2024人教版八年级数学上册压轴题训练《等腰三角形三线合一作辅助线模型综合》（含解析）

专题06利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型

目录

典例详解

类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线

类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高

压轴专练

覆,类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线

模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线

直接用“三线合一”，①A用AC;②③8D=OC;④N1=N2.知2推2原贝h

连中线用“三线合一”，若AB=AC,〃O=C&・则4O_LBC,Z1=Z2.

例如图，已如VA3C中，AB-AC,ZBAC-90°,直角的顶点F是〃。中点，两边FE、PF分

别交人8、C4的延长线于点E、F.求证：AE=CF；

F

\\A

C

P

E

【答案】见详解

【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知

识是解题的关键.

先证明VEPB丝VfPA(ASA),得AF=BE,再由已知条件即可求证；

【详解】证明：如图，连接AP,

「A8=ACN8AC=90°,点P是中点,

:.AP±BC,AP=-I3C=PB,

2

ZAPB-90°,NBAP-ZABP-45°,

NEBP=180。-Z4Ap=180。-45。=135。,

ZFAP=N/X4+NBAP=90°+45c=l35°,

:"EBP=NFAP,

NE尸尸=90。，

/.ZEPB+NBPF=ZBPF+ZFPA,

:.ZEPB=Z.FPA^

在△EPB和VfBA中：

/EBP=ZFAP

AP=BP,

NEPB=ZFPA

■.VETO^VFPA(ASA),

*.A卜=B七,

AB=ACt

AC+AF=AB+BE,

即b=AE.

【变式17］如图，在V48C中，AB=AC,过BC的中点。作。石上八8,DF1AC,垂足分别为£、F.

B

D

⑴求证：DE=DFx

⑵若N8/)£=55。，求/K4C的度数.

【答案】⑴见解析

(2)110度

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合

一"，”等边对等角〃，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键.

(1)连接AO,根据"三线合，'得平分/班C,再根据角平分线的性质定理，即可求证；

(2)先根据直角三角形两个锐角互余得出N8=35。，再根据“等边对等角〃得出NC=N8=35。，最后根据

三角形的内角和定理，即可求解.

【详解】(1)证明：连接A。，

AB=AC,D是8C的中点,

平分NB4T,

\-DE±AB,DFJ.AC,

:.DE=DF.

(2)解：：DELAB,

.•."£7)=90°,

­.ZBDE=55°,

.-.ZB=35°,

AI3=AC,

:./C=4=35。，

ZBAC=110°.

【变式1-2］如图，在VA8C中，AB=AC,。是AC的中点，过A作律〃8C,且AE=".求证:

:.NB=/C,

在jRDG和△CD”中,

NB=ZC

、BD=CD

NBDG=NCDH

△BDG出△CO”(ASA),

:.BG=CH.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的

性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键.

【变式1-3］如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AC=BC,。为AB边的中点，点、E、尸分别在射线C4、

BC上，且NED尸=90。，连接即.

⑴如图1，当点E、尸分别在边C4和8C上时，连接CO,

①证明：^ED^CFD.

②直接写出SvEFC，EFD和SAtc的关系是：_

⑵探究：如图2,当点£、尸分别在边C4、8。的延长线上时，5最桢，SVE4和S.c的关系是：_

⑶应用：若4C=6,A£=2,利用上面探究得到的结论，求力的面积.

【答案】(1)①见解析；@—sABC=sEFD+sEFC

(2)—SABC+S.EFC=S.EFD

(3)5或17

【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定

【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角

形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。

(I)①连接CD,叩可证明AAH)且△CFO；②根据看图即可得出结论；

（2）连接CO,即同（1）可证明△AEQ四△CTO,根据八4瓦）也△CFD看图即可得出结论:

（3）根据（1）,（2）中的结论，代入求解即可。

【详解】（I）证明：①如图，连接CO

在RtZXABC中，AC=BC,。为A8边的中点,

回CD_LA8,ZA=N8=45。，

0Z4=ZACD=45°,

QlzMDC是等腰直角三角形，

^AD-CD,

(?1ZDCF=Z4=45\

田NE/万=90°,

0ZEZ)C+ZCDF=90°,

团N4DE+/EDC=90°,

田ZADE=NCDF,

在VAOE和VC。尸中，

Z4=ZDCF

«AD=CD,

ZADE=/CDF

团,AE虑CFZ)(ASA).

