2025年北京市中考数学试题（含解析）

2025年北京市初中学业水平考试

数学试卷

姓名准考证号考场号座位号

考生须知

1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题.满分100分.考试时间120分钟.

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题、作图题用28铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

第一部分选择题

一、选择题（共16分，每题2分）

第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列图形中，既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（）

2.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

IaIIb1I

-2-1012

A.a>—1B.a+b=UC.a-b>0D.|«|>|/?|

3.若一个六边形的每个内角都是x。，则x的值为（）

A.60B.90C.120D.150

4.一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机

摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（）

5.若关于x的一元二次方程以2+21+1=0有两个相等的实数很，则实数。的值为（）

A.-4B.-1C.1D.4

6.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌.I1.星发射中心成功发射，开启对近地小行星

2016HO3的探测与采样返【口I之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远

地点距离约为4xlO'km，则该小行星与地球的最近距离约为（）

A.l.SxlC/kmB.1.8xl06kmC.1.8x10?kmD.L8xlO,okm

7.如图，N用QV=1OO°,点A在射线OM上，以点O为圆心，。4长为半径画弧，交射线OV于点艮若

分别以点A,B为圆心，A8长为半径画弧，两弧在NMON内部交于点C,连接AC,则/OAC的大小

为（）

B.100°C.110°D.120°

8.如图，在平面直角坐标系X。｝'中，A,8分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形QAC8是矩形，函数

），二!（x>0）的图象与边AC交于点与边8c交于点NN不重合）.给出下面四个结论：

X

①△COM与△CON面积一定相等：

②AMON与AMCN的面积可能相等：

③△MQV一定是锐角三角形；

®/^MON可能是等边三角形.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B,①@C.②③D.②④

第二部分非选择题

二、填空题（共16分，每题2分）

9.若67=5在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是

10.分解因式：7〃广一28=.

11.方程二7+4=0的解为

x-6x

12.某地区七年级共有2000名男生.为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了

10。名男生，测得他们的8M7数据（单位：kg/nr）,并根据七年级男生体质健康标准整理如下:

等级低体重正常超重肥胖

BMIW15.415.5〜22.122.2〜24.9A5.0

人数675154

根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是

13.能说明命题“若/>4/，则a>%”是假命题的一组实数。，〃的值为。=,b=.

14.如图，。。是地球的示意图，其中A8表示赤道，CD,EF分别表示北回归线和南回归线，

/DOB=/FOB=235°.夏至日正午时，太阳光线G。所在直线经过地心O,此时点尸处的太阳高度

角4FH（即平行于G。的光线HF与。。的切线所成的锐角）的大小为°.

15.如图，在正方形A8C。中，点E在边CO上，CF1BE,垂足为F.若A3=l,ZEBC=30°,则

^ABF的面积为.

16.某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A,B,C,。四家经销商销售.当一家经销商将分配到

的“台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利涧（单位：万元）与〃的对应关系如下：

n=\n=2〃=371=47?=577=6•••

/////

44060

//

/

B30557590100105

/

C204060708090•••

1）:一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨

架（如图2）,其头部高、胸腹高与尾部高的比是1:1:2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀

条短10cm,图1中8c的长是门条长的卷，AB,CO的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.

图1图2

23.校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测

试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

12.912.9

c.四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差:

甲乙丙T

平

均12.512.5P12.5

数

中

位m12.512.812.45

数

方0

0.056n0.056

差034

(1)表中，〃的值为;

(2)表中n0.056(填“二”或“v”)；

(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较

小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成

绩小于平均数的次数较多者实力更强.

评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为.

24.如图，过点尸作。。的两条切线，切点分别为A,B,连接Q4,OB,OP,取。尸的中点C,连接

AC并延长，交。。于点连接30.

(1)求证：ZADB=ZAOPx

(2)延长OP交的延长线于点及若AP=10,tan/40P=1,求OE的长.

