，""）在*41,3]时有最大值4和最小值（）

，设X.若关

2m

3m+1=0

g（*W2^\

于％的方程有三个不同的实数解，求实数”的取值范围

二、选择题（共16分）

y=1------

11.函数X+1的值域是（）

A.（f,l）B,（1,-K»）C.（-cc,l）U（l,-Ko）D.（-8,+劝

00n

12.已知。为第二象限角，若sin7u-sin7,则不在（）

222

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

13.已知函数y=/（x）的定义域为R,给定下列四个语句：

①y=/（x）在区间（F,0］上是严格增函数，在区间（0,一）二也是严格增函数；

②y=/（x）在区间（-4o］上是严格增函数，在区间［o,+8）上也是严格增函数；

③y=/（x）在区间（YO,1）上是严格增函数，在区间（0,+8）上也是严格增函数；

④），=/"）在区间（0,+x）上是严格增函数，且y=/（x）是奇函数.

其中是“函数y=/（x）在R上是严格增函数''的充分条件的有（）个.

A.IB.2C.3D.4

14.已知定义在夫上的函数/（X）,对于给定集合A,若对任意飞々£口，当凡一/£人时都有

则称/"）是“A封闭”函数.已知给定两个命题：

P：若/（x）是“｛1｝封闭"函数，则”力是"｛2024｝封闭”函数.

。：若/（x）是“［。回封闭"函数则/（x）不一定是卜心｝封闭函数.

则下列正确判断为（）

A.”是真命题，。是真命题B.〃是假命题，Q是真命题

C.。是真命题，。是假命题D.。是假命题，。是假命题

三、解答题（共44分，要求写出必要的解答或证明步骤）

15.基函数/（司=/一2小3（机€2）的图像关于），轴对称，且在区间（-00,0）上是严格增函数.

（I）求/（X）的表达式；

（2）对任意实数XE；/，不等式/（x）Wf+4'恒成立，求实数，的取值范围.

16.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产工

10x24-100^,0<x<40

百辆新能源汽车需另投入成本C(x)万元，且。("=<100()0由市场调研知，每

50U+4500,x>40

x

一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(注：利润=销售额一成本)

(I)求2023年的利润L")(万元)关于年产量大(百辆)的函数关系式.

(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

17.已知函数y=/(x)的表达式为〃力=；筌,且—=-1(工工0).

(I)求实数。值，并判断函数y=/(x)的奇偶性；

(2)判断函数)，=/*)的单调性，并证明；

(3)解关于％的不等式/(x)+/——+K0.

、2x—1>

18.已知函数/(x)=log2(x+a)(a>°)，设g(x)=g/(4x).

(1)当4=1时，解关于x的不等式/(x)v-l：

⑵对任意的x«0,2),函数y=/(x)的图像总在函数y=g(x)的图像的下方，求正数〃的范围;

(3)设函数尸(x)=/(x)-g(x),xe(O,2).当々=1时,求怛⑸的最大值.

四、附加题(共20分，要求写出必要的解答或证明步骤)

19.设实数。、〃满足方程犬+城3+法2+〃丫+1=0有实数根，求/+〃的最小值

20已知函数/(x)=21记g(R)=f(%)+，•/(t)(xeR).

(I)若/=一3,解不等式:g(x)>2；

⑵设2为实数，当，=1时，若存在实数为41,2],使得8(2天)=攵超25)-3成立，求上的取值范

围；

(3)记/心)=〃2x+2)+a・〃力+6(其中。、匕均为实数),若对于任意的xw[CM],均有,(x)归M,

求正数M的最小值及此时。、〃的值.

【分析】先根据指对互化可得机=log36,再结合对数运算求解.

【详解】•/T=6»则加=1836,

2

/.log354=log3(6x3，=log36+log33=//z+2.

故答案为：m+2.

4.若sina='，。是第二象限角，则cosa=____.

3

……25/2

【答案】一£匕

3

【解析】

【分析】利用同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】因为sina=1,。是第二象限角，

3

所以cosa=-\/l-sin2a=一.

3

故答案为：一述

3

5.若函数/("=?嗫不是定义在［1—2。,可上的奇函数，则/+从=.

【答案】1

【解析】

一VX

【分析】根据奇函数的性质得到1一2。+。=0和十丁一二--一；——，再解方程即可.

x-bx+\x+bx+\

【详解】因为函数/(力=丁J是定义在［1-2〃间上的奇函数

.V"i/XV"11

所以1-2/+4=0,解得a=l.