②®AAEDgACFD,

团S&AED=S4w

根据图中所示，

ADC=S.EFD+$.EFC>

团。为48边的中点，

回S.w=_5ABC.

问ABC=SEFD+,EFC-

在RtZ\ABC中，AC=BC,。为A8边的中点,

团CD_LA8,NC40=N8=45。，

0ZC4£>=Z4CD=45°z

回zvwx"是等腰直角三角形，

^\AD=CDf

0ZACD=ZBCD=45\

0180°-ZAC/9=180°-N4CO

即NEAD=NFDC,

回㈤）F=90°,

回ZADF+ZEDA-90,

□ZADF+ZFDC=90°,

^ZEDA=ZFDC,

在VAOE和VC。尸中，

ZEAD=/FCD

AD=CD,

/EDA=ZFDC

0^AE£>^_CFD（ASA）.

田△AEDqMFD,

团S八人松=SACFD/

根据图中所示，

0.ACDT°EFC~0EFD，

团力为AB边的中点,

团S.40c=-5ABC.

=

团QS,\BC+S.EFCSEFD,

（3）如（1）中结论，

0AC=6>AE=2,

22

0S,.A„nCr=-24C2=-x6=1'8,

S£rc=|cFCF=^A£：（AC-AE）=1x2x（6-2）=4,

团5sABC=SEFD+SEPC>

X

七E广F〃D=-2SABC-SMEFFCC=2-\3-4=5.

②如（2）中结论，

回AC=6»AE=2，

0S.=-4C2=-X62=18,

<wr22r

SEFC=^CFCE=^AE（AC+AE）=^X2X（6+2）=S,

同5sABC+SEFC=SEFD，

团SEFD=LSABC+SEFC=-X18+8=17

,fcrZy2.crC?

国类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高

1.三线合•性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边

无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三

角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。

2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为宜角三角形，把非中点条件转化为中点

条件，结合全等三角形判定（〃匚）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化

归的重要思想。

例2.在VA4C中，点RE是边6c上的两点.

A

AA

图1图2备用图

⑴如图I,若A3=AC,AD=AE.求证：BD=CE；

⑵如图2,若N8AC=90。，我\=BD,设N8=x。，^CAD=y°.

①猜想）'与x的数量关系，并说明理由；

②在①的条件下，CA=CE,请直接写出/D4E的度数.

【答案】（1）见解析

⑵①x=2y：②45。

【分析】（I）过4作AF/BC于凡根据三线合一得到8斤=。尸，DF=EF,利用线段的和差可得结果;

（2）①根据等边对等角和三角形内角和求出N5AO=NBD4=9（）o-gx。，再根据44。+/0。=90°,>

理可得结果：②根据等边对等角和三角形内角和求出北越=/田=90。-3",再根据

ZZKE=ZZMP+ZC4E-90°,代入化简可得结果.

【详解】（1）解：如图，过A作八/18c于R

0AB=AC,AD=AE,

团8F=C/，DF=EF,

^BF-DF=CF-EF,^BD=CE,

图1

(2)①猜想：x=2y,理由是：

^BA=BD,N8=x°,

回NBAD=NBDA=1(180°-ZB)=90°-1x°,

回NR4C=90°,ZCAD=yG,

团NR4O+NC4O=90°,即90°-；x°+)，。=90°,

整理得：x=2y；

@^CA=CE,

0ZCXE=ZCE4=^(18OO-ZC)=9O°-1ZC,

HZB4D=ZeDA=1(l800-Zfi)=90o-|zfi,

0Z£ME=z^4£>+ZC4E-9O0

=900--Z«+900--ZC-90°

22

=900_g(NB+NC)

=90。-；(180。-"AC)

=900-1(180°-90°)

=45°.

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关

键是利用这些性质找出角的关系.

