2024北师大版八年级数学上册《认识实数》教案

北师大版（2024）八年级上册数学第二章1认识实数教案

第।课时无理数的发现

一、新课导入设计

【情境导入】

老师：同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们在小学阶段以及七年级阶段都学

过哪些数呢？

学生：在小学我们学过自然数、小数、分数、负数.

学生：在七年级我们还学过有理数.

老师：对，我们在小学学了自然数、小数、分数、负数，在七年级我们把数从小学学过

的正数、零、负数扩充到了有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能

满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.

二、数学文化拓展阅读

无理数的发现

毕达哥拉斯学派是以古希腊哲学家、教学家、天文学家毕达哥拉斯（Py加ag”公，约前

580—约前500）为代表人物的一个学派.毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一

件大事，它导致了第一次数学危机.

毕达哥拉斯学派有一个信条——“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数

或整数之比”.也就是一切现象都可以用有理数去描述.公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的

一个成员希帕索斯（“物加S/S）发现边长为1的正方形的外角线的长不能用整数或隹数之比来

表示.这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌.据说，希帕索斯为此

被投入了大海，他为发现真理而献出了宝贵的生命.但真理是不可战胜的，后来，古希腊人

终于正视了希帕索斯的发现，并进一步给出了证明.

假设边长为1的正方杉的对角线的长可写成两个整数p，q的比肺，q互质），于是有哈产

=2，p2=2q2.

因此，p?是偶数，p是偶数.

于是可设p=2m，那么p2=4m2=2q2»q2=2m2.

这就是说，q2是偶数，q也是偶数，这与“p，q是互质的两个整数”的假设矛盾.

从无理数的发现可以看出，无理数并不“无理”，它和有理数一样，都是现实世界中客

观存在的量的反映.

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教学设计

课题第1课时无理数的发现授课人

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生

的实际背景和引入的必要性.

2•借助计算器探索无理数是无限不循环

素养目标

小数，并从中体会无限逼近的思想.

3•理解无理数的概念，能判断一个数是

否为无理数.

续表

1.无理数的拱索过程.

教学重点

2•了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.

1.无理数概念的建立.

教学难点2•会判断一个数是无理数还是有理数，理解有理数与无

理数的本质区别.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1•有理数的概念是什么？让学生回忆并回答，为本节课

回顾

2•有理数的分类有哪些？的学习提供迁移或类比方法.

【课堂引入】

A-A-B跑，谁先到达终点

通过学生熟悉的故事引起学

B呢？

活动一：创设情境、导入新课生的关注和兴趣，同时也为新

K

课的展开做铺垫.

CB

活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1.通过类比思想，由特殊到一

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师：今天的龟兔赛跑故事谁会般，循序渐进地进行探究，激

取胜？发学生对数学的学习兴趣.

学生计算之后得出结论.

师：它们各用多长时间？

生：龟用50分，兔用32分.

师：如果我们将BC=400米

改成200米结果会怎样？

学生先自己计算，再小组讨

论，但求不出结果.

师：为什么算不出呢？我们如

果设AB=m，m2=130，你

能求出m吗？它是整数吗？

它是分数吗？它是有理数

吗？

学生讨论之后排除整数，因为

整数的平方没有等于130的；

也排除分数，因为分数的平方

是分数，既不是整数也不是分

数，因此它不是有理数.

师：以上的例子说明我们学习

的有理数已经不够用了，在日

常生活中不能用有理数表示

的现象还有很多，现在让我们

动于体验一下吧！

活动1：学生拿出课前准备的

两个边长均为1的正方形彩

纸（颜色不同），把两个正方形

剪拼成一个大正方形，认真讨

论之后，动手剪一剪、拼一拼，

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师生活动：先让学生分组讨论并整

理过程，教师最后用课件呈现探索

过程如下：

反长a面积S

1：a<21<S<4

14:av1.51.96<S<2.25

1.4b：a<1.421.988l<S<2.01(4

1.414,②<1.415i.999396<S<2.00：225

1.4142⑦<1.41431.99996164<S<2.0(X24449

还可以继续算下去吗？a可

能是有限小数吗？

事实上，a=1.41421356…它是一

个无限不循环小数.

师生共同总结：事实上，有理数总

可以用有限小数或无限循环小数

表示.反过来，任何有限小数或无

限循环小数也都是有理数.那些小

是有理数的数，用小数表示是无限

不循环小数，无限不循环小数不是

有理数.

2.引导学生通过动手拼图、观察、

无限不循环小数称为无理数.计算、思考、交流，感受无理数发

现的过程，感知生活中确实存在着

不同于有理数的数，即无理数.

活动三：开放训练、体现应用【典型例题】

例（教材第27页例）下列各

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数中哪些是有理数？哪些是无理

数？

3.14，一10.57,0.101300100

00()1…(相邻两个1之间0的个数

逐次加2).

解：3.14，V，0.57是有理数；

0.101(X)01000001…(相邻两个1

之间()的个数逐次加2)是无理数.

【变式训练】

已知半径为1的圆.