因为/(-x)=-〃x),

所以，一：I=一-r~^~~7,解得力=0.

x--bx+\+bx+\

所以"+=1-

故答案为：1

6.甲、乙两人解关于x的不等式V+H+cvO,甲写错了常数儿得到的解集为(-3,2),乙写错了常数

c,得到的解集为(-3,4).那么原不等式的解集为.

【答案】(-2,3)

【解析】

【分析】根据给定条件，求出常数反叫再解一元二次不等式作答.

【详解】依题意，c=-3x2=-6,/=-3+4=1,即〃=一1,

因比不等式X?+/?x+c<0为：x2-x-6<0»解得一2cx<3,

所以原不等式的解集为(-2,3).

故答案为：(一2,3)

7.已知函数y=/(x)是奇函数其定义域为R,且满足〃x+4)=/(x),当x«0,2)时，

〃x)=2'+log3(x+2),则/(2023)=.

【答案】-3

【酢析】

【分析】由函数的周期性、奇函数的性质以及对数、指数运算即可得解.

【详解】由题意/(x+4)=/(x),所以y=/(x)是周期为4的周期函数，又函数>=/(可是R上的

奇函数，

XEX

且当(O,2)时，/(x)=2+log3(x+2),

所以/(2O23)=/(-l)=_/(l)=-(2十l)=.3.

故答案为：一3.

8.已知函数/(x)=x+±,g(x)=2'+a-l,若对于任意为£5/，存在公《2,3],使得

/(M)Ng(±),则实数〃的取值范围是___________.

【答案】(—8,2]

【解析】

【分析】根据题意可得：(/(4)).2(&(0))哂，分别根据单调性求最值，代入运算求解.

【详解】根据题意可得：("Xj)m/(g(x2)h

・・・/(x)=x+±在3J上单调递减，则/(同之/⑴=5

又•••g(x)=2、+a-l在［2,3］上单调递增，则⑵=a+3

・・・52。+3,则。＜2

故答案为：(-8,2］.

9.已知函数/(%)=匕也在(0』是严格增函数，在［1,+8)上为严格减函数，若对任意X«0,+8),

都有xWZe*，则k的取值范围是

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出lnx—x的最大值，对Ae'两边取自然对数，分离/〃女，

利用不等式恒成立求解即可.

【详解】因为〃工)=上叵在(0,1］是严格增函数，在［1,+8)上为严格减函数，

X

所以/(%)=匕2«/(1)=1.

X

由x＞0,可得Inx-xW-1,

又xe(0,+8)时，由xvkex可得In/Kln(A:ev)=InA+x,

即Inx-Ink恒成立，

所以即火》一.

e

故答案为：J+09)

10.已知函数/(x)=a炉-2o¥+〃(a,〃N0)在x«l,3］时有最大值4和最小值0,设g(x)="^.若关

于x的方程火(|2'-+3根+1=0有三个不同的实数解，求实数/»的取值范围

【答案】(1,十R)

【解析】

【分析】根据题意得。＞0,再根据二次函数单调性列方程求解匕；再用换元法化简方程

1m

g(|2-|b3〃z+l=()为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布

2r-l

的知识求得小的取值范围.

【详解】f(x)=ax2-2OX4-Z?=6Z(X-1)2+b-a,(a,bNO)

因为，当a=0时，f(x)=b,为常函数，不满足题意；

所以，〃>0,/(/)=a(x—l?+Z7-々在x«l,3］上单调递增,

因为函数〃%)=加一2依+〃(口，〃20)在x«l,3］时有最大值4和最小值0,

/(1)=八"0

所以《解得a=b=1,

43)=3〃+0=4

方程8(|2'-1|)+曰「3机+1=0等价于|21|+自「2+洪「3雨+1=0,

叫2'-『-(1+36)[2'-1|+(1+2〃2)=0,|2'-16()，

令pl|=r,则方程化为/―0+3〃i)r+(l+2m)=O,(rxO),

因为方程8(|2'-1|)+铠］-3"+1=()有三个不同的实数解,

L1

所以，画出，=2*-1的图像如下图所示,

所以「一(1+3机"+(1+2〃2)=0,«工0),有两个根4、芍，且0<%<1</2或。"<1，，2=1•

记〃«)=广一(1+3〃。/+(1+2〃?)，

所以，(懦=：+2"；名即卜,，此时心1

(/i(l)=1-m<0

=1+2m>0(m>~-

九(1)=1一根二°得|小"：，此时用无解，

0<-2<1±^<1,l<rn<l

2V33

综上，m>\,即实数”的取值范围(1,+8).