2

25.工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训.在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统

进行一次为期7日(丁可取。，1,2或3)的模拟练习，然后开始试制.记一名新员工在试制阶段的第1日

单日制成的合格品的个数为y,根据以往的培训经验，对于给定的丁，可以认为)，是x的函数,当7=0和

7=3时，部分数据如下：

0123456789

7=0

时y07810121620232526

的值

7=3

时,y0263743m4850515253

的值

7=3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变.

对于给定的。在平面直角坐标系XO.v中描出该7值下各数对（工,上）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲

线连接，得到曲线当7=1和7=2时，曲线G，C,如图所示.

（I）观察曲线G，当整数x的值为时，y的值首次超过35；

（2）写出表中/〃的值，并在给出的平面直角坐标系中画出7=3时的曲线G；

（3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制.

①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理

论学习后第□可获得“优秀学员”证书；

②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4口内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4口中

应安排小腌先进行日的模拟练习.

26.在平面直角坐标系X。）'中，抛物线丁=0¥2+法+。（0。0）经过点0和点4（3,3。）.

（1）求c的值，并用含。的式子表示〃；

（2）过点尸。,0）作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线＞'=小于点N.

①若a=l,，=4,求MN的长；

②已知在点。从点。运动到点3（2〃,0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求。的取值范

围.

27.在VA4c中，NAC3=90。，NA3c=。，点。在射线上，连接AO,将线段AO绕点A逆时

针旋转180。一2a得到线段AE（点E1不在直线A5上），过点E作砂〃A3,交直线8C于点尸.

(1)如图I,a=45。，点。与点。重合，求证：BF=ACx

(2)如图2,点。，F都在8C的延长线上，用等式表示。/与3C的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系中，对于点A和给出如下定义：若。C上存在两个不同的点M,N,对

于0C上任意满足AP=AQ的两个不同的点尸，Q,都有NPAQWNMAN,则称点A是0。的关联

点，称“MAN的大小为点A与0C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)

(1)如图，。。的半径为1.

①在点A［：，。］，A(2,0)中，点是00的关联点且其与00的关联角度小于90。,

该点与的关联角度为°；

②点8(1,m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段8。，8。上所有的点都是。。的关联点，则〃，的

最小值为；

(2)已知点打1,3),尸(4,3),7&0),07经过原点，线段EF上所有的点都是的关联点,记这些点

与07的关联角度的最大值为。.若90。414180。，直接写出f的取值范围.

2025年北京市初中学业水平考试

数学试卷

姓名准考证号考场号座位号

考生须知

1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题.满分100分.考试时间120分钟.

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题、作图题用28铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

第一部分选择题

一、选择题（共16分，每题2分）

第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列图形中，既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考直了轴对称图形，中心对称图形识别，解题的关键在于熟练掌握：化平面内，一个图形沿

•条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把•个图形绕着某个点旋

转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

据此即可求解.

【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，

故选：D.

2.实数小人在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

IaIIb1I

-2-1012

A.a>—\B.〃+/?=()C.a-b>0D.|«|>\b\

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正

确掌握相关性质内容是解题的关键.

先由数轴得，一2<。<—1<0<心<1,且同<同，再逐项分析即可.

【详解】解.：由数轴得，一2〈"一1<0</?<1,且问<同

a+b<0,^-/?<(),

故A,B,C均错误，不符合题意，D正确，符合题意，

故选：D.

3.若一个六边形的每个内角都是X。，则X的值为()

A.60B.90C.120D.150

【答案】C

【解析】

【分析［本题考查了多边形内角和公式，即(〃-2)x180。，其中〃为边数，利用多边形内角和公式及正多

边形的性质求解即可.

【详解】解：•・•一个六边形的每个内角都是X。，

・•・每个内角的度数为：%o=(6-2)xl80°^6=120°,

故选：C.

4.一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机

摸出一个球，摸出的球是白球的概率是()

1115

A.-B.-C.；D.-

6326

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数♦所有

可能出现的结果数.

【详解】解：•・•袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球，

・•・摸出的球是口球的概率是「^二=二.

3+2+16

故选：A.