【变式2-1】已知在VA8C中，AB=AC,且N8AC=a,作等腰AC。，使得AC=CZ）.

mi图2符用图

⑴如图1,若NACD与284c互亲，贝lj〃46=;（用含4的代数式表示）

（2）如图2,若乙4C。与N84C互补，过点C作C"_LA。于点H,求证：CH=；BC；

⑶若VA8C与「.ACZ）的面积相等，请直接写出NACO的度数.（用含。的式子表示）

【答案】⑴45。+：。

(2)见解析

(3)180°a或a

【分析】（I）根据ZACO与/B4C互余得乙亿7）=90。-a,根据等腰三角形两底角相等得？OAC45?-a,

即可求出ND48的度数：

（2）^AELBC,根据A4S证明；AEC0二A/7C,则C〃=CE,由等腰三角形三线合一可得CE=：3C,

因此CH=g8C,问题得证；

（3）由VA4C与A8的面积相等得高相等.情况①：作OE_ZACRE,笈/工AC于F,根据HL可得

DE%NBFA,则可得ZACD=ZBAC；情况②:AS是钝角三角形，作BG_LAC于G,作DN垂直［AC

的延长线7N,根据HL可得，A6Gyaw,则可得N34C=NDCN,由「NDCN与N4CD互补，因此

NBAC与NACQ互补，即可得出结果.

【详解】（1）解：•，“BC中，AB=AC,且N8AC=a,

N4CB=N/WC=，（180。-a）=90。」。

22

.ZACD+NBAC=90。,ZBAC=a,

...NAC/)=90。-NB4C=90°-a,

AC=CD,

\?CAD?D45?-a,

2

?DAB1DAC2BAC

=45。」。；

2

故答案为：45。一Ja；

（2）证明：如图，过人点作AE_L8C于E点,

V4BC中，AB=AC,AELBC,

ZAEC=90。,EC=-BC,

2

AC。中，CA=CD,CH±AD,

NAHC=90°,ZACH=ZDCH=；ZACD,

ZAEC=ZAHC,

AB=AC,^BAC=a,

\?ACB?BJ([80??BAC)

=；(180。—a)

=90°--a,

2

ZACD+ZBAC=180°,

ZACD=180°-Z8AC=180°-a,

\?ACHg?ACO!(180?a)=90?5，

:.ZACB=^ACH.

在aACE和，AC”中，

ZAEC=NAHC

,乙ACB=tACH,

AC=AC

%.ACEgACH,

田CH=CE,

^CH=-BC；

2

(3)解：①如图，作OE1AC干E，BFJ.AC于F,

团VA3C与・.AC。的面积相等，

中DE=BF,

又RNOEC=NM4=90。，DC=A8

氏DE(WYBFA,

团NDCE=N84尸，

即ZACD=^BAC,

NBAC=a,

/.ZACD=a；

②如图，作8GJ.AC于G,作DV垂直于AC的延长线于N,

团AB=AC,AC=CD,

团AB=C£>,

团VABC与,.ACD的面积相等，

中BG=DN,

区ABGACDN,

团4AG=N"7V,

ZACD+ZDCN=\SO0,

团ZACO+N班C=180。，

£BAC=a,

\?ACD180?a,

综上，4。。=2或180。-0.

【点睹】本题主要考查了等腰三隹形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，.

熟练掌握以上知识是解题的关键.

【变式2-2］在VABC中，AB=AC,过点C作射线C*,使NAC9=4CB（点与点B在真线AC的异

侧）点。是射线ar上一动点（不与点。重合），点E在线段8c上，且皿正+ZA8=90°.

图I图2

⑴如图I,当点E与点。重合时，A。与C9的位置关系是_,若BC=a,则CD的长为「（用含。的式子

表示）

⑵如图2,当点E与点C不重合时，连接OE.

①用等式表示NR4C与NZME之间的数量关系，并证明;

②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴互相垂直；

(2)①N朋。=2N/M£,证明见解析；②BE=CD+DE,证明见解析

【分析】(1)根据三角形内角和定理可得AD与C&的位置关系是互相垂直，过点A作/•于点根

据等腰三角形性质得到CM=BM=\BC=\a,利用AAS证明一ACZ)经MCM,根据全等三免形性质即可

22

得出CZ)=CM='a；

2

(2)当点E与点C不重合时，①过点4作AM8c于点M、ANJ.C&于点M利用AAS证明.ACDg一ACM,

根据全等三角形性质即可得到ZBAC=2ND4E:

②在"C上截取"“一8,连接"，利用SASiiE明ZM。"今"C£>,根据全等二角形性质得到"二八£>,

/胡/=NC4。，根据角的和差得至|JNFAE=ND4E,再利用SAS证明△必月名△D4K,根据全等三角形性

质及线段和差即可得到BE=CO+O£.