故答案为：(1，+。).

【点睛】关键点点睛：本题关键在于令|2'-1|=八进而结合题意，数形结合得产一(1+36)，+(1+2m)=0,

（，工0）,杓两个根4、弓，且。<a<i<，2或o<a〈I，G=I，再根据零点存在性定埋求解即可.

二、选择题（共16分）

11.函数y=l——!一的值域是（）

x+\

A.y,i)B.(1,-KO)C.(-cc,l)U(l,-Ko)D.(-8,+8)

【答案】c

【解析】

【分析】由反比例函数的性质可知」一工（），从而推出所求函数的值域.

【详解】解：由反比例函数的性质可知：）'=占。°，则）'=1一占。1'故值域为（Y』）D（l,+8）.

故选：C.

ggn

12,己如0为第二象限角，若sin=sin,则三在（）

222

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】由2灼i+工<。v2E+兀,Z£Z得到E+&<9〈配+二,ZeZ,再对2赋值，根据

2422

.0.0

sin—一sin］判断.

2

【详解】解：因为。为第二象限角，

7T

所以2E+—<9<2kn+兀,攵wZ,

2

_.,710.兀，n

则E+—<—vE+—,ZwZ,

422

,八L兀9兀“，，L5兀e3兀

当2=0时，,当k=1时，—<—<—，

422422

因为sin—=-sin—,

22

所以sin,<0,所以2在第三象限,

22

故选:C

13.已知函数y=/（x）的定义域为R,给定下列四个语句:

①y=/（x）在区间（Y0，O］上是严格增函数,在区间（o,+8）二也是严格增函数;

②y=/（x）在区间（~°°，°］上是严格增函数，在区间［。,+8）上也是严格增函数；

③），=/（无）在区间（一8,1）上是严格增函数，在区间（0,+”）上也是严格增函数；

④y=/（x）在区间（0,+8）上是严格增函数，且y=是奇函数.

其中是“函数y=.f（x）在R上是严格增函数”的充分条件的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用反例说明①④，根据单调性的定义判断②③.

—、fx,x＜0

【详解】对于①，令/力={U八，

x-5,x＞0

满足y=/（x）在区间（-8,0］上是严格增函数，在区间（0,+8）上也是严格增函数，

但是函数y=〃x）在R上不单调，故①错误；

对于②：y=/（x）在区间上是严格增函数，在区间［。.田）上也是严格增函数,

即任意的％e（f0）都有/（%））＜/（0）,为e（0,+oo）都有

所以/（9）＞/（与）.

设任意的当,％eR且&＜%，若天,兀£（Y°，°］，则/（工3）＜/（%），

若天,工4«0，y），则/（&）＜/（工4），

若外«YO,0］,x4e［0,+oo）,则/（花）＜/（看），

所以函数¥=/（丫）在R上是严格增函数，故②正确:

对于③：y=/（x）在区间（-al）上是严格增函数，在区间（0,+。）上也是严格增函数,

I、

则）'=/（刈在区间18,；上是严格增函数，在区间J,+8］上也是严格增函数,

结合②可知，函数），=/（五）在R上是严格增函数，故③正确;

--,x<0

x

对于④：令〃x)=｛0,x=0，满足y=/(x)在区间(0,+。)上是严格增函数，且y=/(x)是奇函数,

—>0

x

但是函数y=在R上不单调，故④错误.

故选：B

14,已知定义在R上的函数/(x),对于给定集合A,若对任意X.WER，当％一9£4时都有

〃X)—"/"A,则称"X)是“A封闭”函数.已知给定两个命题：

p：若/(力是“｛1｝封闭”函数，则/(X)是“｛2024｝封闭”函数.

Q：若〃灯是句封闭”函数则“力不一定是｛帅｝封闭函数.

则下列IF确的判断为()

A.Q是真命题，。是真命题B.尸是假命题，。是真命题

C.P是真命题，Q是假命题D.2是假命题，。是假命题

【答案】C

【解析】

【分析】根据定义可得VxwR苗有=+VxwR都有/(x+a)=/(x)+〃，再判定所给

定区间里是否有f(x2^k)-f(x2)=k,ke^^f(x2+ab)-f[x2)=ab成立即可判断作答.

