2024北师大版八年级数学上册 第2章 实数 单元测试（含解析）

第2章实数单元测试

一、选择题

1.（-4）2的算术平方根是（）

A.-4B.4C.-2D.一?

2.已知赤三是无理数，则加的值可以为)

A.12B.6C.3D.0

3.下列说法中正确的是（）

A.0.25的平方根是0.5

B.没有立方根

C.。的平方根和立方根都是0

D.V9=3

4.下列二次根式中是最简二次根式的是（)

1

A.V20B.-=C.D.Vio

72

5.-花的绝对值是（）

叵

A.V5C.-V5D.

一号5

6.如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是)

力幺洪海港分，

埴空（饵小题25分,共100分）

①2的相反数是-2:

②倒数等于它本身的数是1和41

③'I的绝对值由1」

④8的立方根是，__・

A.25分B.50分C.75分D.100分

7.下列各组数中，互为相反数的一组是（)

A.131和1-31B.近和一夜C.D.5?和（-5）2

8.已知实数）满足存X+|A・2|=0,那么点尸（4,b）的坐标为（）

A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.（3,-2）

24TC

9.下列实数夕，0,一,V12.-2.367,V36,一，0.6,3.1212212221-（每两个1之间依次多一个

73

2)中，是无理数的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，点A,B,C,。在数轴上，则可以近似表示&xg-曲+2企的运算结果的点是（)

ABCD

1iiii..i1A

01234567

A.点AB.点RC.点CD.点。

11.在用和5+m之间的整数是（）

A.6B.7C.8D.9

12.下列四个实数中，最大的数是（）

A.，（-B.-V^8C.-V9D.V27

13.对于任意不相等的两个实数小b,定义运算：。※力=/・户+1,例如3X2=32-22+1=6,那么

（-5）派4的值为（）

A.-40B.-32C.18D.10

14.下列各数中比3大比4小的无理数是（）

A.V10B.V17C.3.14159D.-n

15.已知工+工=5（0<x<1）,代一4=的值为（)

XVX

A.-V5B.-V3C.V5D.V3

16.点夕在数轴上运动，它所对应的数值为小如图，当点P从点A运动到点儿则代数式«7[1心+〃+4

的最大值为（）

A.5B.C.7D.a+4

17.若迎是最简二次根式，则〃的值可能是（）

A.2B.4C.-3D.1.5

二、填空题

18.已知A,从C是数轴上的三个点，点A,4表示的数分别是1,3,点。在点8的右侧，如图,

若BC=2AB,则点C表示的数是.

ABC

_i-----1------1_>

13

19.比较大小：V205（填“V"或“=”）.

20.若75a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数〃的值.

21.若。、b、c为三角形的三:S,则J（a+b-c）2+J"-c-a）2=.

22.若是实数，且同=a'=1+&'=^+4,则同的值是，。+。的值是.

23.若实数x满足（x-1）2=25,则尸.

_7

24.比较大小：,瓦-（填“>”，"V”或“="）.

25.如图所示，长方体-ABCZy中，AB=3C=4c〃?，4V=2c〃?，E是"C）的中点，一只蚂

蚁从点A出发，沿长方体表面爬到E点，则蚂蚁走的最短路径长为cm.

26.如果，a<0,b<0,那么下列各式①1=造：②电x聆=1；③V石土器=一〃；®（x/ab）2

=-ab.正确的有.（填序号即可）

三、解答题

27.王老师给同学们布置了这样一道习题：“计算1+，（。-1）2的值”,其中4为实数，同学们可以

任取一个a的值计算.

（I）若小颖取。=4,求小颖所求得代数式〃+J（a-1）2的值;

<2）若小明带值订算所求的答案为点请判断小明的答案是否正确，并说明理由.

2

Xv2

28.先化简，再求值:已知x=V5+l,V3—1,求代数式三+外+号的值.

29.两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理

化因式.例如：画与遍，、2+1与企-1,275+36与28-36等都是互为有理化因式.进行

二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.请回答下列问题：

（1）化简：日后=------------------------

（2）比较反一VTi与旧一的大小关系；

1111,____

（3）计算：（-=+-=——+———+•••+.―）（V2022—1）.

1+V2V2+V3V3+>/4V2021+V2022

30.如图，C为线段8D上一动点，分别过点8、。作EDLBD,连接AC、EC.已知A8

=5,DE=2,80=12,设CO=x.

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问点C在8。上什么位置时，AC+CE的值最小？

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式VJ7”+J（24-本产+16的最小值.

A

K.

B

E

B.一义没有立方根

C.0的平方根和立方根都是0

D.V9=3

【答案】C

【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的意义判断即可.

【解答】解：4.0.25的平方根是土0.5,故选项错误；

B.一《有立方根，，故选项错误；

C.0的平方根和立方根都是0,故选项正确；

D丽*3,选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的意

义是解题的关键.

