2024人教版八年级数学上册压轴题训练《整式运算含参数、新定义型问题综合》（含解析）

专题n整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型

目录

典例详解

类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值

类型二、利用单项式乘多项式求字母的值

类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值

类型四、完全平方式中的字母参数问题

类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题

类型六、整式的运算中的新定义型问题

压轴专练

型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值

1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2f*3*=6.件得，〃+2=5,

求〃尸3。

2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a*28=6ab,代入片1、62,得结果

12o

例I.已知单项式与-g/y的积为/"V,则〃的值为（）

A.m=-2,〃=4B.=〃二4

C.m=-2,〃=3D.〃?=-18,n=3

【答案】I

【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数暴"底数不变，指数相加〃），熟练掌握单项式乘

法的运算规则是解题关键.先依据单项式乘法法则计算6孙2与-;V），的枳，再通过对比积与〃的形式,

确定独、〃的值.

【详解】解：单项式相乘，系数相乘，同底数鼎分别相乘（底数不变，指数相加）

2

/.6A3,2x——沁xy卜H-升（Axx'jx(yxy)

尸,XXX3=P'3f,y2xy=y2''=y

・'.6叶"[-$?)=一2"

乂•1-6孙2xf-1=〃比"),3

.'.tn=-2,〃=4

故选：A.

【变式1T】若产"%"价=曲,则〃7+〃的值为（）

A.4B.2C.3D.-3

【答案】C

【分析】本题考查单项式乘单项式，找到关键信息：等式两边的同底数累相等，且底数分别为〃和力，需保

证对应底数的指数相等；以及通过指数相等建立方程的等量关系思想.

根据单项式乘法法则将所给式子的左边化简，进而结合右边建立方程组，解方程组即可求得答案.

【详解】解:团a"“"+2/，r产=。5巩

回q“+l+2“_£”+2+2“=。5小

〃z+1+2"-1=5

削，

■+2+2〃=8

tn-1

解得：r，

n=2

团/〃+〃=1+2=3.

故选：C.

【变式1-2】设卜小严2＞（上力=力3,则/的值为（）

A.1B.—1C.3D.-3

【答案】B

【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值

【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，

（小、"2）.+2+2=/吁勺…,

25

0（r-'r）.（xv）=xy,

06/〃-1=5,n+4=3,

解得：m=\,

=(-])'=-1,

故选:B.

【变式1-3］已知-2/向产与4尸寸的积与_4/),2是同类项.

⑴求〃5的值，

(2)先化简，再求值：Snr'n'(-3/z)2+(6〃〃?)-•-inn3-(-4/??)2.

【答案】(1)帆=2,n=-\

(2)-7/nV,56

【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值

【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：

(1)先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出-2/巾+12”.4/寸=一8/—),21，再由同类项的定义得

到3m+\-3=4,2〃+4=2,解之即可得到答案;

(2)先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可.

【详解】⑴解:-2户川产y婷寸=-8户"3产”,

闭一2d"广与4不,4的积与-4dy2是同类项，

田-M研^产x与-4vy是同类项，

03/17+1-3=4,2n+4=2,

0/?/=2,/?=-1：

(2)解：5m3n­(―3n)2+(6mn)~•(-mn)-mn3♦(-4m)2

=5rnn-9n2+36〃//•(一〃〃?)-nut'-16m2

=45〃W-36〃?，'-16〃/〃'

=-Hn^n,

当〃?=2,〃=—1时，原式=-7x2'x(-1J=56.

【答案】B

【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值

【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算.先把原式变形为幺+(—a+b)x+而=£+5x-6,根据当x为

任意数时该等式都成立，可得-。+6=5,"=-6,然后代入，即可求解.

【详解】解：X(X-«)+/J(X+«)=X2+5x-6,

0A?+(-a+b)x+ab=x2+5x-6,

同足¥-々)+/，(工+4)=¥+5工一6,当x为任意数时该等式都成立，

^-a+b=5,ab=-6,

=ab-a+ab+b

=2cib-a+b

=2x(-6)+5

=-7

故选：B

【变式2-3］若—。)+3%一2/?=丁+5工一6对任意x都成立，则〃+力=.