【详解】(1)解：当点E与点C重合时，ZmE=ZDAC,

回/04£+448=90°,

0ZZMC+ZACD=9O°,

0Z4ZX7=9O°,

团ADJ_CB',

即AD与CB'的位置关系是互相垂直，

若BC=a,过点4作AW_L8C于点M,如图:

则ZAMC=9(r=ZADC,

团AB=4C,

团CM=/3M」4C=L,

22

在4八8与△ACW中,

ZADC=NAMC

/AC。=/ACM

AC=AC

回,ACD^_ACM（AAS）,

^CD=CM=-a,

2

即CD的长为go,

故答案为：互相垂直；（a：

2

（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示N84。与ND4E之间的数量关系是：ZBAC2ZZME,

证明如下：

过点4作AA/J.BC广点M、AN工CB'1点、N,如图：

则NAMC=N/WC=90。，

团NCW+ZAC夕=90。，

0Zn4£+ZACD=9(F,

即/D4E+NAC8'=90。，

^ZDAE=Z.CAN,

团ZBAC=2ZG4M=24BAM,

在△ACV与△ACW中，

ZANC=ZAMC

-4ACN=NACM,

AC=AC

巴ACN-ACM(AAS),

0ZCW=ZC4M,

^ZBAC=2ZCAM=2ZCAN=2ZDAE；

②用等式表示线段3七，CD,Z)E之间的量关系是：BE=CD+DE,证明如卜:

在8c上截取=连接A/，如图：

团48=AC,

团4=乙4。8,

团NAC8'=NAC3,

mZB=ZACB,=ZACD,

在△AB尸和4c。中，

AH=AC

</B=NCD,

BF=CD

区A£井口ACO(SAS),

^AF=AD,NBAF=NCAD,

回ZBAF+ZCAE=ZCAD+ZC4E=ZDAE,

由①知：/BAC=2ZDAE,

即^DAE=-BAC,

2

团NBAF+ZCAE=-N8AC,

2

0/FAE=N3AC-(4BAF+ZC4E)=g4BAC,

^ZFAE=ZDAE,

在.E4E和,.DA石中，

AF=AD

^FAE=ZDAE,

AE=AE

团,.E4E@ZME(SAS),

NFE=DE,

@BE=FE+BF=CD+DE.

压轴专练

一、单选题

1.如图，VA8C中，AB=AC,。是8c中点，下列结论中不正确的是（）

C.AD1BCD.AB=2BD

【答案】。

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合•的性质可得AD/BC,A。平分

“BAC,从而判断B与C正确：由等腰三角形等边对等角的性质可判断4正确；根据已知条件不能判断。

正确.

【详解】解：E1VA8C中，AB=AC,。是3c中点

回人。_L4C,NB=NC,ZBAD=ZCADf即AO平分Z8AC,

故A、B、C三项正确，。不正确.

故选:D.

2.如图，已知VA4C的面积为12,3P平分/A4C,且于点尸，则AAPC的面积是（）

A.1()B.8C.6D.4

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，

作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键.延长AP交AC于E，根据已知条件证得j.AB心，.及沪，根据全

等二角形的性质得到AP=PE,得出S△48夕=S^EBP.S&CP=S△或°,推［出SplfC=—SABC.

【详解】解：延长/4P交3CJE,

BP平分/ABC,

:&BP=NEBP,

APIBP,

；.ZAPB=/EPB=90。,

在一A3P和中，

NABP=NEBP

BP=BP,

/APB=NEPB

..△AB侬△EBP(ASA),

：.AP=PE,

5ABP=SEBP，S&ACP=S&ECP»

•••Sp友=；SAA..=gxl2=6,

故选：C.

3.如图，在等腰VABC中,AB=AC,N8=50。，点D为边3。的中点，点七在边48上，Z4ED=69°.若

点?是等腰VA8C•的腰AC上的一点，当△石加为等腰三角形时，则N"阴的度数是()

A.69°B.100°C.142°D.100。或142。

【答案】。

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，过。作OH_LAC,DGLAB,易证

RtDEG^RtDP2H,Rt.DEG^R\.：DPXH,再根据四边形内角和360。即可得到答案.