4.下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A.V20B.-=C.v^6D.V10

【答案】。

【分析】应用最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方

的因数或因式，（3）分母不含根号，进行判定即可得出答案.

【解答】解：A.何=2遍，，何不是最简二次根式，故4选项不符合题意；

&・・・2中分母中含夜，・・・W不是最简二次根式，故B选项不符合题意；

V2V2

c.,・•屈=册中被开方数为4，・・.VU石不是最简二次根式，故c选项不符合题意；

o.・・・内是最简二次根式，故。选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义进行求解是解决本题的关

键.

5.-遥的绝对值是（）

A.V5B.-洛C.-y/5D.—■

55

【答案】4

【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数解答即可.

【解答】解：|-V5|=V5,

故选：A.

【点评】本题主要考查了绝对值的意义，实数的性质，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键.

6.如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（）

一幺洪涛・一分

埴空（每小胭25分.共100分,

①2的相反数是-2:

②倒教等于它本身的数的I和和：

③的绝对值是一L：

④8的立方根是二・

A.25分B.5。分C.75分D.100分

【答案】D

【分析】根据相反数、倒数、绝对值和立方根解答即可.

【解答】解：①2的相反数是-2,正确；

②倒数等于它本身的数是1和-1,正确：

③-1的绝对值是1»正确；

④8的立方根是2,正确；

故选：£）.

【点评】此题考查立方根、相反数、倒数、绝对值，关键是根据相反数、倒数、绝对值和立方根

解答.

7.下列各组数中，互为相反数的一组是（）

A.131和1・31B."和一夕C.［和4D.52和（7）2

【答案】B

【分析】利用相反数的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论.

【解答】解：VI-31=-30,

A131和1-31不是互为相反数,

・・・A选项不符合题意；

•・•夕和一夕互为相反数，

・・・B选项符合题意；

••・C选项不符合题意；

V52=25,(-5)2=25,

・・・52与（-5）2不是互为相反数，

・・・。选项不符合题意，

故选：B.

【点评】本题主要考查了相反数的意义，实数的性质，熟练掌握相反数的有意义是解题的关键.

8.已知实数〃，〃满足71不加+步-2|=0,那么点P（a,b）的坐标为（）

A.（-3,2）B.（-3,-2）C.（3,2）D.（3,-2）

【答案】A

【分析】根据算术平方根和绝对值具有非负性可得3+〃=0,方-2=0,解可得〃、%的值，进而可

得P的坐标.

【解答】解：・・・VT不H+|b-2|=0,

**•3+tz=0»b-2=0,

解得：a=-3,b=2,

:•点P（小b）的坐标为（-3,2）,

故选：A.

【点评】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根和绝对值具有非负性.

24TC・

9.下列实数夕，0,—,V12.-2367,V36»一，0.6,3.1212212221-（每两个1之间依次多一个

73

2）中，是无理数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】。

【分析】应用无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，进行判定即可得出答案.

【解答】解：是无理数的有次，V12,p3.1212212221…（每两个1之间依次多一个2）共4个.

故选：Q.

【点评】本题主要考杳了无理数，熟练掌握无理数的定义进行求解是解决的关键.

10.如图，点A,B,C,在数轴上，则可以近似表示-g+2鱼的运算结果的点是（）

ABCD

[II;[■[■I.1]>

01234567

A.点AB.点BC.点CD.点D

【答案】C

【分析】先将二次根式化简，再估算结果的近似值即可得到答案.

【解答】解：夜xg—岳+2或

="2x18-^24+2

=6—\/3,

Vl2<3<22,

A1<V3<2,

A4<6-V3<5,

・•・可以近似表示&xV18-V24+2&的运算结果的点是C,

故选：C.

【点评】本题考查二次根式的运算及估算，解题的关犍是掌握二次根式相关运算的法则和估算旧的

近似值.

11.在原和5+JII之间的整数是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根据平方数，进行计算即可解答.

【解答】解：・・・49<56<64,

A7<V56<8,

V9<11<16,

.\3<V1T<4,

A8<5+71T<9,

A7<V56<3<5+VTT<9,

・•・在愿和5+VTT之间的整数是8,

故选：C.

【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键.

12.下列四个实数中，最大的数是（）

A.，（-2/B.C.-V9D.V27

【答案】D

【分析】根据二次根式的性质以及立方根的性质化简原数后进行比较即可求出答案.

【解答】解：4-2）2=2,-V=8=2,-V9=-3,V27=3,

故选：D.

【点评】本题考查二次根式的性质、立方根以及实数比较大小，本题属于基础题型.