【答案】1

【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值

【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.利用单项式乘多项式的

法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可.

【详解】解：x(x2-t?)+3x-2Z>=x3+5x-6,

x3-ax-¥3x-2b=x'+5x-6,

x3-¥(-ci+3)x-2b=x3+5x-6,

•••原式子对任意工都成立，

-a+3=5,-2b=-6,

解得：a=-2,b=3,

:.a+b=-2+3=I.

故答案为：1.

型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值

1.合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如a+a)(x+

2)=x2+(a+2)x+2a,不含一次项则a+2=0,得。=-2。

2.通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2r+加)。-

3)不含常数项，常数项-3m=0,得加=0。

例3.若("2乂2/+以+冲的展开式中不含x的二次项和一次项，求小的值.

【答案】a=4；8=8

【分析】本题考查的是多项式的乘法运算的结果中不含某项，先计算多项式的乘法，合并同类项，再根据

不含某项建立方程求解即可.

【详解】解：J®St=2x3+ax'+bx-4x2-lax-2b=2xy+(a-4)x2+(b-2a)x-2b,

v(x-2)(2x2+ax+b)的展开式中不含x的二次项和一次项，

二.。—4=0,。—2a=0,

解得a=4,〃=8.

【变式3-1]已知关于丫的代数式(*+2,〃)(丁—x+；〃)中不含T项与一项.

(1)求"?，〃的值；

⑵求代数式〃产，产6的值.

1

m=—

【答案】⑴彳2

n=2

⑵2

【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题

的美键.

2m-1=0

(1)利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题总得出I。八，即可得出m,n的值；

-a-2m=0

[2

(2)将机，〃的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可.

【详解】(I)解：(x+2m)卜-x+g〃)

=x3-X2+—m*+2nvr-2mx+mn

2

2

xx3+（2/72-1）X+,

同不含X项与V项，

2m-1=0

0SI八，

-n-2m=0

2

I

一,in=—

解得：2；

n=2

（2）“期x2^=,„2025・〃2O25.〃=（用〃丫必.〃=（*2）2025X2=2.

【变式3-2］多项式A=d+“a—3，B=2x+*A与B的乘积中不含丁项，且常数项是一6.

⑴试确定〃?和〃的值；

⑵利用（1）的结果，求++（2〃）的值.

【答案】（1）〃?=一1，n=2

（2）-5m+n,7

【分析】题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

（1）两多项式相乘后，利用多项式乘多项式法则计算，由乘积中的展开式中，不含炉项，且常数项是-6,

确定出〃?和〃的值：

（2）原式化简后代入计算即可求出值.

【详解】（1）解：（/+如一3）（2工+〃）

=2x3+Invc-6x+nx1+ninx-3〃

=2r'+（+〃）x?+（nm-6）x—3〃

回不含/项，且常数项是-6,

02m+n=0»—3/?=-6，

解得：m=-1,n=2；

（2）解：[（5川-〃）‘一（5m+〃）（5加-〃）]+（2〃）

=[25〃P-1Omn+n2-（25〃/-〃

=[25/7/+ir-25nr+]+（2〃）

二(-10〃困+2〃2)+(2〃)

=-5in+n,

当〃?=一1,〃=2时，原式=-5x(-l)+2=7.

b132x+l1…，，A+ix-1

【变式3-3】定义=ad-bc,如=lx4-2x3=-2.己知A=2/为常数)，B=-

d24IIX-\x+1

⑴若3=4,求x的值；

⑵若A的代数式中不含x的一次项，且x=l,求A+3的值；

(3)若A中的〃满足2x2/1=22,且A=8+2,求8/一4x+3的值.

【答案】(l)x=l

(2)9

(3)5

【分析】(1)根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可；

(2)先化简A,令其代数式中含、的一次项的系数为0,结合x=l,求A+A的值即可;

(3)根据2*2'用=22=2"+2,得到M+2=2,结合定义，已知求解即可.