【详解】解:连接AO,

团AB=AGN8=500,

0ZBAC=180°-50°-50°=80°,

团点，是等腰的腰AC上的一点，AD-AC,。为〃。的中点，

团NR4O=NC4。，

过D作O//J.AC,DGLAI3,,

@DG=DH,

在RtVOEG与RtDRH中，

DG=DH

DE=DP,'

回RiDEG^RtO[”（HL）,

回NA[Q=/A£Q=69。，

团NR4C=80。，

0NEDR=360°-ZAED-ZAP.D-NBAC=360°-69°-69°-80°=l42°,

同理可得RJOEG丝Rt_O6〃（HL）

田NEDG=NP>DH,

0NED匕=NGDH=360°-80°-90°-90°=100°,

综上，/EDP的度数是100°或142。，

故选；D.

4.如图，在VA8C中，AB=AC,AD平分N84C,DELAB,DFLAC,E,尸为垂足，则下列结论：(1)

BD=DC；(2)NK4D=NC4。；(3)ADJ.BC；(4)DE=DF,其中正确的个数有()

A.1个8.2个C.3个O.4个

【答案】。

【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的

性质可判断(I)(2)(3),根据角平分线的性质定理可判断(4).

【详解】解：-AB=AC,A。平分/班。，

BD=DC,ZBAD=ZCAD,AD1BC,

故(1)(2)(3)正确，

•；4O平分NMC,

：.DEA.AB,DF1AC,

：DE=DF

故(4)正确，

综上，一共有4个正确，

故选：D

二、填空题

5.如图，在VA5c中，A8=ACA。是边4c上的中线.若NK4C=108。，则N8AO的度数为.

【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，因为A8=AC,A。是边3C上的中线，所以VA8C是等腰三角

形，AO平分N84C,结合NBAC=108。，即可作答.

【详解】解；团在VABC中，A〃=4C,A£＞是边BC上的中线,

团VA8C是等腰三角形，A。平分/84C,

团447=108。，

回4A。」4/9=54。

2

故答案为:54。

6.如图，在VA8C中，AO是3c边上的中线，作跖_LAO,交AD的延长线于点E.已知AC=S,4E=9,

那么AD=.

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过作辅助线，构造全等三角形

是解题关键.过点C作CFLAE于点F,先证出BD喀CDF,根据全等三角形的性质可得OE=OF,再

根据等腰三角形的三线合一可得4尸=。尸，然后根据线段的和差求解即可得.

【详解】解：如图，过点。作。/_14£广点产，

@ZC/D=90°,

0BE±AD,

0ZE=9O°,

团在VA4c中，40是4c边上的中线,

^BD=CD,

在V8DE和VC。/中，

ZE=ZCFD=90°

NBDE=ZCDF,

BD=CD

团，8DE丝.CDRAAS),

国DE=DF,

又l?AC=CD,CF1AE,

^AF=DF,

田DE=DF=AF,

^AF+DF+DE=AE=9,

团DE=DF=AF=3,

回AD=AF+DF=6,

故答案为:6.

7.如图，在RtAABC中，AB=BC,47=2,把一块含30。角的三角板DE"的直角顶点。放在AC的中

点上（两直角边。石，。尸分别与8C,48相交），则三角板力）与V4BC重叠部分的面积是.

CDA

【答案】1/0.5

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，由“ASA〃可证△ADV和,全

等，可得小，=5睥，即可求解.

【详解】解例如图，连接8。，

回A8=8C,AC=2,NA8C=9G。,点。是AC的中点,

^BD=AD=-AC=\ZCBD=ZA=45°,

2f

0BD14C,

0Z4£>B=ZEDF=9O°,

DZBDM=ZADN,

在△ADN和BZW中，

NBDM=ZADN

■BD=AD,

NBDM=NADN

回一AON言二BDM(ASA),

团SADN=SBQM»

团S四边形BMDN=SABO=/X1X1=/,

故答案：J.

