2024-2025学年河南省信阳市息县九年级（上）期末数学试卷+答案解析

2024-2025学年河南省信阳市息县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（）

q够曲学

2.已知关于x的一元二次方程,一。化一9=0有一个根为一3,则。的值为（）

A.3B.-2C.0D.-3

3.下列事件是必然事件的是（）

A.圆的直径所对的圆周角是直角B.打开电视机正在播放广告

C.任意一个一元二次方程都有实数根D.元旦是星期一

4.如图，点儿B,。都在。0上，若/c=34°，则/408为（）

A.34°

B.56°

C.60°

D.68°

5.如图，△43。与都是等腰直角三角形，NC=NA£D=90°,点E在48上,

如果△43。绕点4逆时针旋转后能与△4OE重合，则旋转角度是（）

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

6.设点4（—2.例）、3（1，2/2）、。（2,加）是抛物线g=（1+1）2—1的图象上三点，则阴、"2、我的大小关系

是（）

A.yi<y-2<U3B.yi<“3<y-2c.y3<y-2<yiD.y-2<yi<明

7.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的

实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在

端”.如图所示的小孔成像实验中，若物距为12°〃，像距为160打，蜡烛火焰

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倒立的像的高度是8a〃，则蜡烛火焰的高度是（）

A.6cmB.SentC.10c"iD.\2cni

8.如图，在正方形44C。中，AB=l，以8为圆心，比1为半径作圆弧，交C8的

延长线于点E,连结OE.则图中阴影部分的面枳为（）

E

7T17Tc7T17T

A-4+2B2C2+2D4

)

10.如图，是半径为2的。0的直径，点4在。。上，ZAMN=30°>8为弧4M的中点，P是直径MN

上一动点，则P4+P3的最小值为（）

B.2C.2\/2D.4

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.已知点4（一2,b）与3（0,3）点关于原点对称，则a+b=_

12.若关于x的一元二次方程/+2/+m=。有两个不相等的实数根，则，n的取值范围是

13.中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁

列车在转弯时的曲线起点为儿曲线终点为4,过点48的两条切线相交于点C,列车在从1到4行驶的

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过程中转角Q为60°.若圆曲线的半径0,4=2km，则这段圆曲线(弧力〃)的长为—£："】.(结果保留7T)

14.已知二次函数u=—/+2£+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程

一/+2・+m=0的解为_

15.如图，已知三角形纸片48C中，乙4=90°,43=9,47=12折

叠纸片，使点力落在8c边上事物点。处，折痕为EF(点E在.48上，

点F在4c上).若△80E与△4"。相似.则折痕四的长度等于.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题10分)

解方程：

(1)X2+4X-12=0；

(2)3x(x-1)=(1—x)2.

17.(本小题9分)

在如图所示的平面直角坐标系中，已知4(3,2),3(0,1),C(2.3).

(1)将△48。绕点。逆时针旋转［)0。得到△43G，请画出△43G.

(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△43。的位似图形△42氏。2,使它与△4B。的位似比

为2：1.

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20.(本小题9分)

如图，小安正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位

于点G处，手电筒的光从平面镜上点4处反射后，恰好经过木板的边缘点R落在垂直于地面的墙上的点£

处点E到地面的高度EO=477?.，点少到地面的高度尸C=1.5m，灯泡到木板的水平距离4。=5.4m，墙

到木板的水平距离为CO=5m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点4B,C，。在同一水

平面上，旦FCUEDUGA.

(1)求8c的长；

(2)求灯泡到地面的高度4G.

21.(本小题9分)

“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，

从2021年的32万人增加到2023年的50万人.

(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；

(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从小公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100

套，每套售价1600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1加0元.

已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.

22.(本小题10分)

某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏(长方体无盖箱子放在水平地面上).同学们受游戏

启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系(£轴经过箱子底面中心，并与其一组

对边平行，矩形OKQG为箱子的截面示意图)，某同学将弹珠从4(1,0)处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线

L：V=a/+bN+系单位长度为1m)的一部分，且当弹珠的高度为5m时，对应的两个位置的水平距离为

2m.已知DE=lm»EF=0.6m»DA=4.7m.

(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标.

(2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能否投入箱子.

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23.(本小题10分)

如图，等边三角形48C内接于圆。，点尸是劣弧8C上任意一点(不与C重合)，连接尸小PB、PC,求证:

PB+PC=PA.

【初步探索】小明同学思考如下：如图1,将△APC绕点力顺时针旋转60。到△4Q3,使点C与点4重合,

可得P、B、0三点在同一直线上，进而可以证明△4PQ为等边三角形，根据提示，解答下列问题：

(1)根据小明的思路，请你完成证明：

(2)若圆的半径为4,则PB+PC的最大值为；

(3)【类比迁移】如图2,等腰内接于圆。，^BAC=90°，点P是弧8C上任一点(不与8、C

重合)，连接P4PB、PC,若圆的半径为4,试求△P3C周长的最大值.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

8.是中心对称图形，故此选项符合题意：

。.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

。.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B.