13.对于任意不相等的两个实数a,b,定义运算：4※力=/-从+1,例如3X2=32-22+1=6,那么

（-5）的值为（）

A.-40B.-32C.18D.10

【答案】D

【分析】直接利用已知运算公式计算得出答案.

【解答】解：（-5）※4=（-5）2-42+1=10.

故选：D.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确运用已知公式是解题关键.

14.下列各数中比3大比4小的无理数是（）

A.710B.VT7C.3.14159D.-n

【答案】A

【分析】根据实数比较大小的法则可得答案.

【解答】解：3=75,4=116,

A、g是比3大比4小的元理数，故此选项符合题意：

8、g比4大的无理数，故此选项不合题意；

C、3.14159是有理数，故此选项小合题意；

D、-7T是比-3小比-4大的无理数，故此选项不符合题意；

故选:A.

【点评】此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握正实数都大于0,负实数都小于0,正实数

大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

15.已知x+1=5（0<x<l）,正一七的值为（）

Xy/X

A.-V5B.-V3C.V5D.V3

【答案】B

【分析】先求出（五一白）2的值，再根据0VXV1可得答案.

【解答】解：•・"+[=5,

；・（>/%—2=工+工-2=5-2=3,

瓜x

VO<x<l,

vX

V%—=—V3,

VX

故选：B.

【点评】本题考查二次根式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式.

16.点P在数轴上运动，它所对应的数值为m如图，当点尸从点人运动到点B,则代数式J（Q-1尸+〃+4

的最大值为（)

A.5B.。+1C.7D.。+4

【答案】C

【分析】根据数轴可知〃的取值范围，从而可化简原式求值.

【解答】解：由题意可知：-1W〃W2,

当a-120时，

即1—W2,

・••原式=a-l+a+4

=2a+3,

当a-IV0时，

即-

，原式=-（a-1）+a+4,

二5,

・••当a=2时，

此时代数式最大值为：7,

故选：C.

【点评】本题考查绝对值的性质，解题的关键是熟练运用绝对值的性质，本题属于基础题型.

17.若返是最简二次根式，则〃的值可能是（）

A.2B.4C.-3D.1.5

【答案】A

【分析】根据最简二次根式、二次根式有意义的条件解答即可.

【解答】解：A、&是最简二次根式，符合题意；

B、V4=2,不是最简二次根式，不符合题意；

c、F，不是二次根式，不符合题意；

3匹

=-

VL522不是最简二次根式，不符合题意;

故选

儿

【点评】本题考查的是最简二次根式、二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式的概念是解题

的关键.

二、填空题

18.已知A,B,。是数轴上的三个点，点A,B表示的数分别是1,3,点。在点8的右侧，如图，

若BC=2AB,则点C表示的数是一7.

ABC

_j---1-------1_>

13

【答案】见试题解答内容

【分析】先利用点A、3表示的数计算出A从再计算出8C,然后计算点C到原点的距离即可得

到。点表示的数.

【解答】解：•・•点A,8表示的数分别是1,3,

：.AB=3-1=2,

・；BC=2AB=4,

・•・0C=OA+AB+BC=1+2+4=7,

・••点。表示的数是7.

故答案为7.

【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理

数.（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.）

19.比较大小：V20V5（填或“="）.

【答案】V.

【分析】先求出5=生，再比较根号内的数即可求解.

【解答】解：・・・5=库，2OV25,

.\V20<5.

故答案为：V.

【点评】本题考查实数的大小比较，解题的关键是掌握比较有理数和根号形式无理数的大小的方

法.

20.若6a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数〃的值_遍_.

【答案】V3.

【分析】应用有理数与无理数的定义进行计算即可得出答案.

【解答】解：V3xV3=3,3是有理数.

故答案为：V3（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查了有理数与无理数，熟练掌握有理数与无理数的定义进行求解是解决本题

的关键.

21.若〃、从「为二角形的二切.则+b-Q2+J（h-c一"=2〃.

【答案】见试题解答内容

【分析】由a,b,c为三角形的三边，根据三角形三边关系，即可得a\b>c,c\a>b,又由

J（a+b-c）2+d（b—c—a—=\a+h-c|+|Z?・c・a|,即可求得答案.

【解答】解：•・・〃、A、c为三角形的三边

a+b>Cyc+a>b

原式=|4+〃-c\+\h-c-a\=a+b-c+c+a-h=2a

故答案为：2a

【点评】此题考查了一次根式的性质和三角形三边的关系.此题难度适中，注意掌握后=|"

22.若〃、b是实数，且|a|=+V2-2Z）+4,则同的值是4,a+b的值是-3或5.

【答案】4,・3或5.

【分析】根据二次根式有意义的条件可求出。与〃的值，然后代入原式即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：人-120,2-2〃20,

故b=1,

・••⑷=0+0+4=4,

，a=±4,

当a=4时，

a+b=4+\=5,

当〃=-4时，

a+b=-4+1=-3.