8.如图，在VA8C中，4。是8c边上的高，过点A作AE〃3C,并且使AE=AC,尸是AC上一点，连接

EF,使砂=A3,EF交AB,4。于G,H两点，若5CD=2BD,则《哗=

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关

键.延长6c至点M,使CA7=A/，证明二EAbSMCMeAS),推出所==AAf,S曰尸=SACM,由等腰

3SAf{CSARCBC7

角形三线合一的性质，可得BD=MD,结合58=25£>,推出CM=]4C,可得——=一"=---=-

s语S刈CM3

【详解】解：如图，延长区C至点M,使C"=A尸，

\..AE//BC,

B/TD\C\M

ZEAF=ZACM,

在尸和zMCM中,

AE=AC

Z.EAF=/ACM,

AF=CM

fAF^ACM(SAS),

EF=AM,S曰尸=SACM,

EF=AB、

「•AM=AB,

AO是BC边上的高，

.1.ADJ.BC,

BD=MD,

5CD=2BD,

2

ACD=-BD,=-BC,

55+27

23353

CM=DM-CD=BD一一BD=-BD=-x-BC=-BC,

55577

rJ

°ABC_°ABCBC_BC—

.'SAEFSACM

CM1BC3，

7

故答案为：-7.

3

三、解答题

9.如图，在VABC中，AB的垂直平分线所交AC于点E,交AS于点尸，。为线段CE的中点，BE=AC.

(2)若N3AC=72。，则NC4O的度数为.

【答案】(1)见解析

(2)18°

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质，等

腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键.

（1）根据线段垂直平分线的性质得出AE=8石，从而可得AE=AC,然后根据等腰三角形的三线合一性质

即可得证：

（2）根据等边对等角可得NC=ZAEC,根据三角形外珀的性质可得NC=ZA£C=245,然后

根据三角形的内角和定理求解即可.

【详解】（1）证明：连接4七，

AB的垂直平分线EF交BC于点、E，

:.AE=BE,

BE=AC,

AE—AC，

。为线段CE的中点，

AD±BC；

(2)解：:AE=BE,

:.ZB=ZBAE,

ZAEC=NB+/BAE=2N8,

由(1)知，AE=AC,

.*.ZC=ZA£C=2ZB,

^BAC=72°,ZBAC+ZB+ZC=180°,

.•"=36。，ZC=72°,

•.AD工BC,

.•.zC4£>=90°-ZC=18°.

故答案为：18。.

10.如图，点。、E在VA8C的边上，AB=AC,AD=AE.

BDEC

⑴求证：BD=CE：

（2）若5D=人力，ZB=ZDAE，求N84C的度数.

【答案】（I）见解析

⑵N8AC=108。

【分析】（1）作AF工BC于点F,利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF.DF=律，相减后即可得到

正确的结论.

（2）由等腰三角形三线合一的性质得到NfiAF=NC4F,ZDAF=ZEAF,即可得至ljNBAD=NC4E,设

ZB=x°,根据三角形的内角和定理可得x+x+3x=18O,解题即可.

【详解】（1）过点A作A/^BC尸凡

0AB—AC,AD—AE.

田BF=CF,DF=EF,

^BD=CE.

(2)^AB=AC.AD=AE,AF1BC,

^ZBAF=ZCAF,^DAF=ZEAF^/B=NC,

^ZBAD=^CAE,

^ZBAD=ZB,

设/B=x°,jJiiJZBAD=ZC4E=ZC=ZDAE=,

0ZBAC=3x°,

根据三角形的内角和可得x+x+3x=180,

解得：x=36,

0Z5AC=108°,

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，方程思想，熟练掌握等腰三角形的三线合一

是解答此题的关键.

11.如图.已知VABC中，NACB=90。，点。是边上一点.连结CO,过点。作。石工CO,交BC于

点E,且有AC=AO=CE.求证:

（2）CD=2DE.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查全等三角形判定及性质，直角三角形性质，等腰三角形的性质，这些知识点的掌握是正

确解题的关键.

（1）由垂直的定义得到NCDE=90°,再根据N4C8=90。，结合直角三角形的性质即可证明结论：

（2）取CO的中点R连结A尸，则C尸=0产=；8,由等腰三角形的性质得到NAFC=NCDE=90。，由

（1）知NAC0=NCE£＞：证明A4bMCED（AAS）,即可证明结论.

【详解】（1）证明：团448=90。，

0Z4CD+ZBCD=9O°,

0ZCDE=9O°,

0ZCED+Z5CD=90°,

（?]Z4CD=ZC£D：

（2）证明：取CO的中点尸，连结A/，则。'=。/=g。，

.-.Z4FC=ZCDE=90°,

rh(1)知乙4CD=NCa)：

AC=CE,

...ACF^CED(AAS),

:.CF=ED,

:.CD=2DE.