根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,

那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，正行逐一判断即可.

本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义.

2.【答案】C

【解析】解：•.•关十x的一兀二次方程/—QZ—9=0有一个根为一3,

/.(-3)24-3a-9=0,

解得a=O,

故选：C.

将①=-3代入方程求解即可.

本质主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键.

3.【答案】A

【解析】解：*、圆的直径所对的圆周角是直角，是必然事件，符合题意；

8、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；

。、任意一个•元二次方程都有实数根，是随机事件，不符合题意；

。、元旦是星期一，是随机事件，不符合题意：

故选：A.

根据圆周角定理、一元二次方程根的情况、事件发生的可能性大小判断即可.

本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一

定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

4.【答案】D

【解析】解：・「NC=34°，

/.AAOB=2NC=68°.

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故选：D.

直接根据圆周角定理求解.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

5.【答案】C

【解析】解：•.•△43。绕点力逆时针旋转后能与△工。E重合，

/.4E的对应边为力E,

7.旋转角度等于NC4E,

△43C与△力。E都是等腰直角三角形，ZC=ZAED=90°，

Z.CAE=45°.

故选：C.

△A3C绕点力逆时针旋转后能与A/lOE重合，根据旋转的意义易得旋转角度.

本感考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错.

6【答案】A

【解•析】解：,.•沙=（2+1）2-1，

了.抛物线的对称轴为直线①=一1,开口向上，

点,4（一2,例）离对称轴最近，点。⑵为）离对称轴最远，

「•凯<觇<於，

故选：A.

根据二次函数的对称性和增减性即可进行解答.

本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握沙=。（1-h）2+卜的对称轴为7=脑顶点坐标为

（h.k）；Q>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增

大，QY0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小.

7.【答案】A

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【解析】解：如图，连接彳8、CD：

依题意,XABOsXDCO,

•.,物距为12。〃，像距为16cm»

AOABBO123

''OD='CD=C0=\^=

•.■蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm,

AB3

・一,

84

AB=6cm»

故选：A.

依题意，XABOsXDCO、根据物距为12皿像距为16皿得桨=票=梨=!|=。，即可作答.

(JUC£/CO1b4

本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形.

8.【答案】D

【解析】解：在正方形力6。。中，AABC=90°，43=1，

:.BE=1,NABE=90。，BC=CD=b

/,BE+BC=CE=2,

S阴影=S扇形、£；£；+S【E方形一S〉DCE

907rxi2i

=-360-+1X1-2X2X1

7T

=—

4，

故选：D.

根据s阴影=SE形+S正方形.CD-SADCE,进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则

图形的面枳的和差.

本题主要考查了扇形的面积计算方法，掌握其公式是解决此题的关键.

9.【答案】D

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【解析】解:在函数?/=8后的)和八=一极r+2(k#0)中,

X

当h>0时，函数〃=：(£#())的图象位于第一、三象限，函数g=—hr+2的图象位于第一、二、四象限,

故选项4、夕错误，选项。正确，

当k<0时，函数？/=：(k#0)的图象位于第二、四象限，函数g=-kr+2的图象位于第一、二、三象限,

故选项C错误，

故选：D.

根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题.

本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解

答.

1().【答案】C

【解析】解：作点8关于的对称点C,连接力。交于点P,则夕点就是所/一二4一

求作的瓦"J!'

此时P4+PB最小，且等于4C的长.\

连接04OC,、-----/

£AMN=30%

.•"AON=60。，

.•.弧/N的度数是60°，

.•.弧BN的度数是30°，

根据垂径定理得弧CN的度数是30。，

N4OC=90°，

又。4=0。=2，

AC=2\/2.

故选C.

首先利用在直线/上的同侧有两个点小B,在直线/上找至1」力、8的距离之和最短的点存在，可以通过轴对

称来确定，即作出其中一点关于直线/的对称点，对称点与另一点的连线与直线/的交点就是所要找的点尸

的位置.，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算.

此题主要考杳了轴对称-最短路线问题，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置是

本题的关键.

11.【答案】-1

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【解析】解：•.•点4-2,b)与3(。,3)点关于原点对称,

，a=2，b=-3,

G+6=-1.

故答案为：一1.

直接利用关于原点对称点的性质得出〃，%的值，进而得出答案.

此题主要考查了关厂•原点对称点的性质，正确得出口，。的值是解题关键.

12.【答案】m<1

【解析】解：•.■一元二次方程/+2/+加=()有两个不相等的实数根，

/.A=62-4ac=22-4xlxm>0，

解得m<1,

故答案为：77?<1.