【详解】⑴解：B="

x-\x+\

=(x+l)2-(x-l)2=X2+2X+\-X2+2X-\=4X

团8=4,

04x=4,

0x=1：

2x+\1

(2)解：A=

nx-12A-

=2¥(2x+l)-lx(77x-l)=4,v2+2x-av+l=4x2+(2-//)x+l

(M的代数式中不含x的一次项,

团2—〃=0,

2x+l1

A==4x2+1

tvc-\2.v

x+\x-1

团8==4x,

x-1x+1

团A+8=4/+l+4x=(2x+l)’,

(3x=l时，A+4=(2+l『=9.

(3)解:02x2n+,=22=2B-2>

0〃+2=2,

0/?=0»

04=4x2+2x+l,

团A=4+2,B=4x

团4f+2X+1=4X+2，

团43-2x=l,

08?-4x=2，

08?-4x+3=5.

【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，完全平方公式

的应用，熟练掌握定义是解题的关键.

多型四、完全平方式中的字母参数问题

1.缺项补全求参数：形如V+◎+9为完全平方式，因94，故ai±2・x・3,得所±6,利用中间

项是两数积的2倍。

2.配方确定参数范围：如f+2A+/〃是完全平方式，配方为（x+l）2+[m-i）,需“L1=0,Blzn=lo

例4.（24-25八年级上•吉林•期末）若式子/+履+[6是一个完全平方式，则上.

【答案】±8

【知识点】求完全平方式中的字母系数

【分析】本题主要考杳了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘枳二倍

项即可确定。的值.

【详解】解：0x2+A^+16=x2±2x4x+42,

0^r=±2x4x,

解得&=±8.

故答案为：±8.

【变式4-1]（24-25八年级上•吉林松原•期末）若f_i2x+A是一个完全平方式，则常数&的值为.

【答案】36

【知识点】求完全平方式中的字母系数

【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可.

【详解】解：团/一121+2是一个完全平方式，

团比=6?=36

故答案为：36.

2

【变式4-2］如果关于x的多项式X+（W+1）X+4是完全平方式，那么相的值为.

【答案】3或一5/—5或3

【知识点】求完全平方式中的字母系数

【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解

即可.

【详解】解：＜+（/??+l）x+4=x2+（???+l）x+22,

0/w+l=±2x1x2,

解得：〃2=3或加=-5,

故答案为：3或-5.

【变式4-3］（24-25八年级上•重庆万州•期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式16f+M+1是某个

多项式的平方，则M为.

【答案】±8x或64./

【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数

【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.利用完全平方公式的结构特征

判断即可求出M.

【详解】解：®016x2+M+i=（4x）2+M+l2=（4,v±l）2,

回AY=±2•4JC•1=±8x,

②若M+2x8/xl+1?=（8/+）中M是多项式的平方，

则M=（8/了=64/；

故答案为：±8x或64f.

型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题

1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘枳表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某

面积式为f+（a-2）y+3,与y无关则。-2=0,得

2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如（x+m）G+2）=W+

（m+2）x+2m,与x无关则m+2=0,得*-2。

例5.如图，某城市广场是一个长方形，长为（4。+3〃）米，宽为（3。+43米.为了丰富市民文化生活，政府

计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分

别为〃米、〃米（如图所示）.

⑴求音乐喷泉池的占地面积（用含。，〃的式子表示）.

⑵若。，力满足（。-3）2+卜-2|=0,求该广场音乐喷泉的面枳S.

（3）在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖.若市民活动区域每平米铺设地砖的

费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用

【答案】⑴音乐喷泉池的占地面积为（6/+13必+6从）nf

（2）156m2

⑶市民活动区域铺设地砖的费用为1200元

【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.

（1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可；

（2）根据非负数的性质，得出。=3力=2,代入（1）的式子进行计算即可求解；

（2）先根据题意列式求出市民活劭区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可，将。=31=2,代

入即可求解.

【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为

（船+初一2〃）（3〃+4/，一劝）=（2〃+3匕）（初+加）=&/+13而+6//.

答：音乐喷泉池的占地面积为（6/+13他+6从）0<

（2）解：（a-3）2+|f=0,

0«-3=O,Z?—2=0

解得：a=3,b=2,

回S=6/+13a〃+6〃=6x32+13x3x2+6x22=54+78+24=156

（3）解：由题可得市民活动区域的面积为

（4a+3Z?）（3。+4〃）一（6/+13ab+6/r）

=12/+25ab+12/r-6«2-13ab-6必

=+\2ab+6b2.