(1)它的周长1是有理数还是无理

数？说说你的理由；

(2)估计1的值(结果精确到十分

位)；

(3)如果结果精确到百分位呢？

解：(1)它的周长1=2万是无理数，

理由如下：2〃是无限不循环小数.

(2)结果精确到十分位，2.7^6.3.

(3)结果精确到百分位，2刀46.28.

师生活动：学生先思考，教师作适

通过教学让学生对无理数有更深

当引导，最后呈现结果.

刻的认识.

续表

教学步骤师生活动设计意图

【课堂检测】

活动四：课堂检测

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1.下列说法正确的是（8）

A­有理数只是有限小数

B.无理数是无限小数

C•无限小数是无理数

是分数

2•在g,3.14159260707007

0007…（相邻两个7之间0的

个数逐次加1），0.6，刀中，

无理数有（8）

A•1个8.2个C.3个

4个

3•把下列各数填在相应的大

括号内：

通过设置当堂检测，进一步让

开122

~2，一1一3|，一§，0，万，学生巩固新知，及时检测学习

效果，做到“堂堂清”.

一3.14.1010010001…（相邻

两个1之间0的个数逐次加

1）.

整数｛—L3|»0…｝;

分数｛一；，亍，—3.1­••｝；

无理数，'1101001000

1…（相邻两个1之间0的个数

逐次加1）…｝.

师生活动：学生进行当堂检

测，完成后，教师进行批阅、

点评、讲解.

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1.课堂小结：

(1)你在本节课中有哪些收

获?哪曲进步？

小结环节的设卷能够让学生

(2)学习本节课后，还存在哪

课堂小结养成自主归纳课堂重点的习

些困惑？

惯，提高学生的学习能力.

2•布置作业：

教材第30页习题2.1第1，2,

3，4，5，6题.

第1课时无理数的发现

1.有理数总可以用有限小数

或无限循环小数表示.反过

来，任何有限小数或无限循环

板书设计提纲挈领，重点突出.

小数也都是有理数.

2•无限不循环小数称为无理

数.

在本节课的教学过程中，

通过拼图、计算等活动，学生

较好地参与到课堂中来，对无

理数的产生有了直观的感受，

大部分学生能够理解无理数

的概念，并能初步判断一个数

教学反思是否为无理数.但在教学中也反思，更进一步提升.

发现一些问题，如部分学生在

利用勾股定理进行计算时不

够熟练，影响了探究活动的进

度；在讲解无理数的概念时，

对于无限不循环小数的理解，

部分学生仍存在困难，需要在

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后续教学中通过更多实例进

一步强化.此外，在时间把控

上，可更加紧凑一些，给学生

更多的时间进行课堂练习和

交流讨论.在今后的教学中，

要注重对学生基础知识的巩

固，加强对学生思维能力的培

养，提高课堂教学的效率和质

量.

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第2课时实数

新课导入设计

【复习导入】

问题1：什么是有理数？有理数怎样分类？

问题2：什么是无理数？

教学设计

课题第2课时实数授课人

1.理解实数的概念，明晰实数与有理数、

无理数的关系，能精准对实数进行分类.

2•熟知在实数范围内，相反数、倒数、

绝对值的意义，并能熟练运用.

素养目标

3•理解有理数的运算法则和运算律在实

数范围内同样适用.

4•掌握实数与数轴上的点一一对应的关

系.

1.实数的概念、分类及性质.

2•理解实数与数轴的点一一对应的美

教学重点系.

3•理解有理数的运算法则和运算律在实

数范围内的应用.

1.理解实数与数轴的点一一对应的关系.

教学难点2•理解有理数的运算法则和运算律在实

数范围内的应用.

授课类型新授课课时

教学设计

教学步骤师生活动设计意图

回顾提问：复习回顾旧知识，为新课的引

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什么是有理数？什么是无理入做铺垫.

数？举例说明.

【课堂引入】

如下图所示，直径为1个单位

长度的圆从原点沿数轴向右

滚动一周，圆上的一点由原点

到达点0'，点0,对应的数是

多少？

・co•一

n1233’4

学生活动：小组合作探究.

教师总结：从图中可以看出

生动形象的实际情境，能唤起

00,的长是这个圆的周长，则

学生的学习兴趣，提高学生的

点0,对应的数是兀

活动一：创设情境、导入新课学习积极性，对比有理数的相

我们知道数轴上的点与有理

关性质，激发学生对无理数、

数不是一一对应的.而不是无

实数相关知识的求知欲.

理数，因此，数轴上的点除了

可以用有理数表示，还可以用

无理数表示，那么这些数是否

也像有理数一样具有相反数、

倒数和绝对值呢？

接下来我们一起来学习结合

有理数与无理数的新数种

——实数.

续表

教学步骤师生活动设计意图

活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1.通过活动方式，不仅对有理

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1•实数的概念和分类数和无理数进行回顾，更激起

活动1:教师随机将写有下面学生学习的兴趣.再次通过活

数的卡片发给学生，两名队长动让学生感知不同的分类标

分别举着写着“有理数”和准，结果会发生变化，从而感

“无理数”的牌子，请学生快受到实数的两种分类方法.