根据方程的根的判别式△=岸一4ar=22-4x1xm>04计竟即可.

本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式.一元二次方程Q./+阮+c=0(Q#0)的根与

△=/—4ac有如下关系：①当△〉0时・，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=()时，方程有两个

相等的两个实数根；③当△<()时，方程无实数根.

2

13.【答案】彳r

【解析】解：•.■C4,C8是。。的切线，

AC1OA,BC1OB，

.•"C4。=NC8。=90。，

LACB+Z.AOB=180°，

a+Z.ACB=180%

/.Z4OB=a=60%

M…人!/607rx22八、

.•.狐AB的长==-Tr(km).

loUo

故答案为：-7T.

J

求出NAO3=60°，再利用弧长公式求解.

,rnrr

本题考查切线的性质，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，记住弧长公式/=研,

loU

14.【答案】为=3,X2=-1

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【解析】解：由图象可知，

该函数的对称轴是直线Z=1,与X轴的一个交点是⑶0),

则该函数与X轴的另一个交点是(-1,0),

即当沙=0时，0=-/+2N+m时£]=3,22=-1，

故关于x的一元二次方程—d+22+m=o的解为g=3,交=-1，

故答案为：£1=3,X2=-1.

根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到

另一个交点，从而可以得到关于A的一元二次方程一/+2/+m=o的解.

本题考查的是抛物线与x轴的交点，主:要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴

的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

15.【答案】远避

7

【解析】解：若4〃。£与448。相似，则/8£：。=90°或/8。E=90°，

①当NBE0=9O。时，•.•/4=90。，

/.DE//AC,

BE_DE

'AB=AV，

由折叠的性质得，DE=AE，NAEF=NDEF,

9-AE_AE

'-9=12f

解得:AE=y,

•.・DE//AC,

：.£AFE=4DEF,

/.AEF=/.AFE^

A/EF是等腰直角三角形，

j.EF=V2AE=

②当N30E=9O。时，

由折叠的性质得，NEOF=N4=90°,

则点少在8C上，这与题意不符，

综上所述，折痕E尸的长度等于达2,

7

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故答案为：吆2.

7

若4BDE与△43。相似，则/BE。=90°或N30E=90°>

①当N8EO=90。时，根据相似三角形的性质即可得到结论；②当NBOE=90*j,由折叠的性质得，

NEOF=N4=90°，则点尸在8C上，这与题意不符.

本题考查了相似三角形的性质，等腰直角三角形的判断和现在，折叠的性质，正确的理解题意是解题的关

键.

16.【答案】解：⑴/+岫-12=0,

(了+6)3-2)=0,

二.t+6=0或c-2=0,

解得：x\=-6,④2=2.

(2)3N(N-1)=(x—1)2»

(N—I)2—3x(x—1)=0»

(z-l)(x一1-3z)=0,

即(1一1)(一1一2劝=。

j:-1=0,-1—2x=0>

解得：①1=1,x2=J.

【解析】(1)把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；

(2)先移项，再把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可.

本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解•元二次方程”是解本题的关键.

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17.【答案】解：（1）将△A3C绕点。逆时针旋转90°得到△431G，如图1，即为所求;

y

r---5--T

।i।••i•c••

■：—i-4--：--b-：—■;

图2

【解析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；

（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可.

本题考查了作图-位似变换，作图-旋转变换，解答本题的关键是熟练掌握旋转变换与位似变换的性质.

18.【答案】（1）〈

（2）列表如下:

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DEF

A(4,0(4©(AF)

B(B,D)(B,E)(B,F)

C(C0(GE)(CF)

由表可知，所有可能出现的结果4。，AE,AF,BD,BE,BF,CD,CE,CF,可能出现的结果共有9种,

其中抽到物理实验B和化学实验F出现了•次，

所以小刚抽到物理实验8和化学实验尸的概率为;.

【解析】解：(1)小刚抽到物理实验4的概率是:，

故答案为：:；

(2)列表如下:

DEF

A(4,0(4E)(4尸)

B(民。)(BE)(")

C(C0(CE)(CF)

由表可知，所有可能出现的结果/。，AE,AF,BD,BE,BF,CD,CE,CF,可能出现的结果共有9种，

其中抽到物理实验6和化学实验尸出现了一次，

所以小刚抽到物理实验3和化学实验尸的概率为1.

(1)直接利用概率公式求解可得答案；

(2)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，根据概率公式求出该事件n勺概率即可.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总

情况数之比.

3

19.【答案】y=-\C(—2,0)；N<0或

x

【解析】解：(1)由题意，把力(1,6)代入物=一①+4,

6=-1+4=3,

.*.A(1,3).