•/市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，

.•.80x（6/+12他+6必）=480/+960他+480尸.

当〃=3,人=2时，

480片+960ab+480必=480x32+960x3x2+480x22=12000

答：市民活动区域铺设地砖的费用为12000元.

【变式5-1］如图，一个小长方形的长为々+〃，宽为b,将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重

叠）.

a+b

blI

⑴用含〃、〃的代数式表示大长方形的长工=,宽丁=；（结果写成最简形式）

⑵用含。、〃的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式）

⑶若〃=2々，大长方形面枳为5；,大长方形中阴影部分为S2,求去的值.

【答案】（1）4+48,。+2〃；

⑵大长方形面积：a2+6ah+Sb2：阴影部分的面枳：a2+lb2

（3）5

【分析】此题主要考查了整式运算的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解本题的关键.

（1）利用大长方形的长、宽分别包含的小长方形的长和宽，即可求解；

（2）利用（1）结果求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解;

（3）写出图中阴影部分的面积与大长方形的面积，b=2a代入,即可求解.

【详解】（1）解：大长方形的长：x=a+b+3b=a+4b,

宽：y=a+b+b=a+2b,

故答案为：a+4b,a+孙

（2）大长方形面积：

（"46加+如一4+皿”加昉2一〃+6加幼2,

阴影部分的面积：

a2+&心+勖2匕）

=a'+6ab+Sb'-6ah-6b?

="27,2；

（3）当人=2a时，

22222

由（2）得S1=/+640+8〃，=/+6aQ+gxQ”）？=45〃，S2=a+2b=a+2x（2a）=9a

S45a2v

—i=—r-=?.

S?9a2

【变式5-2】两个边长分别为。升〃的正方形如图放置（图1）,其未直合部分（阴影）面积为S；若再在

图I中大正方形的右下角摆放一个边长为〃的小正方形（如图2）,两个小正方形叠合部分（阴影）面积为邑.

⑴用含。，。的代数式分别表示5、S2；

（2）若a+〃=15,"=20,求$+§2的值：

⑶当£+$2=30时，求出图3中阴影部分的面积S3.

2

【答案】⑴£=/一/，s2=2b-ab

(2)165

⑶15

【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进

行推导计算.

(1)根据正方形的面积之间的关系，即可用含〃、〃的代数式分别表示s、s2；

(2)根据5+$2=/-从+2从一而=/+〃一而，将。+。=15,昉=20,代入进行计算即可;

(3)根据S3=g(/+〃_a〃)，S1+S2=/+〃-6疝=30,即可得到阴影部分的面积5.

22

【详解】(1)解：由图可得,Sx=a-b,

22

S2=a-a(a-b)-b(a-b)-b(a-b)=2b-ab；

22222

(2)解：S1+S2=a-h+2b-ab=a+h-ab,

0a+Z?=15,ab=20,

222

^Sl+S2=a+b-ab=(a+b)-3ab=225-3x20=\65i

(3)解：由图可得，S.=a2+b2-^b(a+b)-^a2=^(a2+b2-ab),

团Si+S2=a2+b'-ab=30,

05,=—x30=15.

2

【变式5-3］有边长分别为。，。的两种正方形(如图1)卡片若干.

⑴将两种正方形R片各一张按如图2放置，用含m〃的代数式表示阴影部分(未重叠部分)的冏长；

⑵将一张边长为。的正方形卡片和两张边长为〃的正方形卡片按如图3放置，用含a,〃的代数式表示阴影

部分(三张卡片都重整部分)的周长；

⑶将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c(a+b>c>a)的大正方形内，左下角长方形的面积

为两张卡片重叠部分的面积为S2.若〃2+〃2=/,请直接写出y与邑的数量关系.

【答案】⑴4a

(2)的-左

(3)2,=S?

【分析】此题考查了多项式乘法用图形面积.