【详解】对命题尸：对于集合(IhV.k9eR使西一则内=9+1，而/*)是“｛1｝封闭”函数，

则/(%+1)一/(/)二1，即也£R都有/U+l)=f(x)+1,

对于集合｛4｝,DX],X2eR使内一x2£伙｝，则$=0+k,kwN*,

而/(G+〃)=/(G+〃.1)+1=/(々+〃-2)+2=，,・=〃々)+〃，

即/5+攵)=/(毛)+攵，故/(%+攵)一/(电)=匕/0)一定是“伙｝封闭''函数(攵wN"),

f[x)是“｛2024｝封闭”函数,故尸正确;

对命题Q,其逆否命题为，若/(幻是”｛"｝封闭”函数，则/W不是力]封闭''函数("〃wN”)，只需

判断出其逆否命题的正误即可，V内,9ER使%一%=〃〃，则/(%)一/'(工2)二"，

ab>a

若出?则,由解得。<1,因为awN*，所以。=1,

a<b

npVx(,x2£R使用一电=ab=be[a,h],则,

满足/")是“[〃,勿封闭"函数(4〃€N")，

所以命题Q的逆否命题为假命题，则原命题也为假命题，Q错误.

故选：C

三、解答题(共44分，要求写出必要的解答或证明步骤)

15.凝函数/(力二产―2吁3(〃”z)的图像关于)，轴对称，且在区间(TRO)上是严格增函数.

(I)求/CO的表达式；

一1

(2)对任意实数2-，不等式/(同4+4、恒成立，求实数f的取值范围.

一

【答案】(1)f(x)=x-4

(2)re[14,+co)

【解析】

【分析】(1)由幕函数的单调性及〃zwZ得〃?的可能值，再验证奇偶性，得了(©的解析式；

(2)将条件转化为/之厂4—^在工£；』上恒成立，求g(x)=xT—4"在XC上的最大值即可.

小问1详解】

因为籍函数/(X)=V『-2时3为偶函数，在区间(—,0)上是严格增函数，

则/(X)=X""2，，T在区间(0,+8)上单调递减，所以加2-2〃?-3<0，解得Tv/〃v3，

又因为WGZ,所以功=0,1或2,

当m=0或2时，/(x)=x-3不是偶函数，舍去；

当"7=1时，/(口二月4是偶函数，合题意，所以/(1)=厂4.

【小问2详解】

对任意实数,不等式f(x)Wf+4'恒成立,

即，之^.一平在KG-A上恒成立,

一1

设gQf4—"XG2-

■

因为g（x）在xe；,1上单调递减，所以g（x）vg（g）=14,

所以，214,即/£[14,+OO).

16.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x

10x2+100x,0<x<40

百辆新能源汽车需另投入成本C（X）万元，且。（力=10000，由市场调研知，每

501X+-------450(心4()

x

一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润=销售额一成本）

（I）求2023年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式.

（2）当2023年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

-10x2+400x-2500,0<x<40

【答案】（1）“无）=«10000、

2(X)0-x+,x>40

x>

（2）年产量为100百辆时,该企业所获利润最大,最大利润为1800万元.

【解析】

【分析】（1）根据利润=销售额一成本，结合分类讨论思想进行求解即可;

（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.

【小问1详解】

当0vx<40时,

L\x)=500x-10x2-lOO.r-2500=-10x2+400.v-2500；

当x之40时，L(x)=500x-501x-^^4-4500-2500=2000+

XVX

一10/+400工一2500,0<X<40

x

【小问2详解】

当0vx<40时，L(x)=-IO(x-20)7+1500,

所以〃力.="20)=1500；

当x之40时，L(工)=20(H)-A+12^9)<2000—2卜^^=2(X)0—2(X)=18()0,

当且仅当x=32,即x=100时等号成立.

x

故L(x)1mx=L(100)=1800>1500,

所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.

17.已知函数y=/(x)的表达式为/(1)=上爷，且/(X)-/-=-1(工工0).

(I)求实数。的值，并判断函数y=/(x)的奇偶性：

(2)判断函数y=/(x)的单调性，并证明；

(1\

(3)解关于“的不等式/(x)+/——+I<0.