12.如图1,在RlZUBC中，ZC=90°,AC=8C,点尸是斜边A4的中点，点D,E分别在边AC,8C上,

（2）若点。，E分别在边八CC3的延长线上，如图2,其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；

（3）在（I）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出"EB的段数（不用说理）；

若不能，请说明理由.

【答案】（1）见解析

⑵成立，见解析

（3）能成为等腰三角形，此时APEB的度数为22.5。或67.5。或90°或45°

［分析X1）连接PC,根据等腰直角三角形的性质可得ZDCP=45。=,从而得到CP=B尸，再由PD_LPE,

可得ZDPC=/EPB,川证得ADPC当AEPB,即可求证：

（2）连接PC,根据等腰史角三角形的性质可得NECP=45o=ZABC=4=NACP,从而得到CP=AP,

再由ePDJ_PE,bJ_AB,可得ZAPD=NCPE,可证得即可；

（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解.

【详解】（1）明团连接尸C,

0ZA=ZB=45°,

田。为斜边A"的中点,

团CPJ_A8,

0ZDCP=45°=Z5,

⑦CP=BP,

Sim±PE,

0"PC+NCPE=Z.CPE+/EPB=90°,

⑦ZDPC=NEPB,

在△OPC和△EP8中，

NDCP=/B

4PC=PB,

4DPC=NEPB

[?]ADPC^/\EPB(ASA),

^m=PE\

(2)解：PD=PE仍成立,理由如下：

连接CP,

0ZC=9O°,AC=BC,

0Z4=ZABC=45°,

田。为斜边AA的中点，

团CP_LA4,

0ZECP=450=ZABC=ZA=AACP,

^CP=AP,

又l?P£>_LP£,CP_LA3,

^ZDPE=ZCPA=90°,

0ZDPE+NCPD=/CPA+/CPD,

(7]ZAPD=ZCPE,

在△APO和△(?庄中,

NPAD=ZPCE

<PC=PA,

ZAPD=NCPE

0/\APD^ACPE（ASA）,

田PD=PE；

（3）解：APBE能成为等腰三角形，

①当点E在C8的延长线上时，则ZE=ZBPE,

又RZ£+/BPE=ZABC=45°,

0ZPE5=22.5°；

A

k

②当点E在C8上时，则/PE8=NBPE=1（|80°-45°）=67.5°；

:b\

cEB

③当EP=EB时,则N8=N8PE=45。，

0"EB=1800-NB-NBPE=90°；

A

4K

LEB

④当b=/孙点E和C重合，

0ZPEfi=ZB=45°；

。⑹B

综上所述，能成为等腰三角形，NPEB的度数为22.5。或67.5。或90。或45。.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全

等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键.

13.已知V48c中，AB=AC,BC=6.点〃从点8出发沿射线班移动，同时点Q从点。出发沿线段AC的

⑵如图②，当点P为A8的中点时，求。。的长；

(3)如图③，过点P作PE上BC于点E,在点〃从点4向点A移动的过程中，线段OE的长度是否保持不变？

若保持不变，请求出0E的长度，若改变，请说明理由.

【答案】(I)见解析

呜

(3)线段。E的长度保持不变，3

【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等.熟练掌握全

等三角形的判定和性质是解题的关键.

(1)根据题意得出BP=CQ，根据等边对•等角得出N3=NAa,根据平行线的性质得出/尸厂3=NAC3,

推得“=N/7话，根据等角对等边得出8。=。，推得G=C2,根据全等三角形的判定定理即可证明；

(2)过户点作刊"AC交4c于尸，先推得尸C=gAC=3,再根据全等三角形的性质得出CO=OP,即可

求解；

(3)过点P点作P尸〃AC交于尸，根据等腰三角形三线合一的性质得出的=所，根据全等三角形的性

质得出CD=O产，即可推得。E=,BC=3.

2

【详解】(1)证明：团点P、。移动的速度相同,

[38P=CQ,

团八B=AC,

团4=NACB.

团尸尸〃AQ,

中"FB=ZACB

©ZB=NPFB,

05P=fP，

团FP=