(I)根据正方形ABC。的边长为小正方形EFHD的边长为b,得AE=a-b,CH=d-b,由此可得出阴影

部分的周长；

(2)正方形A6C。的边长为〃，正方形后尸Q。和正方形K”/%的边长均为匕，得AE=b-KE,再根据

AD=AE+DE=a^b-KE+b=a,则KE=»—a,由此可得出阴影部分的周长；

(3)根据正方形AAC。的边长为c,正方形人七尸G的边长为a,正方形HKCP泊边长为b,S.=c2-ac-bc+ab,

2

S2=2c'-2bc-2ac+2ab=2(c-ac-bc+ab^,即可得到结论.

【详解】(1)解：如图2所示：

图2

团正方形A8C。的边长为小正方形EF4。的边长为儿

^AB=BC=CD=AD=a,EF=FH=HD=DE=h.

0AE=a-b,CH=a-b,

团阴影部分的周长为：AB+BC+AE+CH+EF+FH=2a+2(a-b)+2b=4a；

(2)如图3所示:

图3

回正方形A8CO的边长为a,正方形EFQ。和正方形KHPA的边长均为b,

^Al3=BC=CD=AD=a,AP=EF=PH=KH=AK=EF=FQ=QD=DE=b,

^AE=bKE,

0AD=AE+DE—a，

^b-KE+b=a,

0KE=2b—a,

团阴影部分的周长为：21KE+EF、）=2（2b-a+b）=6b-2a；

（3），与S?的数量关系是:2sLs2,理由如下：

如图4所示：

图4

回正方形ABC。的边长为c,正方形人石尸G的边长为“，正方形"KCQ的边长为从

团AB=BC=CD=AD=c,AE=EF=EG=GA=a,HK=KC=CP=PH=b,

^HQ=HK-BE=b-(c-a)=b-c+a,QF=HP-DG=b-(c-a)=b-c+a,

2

回£=IXJ-DP=[c-a)(c-b)=c-ac-bc+ab,S2=HQQF=(b-c+a)(b-c+a)

-Z>2+4?2+c2—2bc—lac+lab.

+b2=c2»

团&=2c2-2bc-2ac+lab=2(c'-ac-be+ab),

02sl=S2.

型六、整式的运算中的新定义型问题

1.理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义“％=〃2-/?,则3*2=32-2=7,用熟悉公式计算。

2.结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如〃〶匕=3+初3功），即平方差，直接用公式简化运

算。

例6.（24-25七年级下•安徽淮北期末）定义：。［4仇c］是以a,〃,c为系数的二次多项式，即

(/>[a.b,c]=ax2+bx+c,其中。也c均为实数.例如：(/>[a,b,c]=x2+2x+3,^[2,0,-2]=2x2-2.完成下面

的探究：

(1)当x=3时，次2T3]x°[T2-2]的值是_____；

(2)若。[p,4,-1]Xn,-2]=x4+2/-3X2-x+2,则(4p-2q-l)(2m-n-\)的值是.

【答案】-90-4

【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键.

(1)根据定义。[。也c]=o?+加+c,求出。[2,-1,3卜。[-12-2]=(2/-工+3卜/+212),再将％=3即

可解答；

(2)根据定义求得pinx+[pn+qni)x,+{qn-2p-m)x2-(2c/+n)x+2=A4+2/-3X?-X+2,得至lj

ptn=1,pn+qm=2,qn-2p-m=-3.-(2q+n)=-},再求出

(4p-%-1)(2/77-/?-1)=8/2/77-4(/277+077)+2®Z-2〃-"。+(%+〃)+1,最后整体代入即得答案.

【详解】解：(1)0[2,T3]X0[T,2，-2]

—(2f—1+3乂-f+2x-2)

=(2x32-3+3)x(-32+2x3-2)

=18x(-5)

=-90；

故答案为：-90；

(2)。[〃闯,一1卜。卜几〃,一2]

=("+/-*/♦+/LT-2)

=p〃zr4+(pn-^qni)^+(<7/1-2/7-/n)x2-(%+〃)x+2

=x"+—3x2—x+2,

0pm-1,pn+qm=2,qn-2p-in=-3,—^2q+n)=-\,

gpm—Apn—Ap—Aqm+2qn+2q—2m+，?+1

=8p/〃-4(〃〃+q/〃)+2(g〃一2p—/%)+(2q+〃)+l

=8-4x2+2x(-3)+l+l

=T.