、2x—1,

【答案】(I)。=2,偶函数

(2)[0,+8)上单调递减，在(YO,0]上单调递增，证明见解析

【解析】

riY"求解/臼的解析式，按照小)+必卜-1U工0)求解实数a的

【分析】(1)根据/(x)=L1—半

1+X

值却可；再根据奇偶性的定义判断外力与/(-X)的关系即可用奇偶性;

(2)分离函数/(X),用定义即可判断了(x)的单调性：

(3)再结合单调性与奇偶性解不等式即可.

【小问1详解】

\-cix2x2-a(1一切(l+V)

故即。=2.

|_9y.2

/(x)=L4，y=/(x)为倡函数，证明如下:

1"1*JC

/（力的定义域为R,关于原点对称，

/1）=臀］=害=不）

l+（-X）1+X

所以y=/（x）为偶函数.

【小问2详解】

3

f［x}=-7-2在［0,+8）上单调递减./*）在（y,0］上单调递增.下面证明:

-1+X

设阳，x2G［0,+oo）,且M＜与•计算/（再）一/（%）：

33_3工(1十只)一(1+6)3工,一x；二3,(工2一口)(/+%)

/(^)-/(x)=

21+X(21+X；、(1+X]2)(14-^2)'(1+^2)(1+%2)(1+^2)(1+%2)

2

因为X],尤2£[°，口)，且X<42，所以冗2-X1>0,x2+Xj>0,1+Xj>0,1+Xj>0.

c（X,-X.）（XA+X）

那么3xq+/）（i；|2；＞°，即/（芯）一/（8）＞°'所以/（芭）＞/（工2）・

I_2r2

根据函数单调性的定义可知，函数/（X）=L=在［0,+8）上单调递减.

1+X

又因为/（X）是偶函数，所以在（YO,0］上单调递增.

【小问3详解】

因为/（X）+/Q1=T,所以dm=—i_/（x）,

\xJ\xJ

（1Ai（1A

由/*）+/---+1vO得~-）=/（2x-l）Jx^-

12x-lJ2x-lV2）

由不数/*）的性质得：|x|＞|2x-l|,

(x2>(2x-l)23x2-4x4-1<0

则x*=

故该不等式的解集为1,.

18.已知函数〃x)=Iog2(x+a)(a>0),设g(x)=；/(4x).

(I)当。=1时，解关于X的不等式〃x)vT；

(2)对任意的x«0,2),函数y=/(x)的图像总在函数y=g(x)的图像的下方.，求正数〃的范围；

(3)设函数/(工)="工)一8(工)/£(0,2).当々=1时，求归(大)|的最大值.

【答案】⑴(-卜!)

2

(2)(0,“

(3)l-^log23

【解析】

【分析】(1)利用对数函数的性质解不等式即可.

(2)求出g。)的解析式，将条件转化为/(x)vg(x)恒成立，利用一元二次函数的性质进行求解..

(3)利用分式函数的性质，利母换元法进行转化，利用基本不等式的性质进行求解即可.

【小问1详解】

由。=1得1。823+1)<-1=1。823，则0<x+l<；，得一即不等式的解集为

【小问2详解】

g(x)=g/(4x)=glog2(4x+a),(^>0).

对任意的xc("2),/(x)的图象总在g(x)函数图象的下方，

则/W<g(x)恒成立，即log2。+a)<glog?(4x+a)在(0,2)上恒成立，

2

即2log,(A+a)<log,(4x+a),即log2(x+a)<log2(4x+4)恒成立，

则(x+a)2<4x+a,即W+(2a-4)x+/一。<。在xe(0,2)恒成立,

设h(x)=x2+(2。-4)x+a2-a,

/?(())<0a2-a<00<tz<l

则只需要即可，即,，即;，得《,「得OWaWl,

/?(2)<04+2(2〃-4)+。2-。00CR+3CL4W0-4<67<1

a>0,：.0<a<\.

即〃的取值范围是(OJ.

【小问3详解】

设函数Rx)=/(x)-g(x),XG(0,2).

当a=l时，/(x)=log2(x+l),g(x)=glog2(4x+l),由(2)知，f(x)<g(x)t

I4rli

2

则|F(x)|=|/U)-g(x)|=g(x)-f(x)=-log;(4x+l)-log,(x+1)=-|log;(4x+l)-log,(x+1)]=-log2(彳+境，

4x+14x+11

令*+1)2x2+2x+\x2+2x+\,

4x+l

m—1m~+6〃?+9

设加=4x+1,则X=----,则x~+2x+\1619

4=—(m+—+6)

4x+lm16tn

vxG(0,2).「.me(1,9).