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•.・点力在双曲线沙=々后4))上,

X

「/=1x3=3,

.•.反比例函数的表达式为v=±

X

•.•直线U2=z+。经过点力，

「.6=2，

，直线为。2=1+2.

令畋=0,

：.x=-2,

C(-2,0).

(2)由题意得，不等式-①+4>匕的解集是一次函数V=-，+4的图象在反比例函数〃=与的上方对应的

xx

自变量的取值范围.

y=-x+4

3，

!y=x

①=1一/①=3

{〃-2或1?/_1•

又••.A(l,3),

.­.3(3,1).

.•.结合图象可得，不等式-①+4的解集是i<0或1<£<3.

x

(1)依据题意，把4(Lm)代入例=一/+4,从而血=-1+4=3,可得4(1,3),进而可得反比例函数的

表达式为</=3,又直线U2=，+b经过点月，从而求出6=2,可得直线为父=，+2,最后令2/2=0,进

x

而可以判断得解；

Rk

(2)依据题意得，不等式一二+4>的解集是一次函数V=一1+4的图象在反比例函数V=9的上方对应

xx

y=—x+4

3,可得3(3,1),再结合图象进而可以判断得解.

(y=-X

本题主要考查了反比例函数与••次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是

关键.

20.【答案】8C的长为3加；

灯泡到地面的高度AG为1.2m.

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【解析】解：Q『FCHDE,

：.LEDC=2FCB，

•「LFBC=乙EBD,

/.NBFCSABED,

CFDC

'DE=BD，

1.5_BC

•二了=3。+5'

解得：3c=3，

BC的长为3m：

(2)vi4C=5.4m,BC=3m,

：.AB=AC-BC=5.4-3=2.4(m),

由寇意得：NABG=ZFBC，GAVAD^FCLBD^

LGAC=AFCB=90。，

XFCBS/\GAB,

AGAB

,'FC=BC>

AG2.4

*---=--9

1.53

解得：AG=1.2，

了.灯泡到地面的高度AG为1.2他

(1)先利用平行线的性质可得NEDC=NFCB，从而可证△BFCs△BE。，然后利用相似三角形的性质

进行计算即可解答；

(2)利用(1)的结论可得43=2.4小，再根据题意可得：^ABG=^FBC,GALAD.FCLBD,从而可

得/G47=NFCB=90。，然后证明△FC3s△G43,再利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

21.【答案】解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，

由题意得:32(1+a:)2=50,

解得：为=025=25%,交=一2.25(不符合题意，舍去)，

答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；

(2)设购买的这种健身器材的套数为切套，

•/240000+1600=150(套)，

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m>100,

由题意得：m(1600—m-x40)=24000(),

整理得：77?一500川+60000=。，

解得：7771=200,77?2=300,

当m=200时，1G00-m-100x40=1G00-400=1200>1000,符合题意；

当加=300时,1600-匚：。。X40=1600-800=800<10()(),不符合题意,舍去；

答：购买的这种健身器材的套数为200套.

【解析】(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x,根据从2021年的32万人增加到2023年的50万

人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可：

(2)设购买的这种健身器材的套数为〃?套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解

方取符合题意的信即可.

此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

1Q

22.【答案】+：Ji*)；

能投入箱子，理由见解析.

【解析】解：(1)由抛物线L：V=a/+厉:+5可知，当4=0时，y=-,

又当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离•为2〃?，由图可知另一点坐标为(-2.2,

3

33。+5=0

把点>1(1,0),(-2,5)代入y=ax2+bx+弓得：

33'

4a-26+-=-

解得：［。=-5，

［6=-1

1Q

抛物线L的解析式为y=一：］2_/%：

191Q

y=-5/-①+5=-/2+2b+1-1)+-=-(1+1产+2,

乙乙乙乙

了.顶点坐标为(—1,2)；

⑵••・4(1,0)，

/.OA=1m>

,/DA=4.7m»

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DO=3.7m，即点。(-370),

,,,DE=lm»EF=,

...OE=2.7m，

.•.点E(-270),F(-2.7,J),G(-3.7,!),

解得：x\=—\/3—1,a：2=V/B—1»

\'-3.7<-\/3-l<-2.7，

二.该同学抛出的弹珠能投入箱子；

(1)把点4(1,0),(-2,3)代入£：v=aN2+6N+9再把抛物线解析式化为顶点式，可得点点坐标，即可

求解;

⑵根据题意求出点E(—270)/(—2.7。，G(—3.7.：),再由当g时，可得心=一①一1处=乃一1，

即可判断球的落点.

本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

23.【答案】(1)证明：由旋转得4Q=4P,QB=PC,ZQ=AAPC,^ABQ=^ACP,

•.•四边形/出PC是。O的内接四边形，

LACPI"BP=180°,

/,乙43Q+NA3P=180。，

P>B、。三点在