故答案为：-4.

abab

【变式6-1］（24-25七年级下•陕西西安・期中）新定义：,为二阶行,列式，它的运算规则是」=ad-bc,

caca

35

例如：.=3x6-5x4=-2.

46

100101

⑴计算99100的值；

〃+3〃-3

⑵若二24,求〃的值.

〃一3〃+3

【答案】⑴1

（2）«-2

【分析】本题考查有理数的混合运算及乘法公式，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键.

（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；

（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出〃的值.

100101

【详解】（1）解：oo=100x10（）-99x101

yy1uu

=1002-(100-1)(100+1)

=1'3O2-(1OO2-1)

=1.

〃+3n-3

（2）解：*=24.

n-3n+3

「.（，?+3）（〃+3）-（〃-3）（〃-3）=24,

+6〃+9）--6〃+9）=24,

回⑵=24,

/.zi=2.

【变式6-2］（24-25七年级下广东深圳•期中）定义：是多项式4化简后的项数，例如多项式

2

A=X+2X-3,则L（A）=3.一个多项式A乘多项式8化简得到多项式。（即C=AX3）,如果

L(A)ML(C)ML(A)+1,则称B是A的“好多项式〃，如果"A)="C),则称B是4的“极好多项式”.例如

多项式人=/+2工一3,4=x-l,则C=Y+X2_5X+3，则L(N)=3,A(C)=4,3<4<3+1,所以8是4

的“好多项式"，但B不是A的"极好多项式〃.

⑴若4=工-4,A=x+5均是关于x的多项式，则B是不是4的“好多项式”？是不是A的"极好多项式〃？请

判断并说明理由；

⑵若A=<-3,8=f+依+9均是关于x的多项式，且8是A的“极好多项式〃，则。=；

(3)若A=f-x+3/〃，B=W+x+2〃?均是关于工的多项式，且6是A的“极好多项式"，求机的值.

【答案】(1)8是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析；

(2)3：

(3)m=0或m=L

5

【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，理解“好多项式〃和〃极好多项式〃的定义是解答本题的

关键.

(1)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式"的定义判断；

(2)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式〃，得到关于。的方程，解方程即可求解；

(3)根据多项式乘多项式的法则计算，根据〃极好多项式〃，得到关于〃?的方程，解方程即可求解.

【详解】(1)8是A的“好多项式〃，但不是A的“极好多项式”，

理由如下：

(x-4)(x+5)=d-4X+5X-20=J:?+X—20,

Gl3+x・20的项数比A的项数多1项，

(3B是A的“好多项式”，不是A的"极好多项式”；

(2)(x-3)(x2+ar+9)=x5+ar2+9x-3x2-3ar-27

=M+(a-3)f+(9-3a)x-27,

团8是A的“极好多项式〃，

团。-3=0且9一%=(),

解得a=3.

故答案为：3；

(3)(x2-x+3mj(x2+x+2m)

=A4+x3+2nvC-x3—x2—Invc+3wir2+3〃tr+6/n2

=A1+(5//z-l)x2+nix+6m2,

是4的“极好多项式”，

田5〃7-1=0或切=0,

解得〃1=(或0.

回机的值是1或0.

【变式6-3](24-25七年级下•广东佛山•期中)教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘

除运算，学会了研究运算的方•法.现定义了一种新运算〃⑭〃，对于任意有理数c,d规定

3b)®(c,d)=ad-bc.例如：(1,3)®(2,4)=lx4-2x3=-2.

请解答下列问题：

(2)若Q+l,加+2)&(4,x+l)的代数式中不含”的一次项时,求，，的值；

⑶如图I,在六边形ABC。"中，对角线的和C尸相交于点G,当四边形才和四边形CQEG都为正方

形时，设正方形A5G厂和正方形CDEG的边长分别为%形若BE=9,(a+l,/>2+l)®(-l,a-l)=40,求

出阴影部分的面积.

(4)如图2,小长方形长为。，宽为伍用5张图2中的小长方形按照图3方式不重叠地放在大长方形A4CO内，

其中A8=5,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设左下角长方形的面积为右上角长方

形的面积为邑，当25「352=5时，求(24+4。)⑥(-4〃+3,2。-劭的值.