速找自己的组织.其余同学观2•学生根据有理数的学习经

察有无站错队伍的“卧底”.脸，尝试着完成，通过小组交

4

3-14，一§，0.57，0>0.101000流互动，明确答案的合理性，

体会类比思想方法.

1000001…（相邻两个1之间

0的个数逐次加2）.

O有理数集介O无理教集合

教师总结：这些数被分成了两

个不同的群体，这两个组织有

一个共同的名字一实数，从

而引出实数的概念.

实数的定义：____________

和____________统称为实数.

与有理数一样，实数也有正、

负之分.

活动2：学生根据队长手中的

“正数”“负数”牌，重新确

认自己的身份，找到自己应去

的新组织（手持0的同学无法

找到自己的组织）.把上面各

数分别填入下面相应的莫合

内：

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知识整理：无理数和有理数一

样，也有正负之分.

总结：从实数的概念也可乂进

行如下分类：

实数------------

从符号考虑，实数可以分为：

实数

2•实数的相关概念

想一想：a是一个有理数，它

的相反数是，它

的绝对值是，当

aW。时，它的倒数是

.若a是一个实

数呢？

教师引导学生共同总结：在实

数范围内，相反数、倒数、绝

对值的意义和有理数范围内

的相反数、倒数、绝对值的意

义完全一样.

教师继续提问：问忆有理数的

加减乘除运算，大胆猜想一下

在实数范围内能否进行运

算？

教师总结：有理数的运算及运

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算律对实数仍然适用.

在实数运算中，当遇到无理数

且需要求出结果的近似值时，

可以按照所要求的精确度，用

相应的近似有限小数代替无

理数进行计算.例如，求无理

数a=1.4l421356…与7=

3.14159265…的和(结果架留

小数点后两位)，可直接舍去a

和万小数点后第三位以后的

数字得a2l.4143.141，

因此a+^^1.414+3.141=

4.555^4.56.

续表

教学步骤师生活动设计意图

3.实数与数轴上点的关

3.观察说出运算律，让学生再

系

次体验类比思想，同时培养学

面积为2的正方形的边长是

生大胆猜想的意识.也为下节

a，面积为5的正方形的边长

课的学习埋下伏笔，激起学生

是b.

的求知欲和好奇心.

⑴如图，OA=OB，数轴上点

活动二：实践探究、交流新知4•从分类导入，类比有理数，

A对应a，b中的哪个数？

逐步涉及实数的相反数、倒

(2)你能在数轴上找到另一个

数、绝对值、数轴以及相关运

数对应的点吗？

算等知识点，使学生在对比熟

(3)如果将所有有理数都标到

悉的有理数相关知识中，较易

数轴上，那么数轴被填满了

于掌握实数的相关知识点.

吗？

第14页共19页

8

X

1

11O

-2-102

师生活动：学生先见。察图形，

分小组合作探究，教师适时引

导.

师生共同解决以上1'可题：(1)

根据勾股定理，得C)B2=12+

12=2»又因为a2=2，所以点

A对应的数是：a.

(2)如图所示，在数1轴上2个

单位长度处作垂线%i，使垂线

段长度为1，连接C)B，则根

据勾股定理0B?=5，以点0

为圆心OB的长为二台径面弧，

交数轴与点A，则()A=OB，

所以数轴上点A对,应的数就

是b.

-ini)/a

(3)如果将所有有理数都标在

数轴上，数轴上未被填满，在

数轴上还可以表示无理数.

归纳：事实上，每一个实数都

可以用数轴_L的一个点来表

示；反过来，数轴上的每一个

点都表示一个实数.即实数和

数轴上的点是一一对应的.

在数轴上，右边的点表示的数

比左边的点表示的数大.

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【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例1把下列数填入相应

的横线上.

5713

，0.6，一不，3，0.123456

79810111213…(小数部分由

相继的正整数组成).

(1)整数：3；

(2)分数：0.6，

(3)有理数：0.4，一,，3；

(4)无理数：浮」

0.123456798101112

」3…(小数部分由相继的正

整数组成);

5JT—3

(5)实数：亍，0.6，一：，3，

0.123456798101112

」3…(小数部分由相继的正

整数组成).

例2如图，已知一个实数a

在数轴上对应的位置为点A，

则下列说法错误的是(。

11daaii

-3-2-10191

A.a的相反数是一aB.a

的倒数是:

d

C-a的绝对值是aD.a的

第16页共19页

绝绝对对值值是是一一aa

续表

教学步骤师生活动设计意图

活动三：开放训练、体现应用

【变式训练】

实数a，b在数轴上的对应点

的位置如图所示，下列结论中

正确的是(8)对知识进行巩固练习，加深学

11«!]11^!一

-3-1-1n।7i生对知识的理解，以便教师及

A.a>—IR.b>—aC.a时了解学生对本节内容的学

+b<0D.ab>0握情况.

师生活动：学生先思考，教师

作适当引导，最后呈现结果.

【课堂检测】

活动四：课堂检测

L判断下列说法是否正确：

(1)无理数就是无限小数；

(2)绝对值最小的实数是0；

通过设置当堂检测，进一步让

(3)数轴上的每一个点都表示

一个有理数.学生巩固新知，及时检测学生