则m+2+626+2、[“2=6+6=12,当且仅当〃7=3时，取等号,

mVm

即厂+2川=+2+6)的最小值为生=3,

4x+l16m164

r=----!----4

则丁+21+1的最大值为；，

-77TT3

I4I

则|F(x)|的最大值为^logz—=1--log3.

4JJ2

【点睛】结论点睛：本题主要考查不等式恒成立的应用，根据对数函数的运算是法则，进行转化，利用换

元法，利用二次函数的性质以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大，

有一定的难度.

涉及到对数的运算时，要用好对数的运算法则：。〉0且awl，M>0,N>0.

log.M+log.N=log"(MN).

M

logaM-logrt2V=loga—,

n

\ogaM=n\ogaM.

四、附加题(共20分，要求写出必要的解答或证明步骤)

19.设实数。、〃满足方程广+欠3+辰2+⑪+1=0有实数根，求/+〃的最小值

4

【答案】-

*■

【解析】

],]、1

【分析】分析可得/+不+。X+-+/?=0,设z=x+二，可得，£(YO,-2]U[2,y),令

X1戈,A

/(。=产+勿+6-2,其中，«_QO,_2]U[2,+8),则方程/(/)=0有绝对值大于或等于2的实数解，

利用二次函数的零点分布可得出关于。、的不等式(组)，结合二次函数的基本性质可求得的最

小值.

【详解】显然彳=0不满足方程V十以3十以2十，八十i=o,所以，木工0,

[([、

在方程/+加+加+av+1=0两边同时除以/可得r+F+〃x+—+b=0,

X-IX)

令/=工+，，则产=仆+，)=x2+A-+2,

x<X)x~

当x>0时，^t=x+->2jx--=2,当且仅当x=l时，等号成立，

<-2^(-x)~=-2,当且仅当x=-l时，等号成立,

当x<0时，则/二一(-x)+—

—x

所以，/£(YO,-2]U[2,+oo),

,1(1、

则方程d+r+a工+—+8=0可化为/+3+〃_2=0,

xyX)

设〃+("+〃—2,其中t€(—oo,-2]<j[2,4-co),

所以方程/。)=0有绝对值大于或等于2的实数解，所以，+可得传一2),①

由/(f)=0可得/=一/±'〃24(62),由)=一。±.;4(力-2)22,

22

可得一4±JcJ-4（力一2）24,

由绝对值三角不等式可得同+J/一4仅一2）24,②

由①②可知，只需讨论。之0的情形：

当时，令人=0,易验证①©均满足，此时〃z+/z/zi；

当0«。＜1时，条件②变"一4（〃一2）"4一。）2,化简可将AW2a-2v0,满足条件①，

此时附之2|々一1|,所以，a2+/?2＞a2+4（tz-l）2=5a2-8tz+4=5^-^l十^^《，

424

当且仅当。=]，〃二一不时，/+从取最小值不.

JJJ

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于通过在等式f+依3+法2+如+1=0两边同时除以12可得

，]，1、1

V+r+a工+—+〃=0,通过换元，=工+—，转化为二次函数/（。=尸+，"+〃-2在

X~\X）X

（-8,-2]1[2,+8）上有零点来处理.

20.已知函数/（力=2。记g（x）=〃x）+/•〃一%）（%wR）.

（I）若/二一3,解不等式：^（x）＞2；

（2）设攵为实数，当”1时，若存在实数占31,2],使得g（2x0）=公屋（%）—3成立，求女的取值范

闹；

（3）记力（力=/（2工+2）+公〃力+〃（其中〃、匕均为实数）,若对于任意的xe[0,l],均有心⑺归M,

求正数M的最小值及此时。、〃的值.

【答案】⑴（log23,+8）

-30529）

（2）[甑而I

（3）M的最小值为:，a=-12,b==

22

【解析】

【分析】（1）由题意将不等式转化为22'—2x2'—320,因式分解后即可得解；

（2）将原方程有解转化="在（"I上有解，利用层层函数的单调性求得

)'"1一(2、+27)2在。21上的值域，从而得解;

(3)原不等式恒成立等价于|4•『十〃•/+A］Vg在［1,2］上恒成立，取特殊值后利用绝对值不等式求得M

的最小值为女，从而关于凡A的不等式组，从而可得它们的值，再进行检