【答案】⑴-36

(2)«=1

(3)20.5

(4)1

【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，

又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高.

(1)直接根据新运算定义代入计算即可；

(2)先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为0求解；

(3)利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价

和)；

(4)先根据图形表示出与、邑，结合已知等式得出。和力关系，再代入新运算式子求值.

【详解】(1)解:根据新运算-历，

对干(一3,5)<8)(6,2)=(-3)x2-5x6=-6-30=-36；

故答案为：-36.

(2)(x+1,nx+2)®(4,x+1)=(x4-l)(x+1)-4(ZLV+2)=x2+(2-4n)x-7,

•••代数式中不含/的一次项，

二一次项系数2-4〃=0,

••・解得〃=；;

(3)(6i+l,/r+l)0(-l,6?-l)=4G,

可得：3+1)(a-1)一(一1)(〃+1)=40,

即/-1+。+1=40,

+Z?2=40,

：BE=a+b=9,

.•.3+4=81,

••.40+2。/>=81,

.41

ao=—,

2

阴影部分面积为两个三角形面积用S=:ab+gab=ab=20.5；

22

(4)-AB=5,

.•.$=(5-3力xa,S2=(5-2a)xb,

回2SI-3s2=5

.♦.2，-3s2=10。-158=5,

即2a-3b=\,

2(i=3/?+1

(2G+b,b)®(-4l)+3,2a-4b)=(4b+\)(-b+\)-(-4b+3)xh=\.

压轴专练

一、单选题

1.如果/炉与2个产相乘的结果是2丁V，那么〃?和〃的值分别是（）

A.3,52,1C.3,4D.4,5

【答案】C

【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法.根据单项式乘以单项式法则即可求

出刑、"的值.

【详解】解：由题意可知：

x2xym=2xnT,/+m=2A-5/,

/.71+1=5,4+n?=7,

.•.〃!=3,72=4,

故选：C

2.若关于x的多项式/-2（〃?-3）x+16是完全平方式，则加的值为（）

A.±7B.±1C.1或一7D.一1或7

【答案】。

【分析】本题主要杳了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个

完全平方式.这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4根的2倍.据此解

答即可.

【详解】解：•・•多项式--2（6-3*+16是完全平方式，

/.x2-2（/ZZ-3）A+16=（X±4）',

/.-2（//2—3）=±2x4,

则m的值为:T或7.

故选：D.

3.甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“（4+15）。-.”时，得到了各不相同的四个结果：甲，

X2-120X-2025;乙，x2+120X-2025;丙，x2-160x+2025：丁，x2+160x+2025.已知四位同学中只

有I人计算正确，且处的数字是正数.则计算结果正确的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】A

【分析】本题考查了多项式乘法运算及多项式各项系数的特征，解题的关键是通过设未知数表示多项式展

开式，结合常数项和一次项系数的符号及数值特征排除错误选项.

设为止数m展开多项式得W+（15-。江-15。，根据常数项符号排除内、丁；对J•甲与乙，可根据

一次项系数、常数项对应相等分别求得〃值，保持一致性的确定为正确结果.

【详解】

解：设“'为正数小则@+】5）（》一々）=/+（］5-〃）工一15々,

・•・常数项但丙与丁的常数项均为正数，故排除丙与J.

若42-1204-2025=人2十（15-4）人一15",得15-〃=-120PL-15〃=-2025,

均解得。=135,故甲符合题意；

+120.V-2025=x2+（15-6/）x-156/,得15-。=120且一15”-2025,

解得a=T05与〃=135,矛盾，无解，故乙不符合题意；

综上，只有甲符合题意，

故选:A.

现定义运算“△”，对于任意有理数。力，都有例如：2由此可知

4.3A5=3-3X5=-6,

等于（）

A.lxB.2x-2C.-2x+2D.-2x

【答案】C

【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，根据新定义代入，然后根据完全平方公式以及平方差公式

展开，最后合并同类项即可.