所以a+b=-3或5,

故答案为：4,-3或5.

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确求出。与人的值，本题属于基础题

型.

23.若实数x满足（x-1）2=25,则尸6或-4.

【答案】6或-4.

【分析】根据平方根的性质，由（x・l）2=25,得x-l=±5,进而求得％=6或-4.

【解答】解：•・•（厂1）2=25,

Z.A-1=±5.

当％-1=5时，x=6.

当x・1=・5时,x=-4.

综上：x=6或-4.

故答案为：6或-4.

【点评】本题上要考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解次本题的关键.

___7

24.比较大小：房>-(填“>”，或“=").

4

【答案】>.

__7__7

【分析】通过比较属和Tl勺平方的大小可判断生和一的大小.

44

【解答】解：•・•(V5币2=3.5=：=||,(32=需，

,5649

而—>一,

1616

・・・VT53.

故答案为〉.

【点评】本题考查了实数大小比较：任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于o,负实数都小

于o,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.利用平方法比较实数的大小是解决

此题的关键.

25.如图所示，长方体中，AB=BC=4cm,AA'=2cmfE是B'C的中点，一只蚂

蚁从点A出发，沿长方体表面爬到E点，则蚂蚁走的最短路径长为」。儿

【答案】4企.

【分析】做此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，由于两点之间线段最短,

根据勾股定理即可计算.

【解答】解：如图1所示:

由题意得：48=4,BE=BB'+B'£=2+2=4,

在RtZXAAE中，由勾股定理得AE=TAB?+BE?=网+42=4&(cm)；

如图2所示：

由题意得：A'E=A'B'+B'£=4+2=6,AA'=2,

在RI/XA4'E中，由勾股定理得；AE=y/A'E2+AA，2=V62+22=2710Cem)；

V2V10>4V2,

，蚂蚁走的最短路径长为4丘cm.

故答案为：4立.

【点评】本题考查了平面展开■最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾

股定理解答即可.

26.如果，a<0,b<0,那么下列各式①^二招；②@Vab±J^=-b\®(Vab')2

=-ab.正确的有②.(填序号即可)

【答案】②.

【分析】根据二次根式的性质逐一进行化简即可.

【解答】解：V«<0,b<Q,

・•・«,VF没有意义，

故①选项不符合题意：

故②选项符合题意：

③府B土第

=怖土缥

="病，

故③选项不符合题意；

④(Vab)2=ab,

故④选项不符合题意，

综上所述，符合题意的有②,

故答案为；②.

【点评】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

三、解答题

27.王老师给同学们布置了这样一道习题：“计算a+-的值”,其中。为实数，同学们可以

任取一个。的值计算.

（1）若小颖取。=4,求小颖所求得代数式〃+J（Q-1）2的值;

（2）若小明带值计算所求的答案为点请判断小明的答案是否正确，并说明理由.

【答案】（1）7；

（2）小明的答案不正确，理由见解答过程.

【分析】（1）将。=4代入计算即可；

（2）原式分aVl两种情况考虑.

【解答】解：（1）V4>1,

:・a+q（a-1尸=。+|〃-\\=a+a-\=2a-1=2X4-1=8-I=7；

（2）小明的答案不正确，理由是：

原式=a+J（Q-1）2=a+\a-1|,

当“21时，原式=〃+〃・1=24・1=/

a=（舍），

当aVl时，原式=a+l-a=]

・,•不存在数〃，使得a+J（a-l）2的值为*

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质并分类讨论是解题的关键.

x22

28.先化简，再求值：已知x=V5+1,产75-1,求代数式彳+盯+§■的值.

【答案】见试题解答内容

【分析】先计算出x+y,再利用完全平方公式得到原式=劣（x+.y）2,然后利用整体代入的方法计

算.

【解答】解：•.”=百+1,y=V3-1,

.*.x+y=2V3,

+*>+今=\（x+y）2=x（2遮）2=6.

【点评】本题考食了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.二

次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避

免互相干扰.

29.两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理

化因式.例如：遍与y，、2+1与&-1,26+36与2百-3遮等都是互为有理化因式.进行

二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.请回答下列问题：

（1）化简：_V5+V3_.

（2）比较g-jn与旧一旧的大小关系：

（3）计算：<----+-~—+―——+•••+,—）（V2022—1）.

1+V2V2+V3V3+V4V2021+V2022

【答案】（1）V5+V3：

（2）V15-V14<V14-V13；

（3）2023-2V2022.

【分析】（1）仿照阅读材料分母有理化即可；

（2）将分子有理化,比较分母大小即可得答案:

（3）先分母有理化，算出括号内的，再算乘法，最后算加减.

【解答】解：⑴原式=（店券博向=回倔

故答案为：门+百；

（2）住_旧=回