【详解】解：根据题意可知:

（1-1）从1+X）

二(1)2一(1)(1+同

=A2-2X+I-(X2-1)

=—2.x+2,

故迄C

5.在长方形ABC。中，A。比AB长1个单位，将一张边长为。和两张边长为力的正方形纸片按图1,图2

两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的

面积与图1中阴影部分的面积的差,则只要知道图中哪条线段的K（）

D.h

【答案】。

【分析】本题主要考杳了多项式乘法在几何图形中的应用，图1种阴影部分面枳为

（AD—0）（A8-图2中阴影部分面积为〃（AO-a）+（A8-a）（8C-2A）,据此分别求出两

个阴影部分面积，作差即可得到答案.

【详解】解：由题意得，图1种阴影部分面积为(AO-b)(AB-a)+(5C-a)(a-6)

=ADAH-bAH-ciAL)4-ab+aBC-a2-bBC+ab

=AD•AB-bAB-ciAD+ab+aAD-a2-bAD+ab

=ADAB-bAB+2ab-a2-bAD

=AD(AD-\)-b(AD-\)+2ab-a2-bAD

=AD2-AD-bAD+b+2ab-a2-bAD

=AD2-AD-2bAD+b+lab-a1

图2中阴影部分面积为—a）（AC—力）

=aAD-a2+ABBC-aBC-2bAB+2ab

=aAD-a2+AD（AD-i）-aAD-2b（AD-i）+2ab

=aAD-a?+AD2-AD-aAD-2bAD+2b+2ab

=AD2-AD-2bAD+2b+lab-a1，

••・图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差为人，

故选:D.

二、填空题

6.2x[m-x2）=4A?y2-2,v*,则〃!=.

【答案】2x2yz

【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则

成为解题的关键.

先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于机的方程求解即可.

（详解】解：2x（m-x2）=4心2-2A?,

2mz-2/=4//-2/,

2xm=4X3>'2，

in=4.vxy2+2x

m=2x2y2.

故答案为：2x2y2.

7.若关于工的多项式-2”（x+〃?）的计算结果中不含有戈2项，则〃?=.

【答案】2

【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出

（/-2*（%+机）的展开结果，再根据展开结果中不含有/项，即含有炉项的系数为。列式求解即可.

【详解】解：

=A3-2x2+mx1-Invc

=x+（/n-2）x2-2inx,

•・•关于X的多项式12-2^（4+6）的计算结果中不含有炉项，

阳-2=0,

〃z=2,

故答案为：2.

8.在多项式4/+1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有个.

【答案】3

【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关犍.利用完全平方公式的结构

特征判断即可.

【详解】解：•.,4X2+1±4X=（2X±1）2；

4八1+"=（2丁+1）2；

一•加上的单项式可以是±4x、4/中任意一个.

故答案为：3.

9.对于实数定义新运算如下："◎8=（々+城一（〃一/，）2.若（，〃+2）©（〃?-2）=48,则加的值

为.

【答案】±4

【分析】

本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式的应用，由题意H得。◎力=4而，由此计算即可得解，熟练

掌握运算法则，理解题意是解此题的关键.

【详解】

11

解：■:a=-（a-b^=（r+lab+b-[a-lab+b^^^abf

（〃?+2）©（〃?-2）=4（〃?+2）（〃?-2）=4（〃「-4）=48,

解得：〃2=4或〃7=-4,

即卅的值为±4,

故答案为：±4.

10.我们定义；一个整式能表示成，十〃2（〃、）是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”.例如:

用=/+2冲+2丫2=（工+）,）2+）,2（工、）,是整式），所以M为“完全式”.若S=9+9）3+4x-6y+A（x、V是

整式，改为常数）为“完全式"，则当S=0时，丁一女的值为

【答案】-蓝44

【分析】利用完全平方公式分别把含x和），的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完全式''的定义得，从

而得到女的值.

本题考查完全平方公式的应用，实数的非负性应用，求代数式的值，熟练掌握新定义是解题的关键.

【详解】解：S=x2+9y2+4x-6y+k

=(x+2)2+(3y-l)2+A:-5,

由5=丁+9/+4］一6），+火（X、y是整式，k为常数）为“完全式”,

故上一5—0,

解得A=5,

当S=0时,

fe(x+2)2+(3y-l)2=0,

解得x=_2,yj

1u