5.若关于x的一元二次方程QV+2X+1=0有两个相等的实数根，则实数。的值为（）

A.-4B.-1C.ID.4

【答案】C

【解析】

【分析】本题考杳根判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到△=（）,进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：△=22-4〃=0，

解得:々二1；

故选C.

6.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星

2016HO3的探测与采样返【可之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远

地点距离约为4xl0$km，则该小行星与地球的最近距离约为（）

A.1.8xlOskmB.1.8xl06kmC.1.8xl07kmD.1.8xlO,okm

【答案】C

【解析】

【分析】此题考杳了科学记数法表示较大的数.根据题怠，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的

45倍，月球远地点距离已知为4xl0*m，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可.

【详解】解：月球远地点距离为4xl（）5km，小行星距离是该值的45倍，即：

45x4xl05=18OxlO5=1.8xl07km.

故选：C

7.如图，NMOV=100",点4在射线0M上，以点。为圆心，长为半径画弧，交射线ON于点B.若

分别以点A,4为圆心，48长为半径画弧，两弧在NMON内部交于点C,连接AC,则/0AC的大小

为（）

M

A.80°B.100°C.110°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识

点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.

连接八3,AC,8C,则由作图可得Q4=O3,AC=8C=A3,那么VA8C为等边三角形，可证明

△04C/△OBC（SSS）,再根据今等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解NQ4C.

【详解】解：如图，连接

由作图可得，OA=OB,AC=BC=AB,

・•・VA3c为等边三角形，

・•・Z4CB=60°,

•••oc=oc,

△OACgaOBC(SSS),

/.Z1=Z2=-Z/lCB=-X60°=30°,Z3=Z4=-Z/10^=-xl000=500,

2222

・•・/LOAC=180°-Zl-Z3=l80°-30°-50°=100°,

故选:B.

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，A,〃分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形（MC火是矩形，函数

>=的图象与边A。交于点加，与边8C交于点N（M,N不重合）.给出下面四个结论：

X

①△COM与KON的面积一定相等;

②△MON与AMCN的面积可能相等;

③△MQV一定是锐角三角形:

④△MON可能是等边三角形.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B.@@C.②③D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数

图象的性质是解题的关键.根据矩形的性质结合反比例函数攵的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比

例函数的对称性即可判断④，根据M,N是反比例函数图象上的动点，可得NOMN或N6WM为钝角，即

可判断③，即可求解.

【详解】解：•・•四边形04cB是矩形,

•?一q

••LoseLAOC

又1・M,N是反比例函数y=/（工＞0）图象上的动点，BN_L）：轴，

••»AOBN-JQW-2

即△COM与ziCON的面积一定相等；故①正确,

]_

由①可得SQBN=SqM

2

当△MQV与△MCN的面积相等时，如图，连接A8，BM

*NC

M

0Ax

,,SANCM+=S&MON+SAOBK=万，矩形OtC8=^ARO=S必）M

，N在直线AM上，则M,N重合，

・•・/XMON与AMCN的面枳不可能相等，故②不正确，

•・•等边三角形和反比例函数都轴对称图形，当NNOM=60。且对称轴都为直线）'=x,AA/ON可能

是等边三角形，故④正确，

如图

当在y=x的同侧时，AMQV可能是钝角三角形，故③错误

综上，①④正确、②③错误.

故选：B.

第二部分非选择题

二、填空题（共16分，每题2分）

9.若后二5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____

【答案】x>l

【解析】

【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是

解题的关键.

此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解.

【详解】解：・・・Gr存在实数范围内有意义，

・・・3%一320,

解得：x>\,

故答案为：x>\.

10.分解因式：7利-28=.

【答案】7（加+2）（m-2）

【脩析】

【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

原式提取7,再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：7〃『一28

二7（〃——4）

=7（m+2）（m—2）,

故答案为：7（m+2）（m一2）.

11.方程一2一+4=0的解为______.

x-6x

【答案】x=2

【解析】

【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案.

21

【详解】解.：--+-=0

x-6x

去分母得：2x+x—6=0,

移项，合并同类项得：3x=6,

系数化为1得：x=2,

检验，当x=2时，x（x-6）=2x（2-6）=-8^0,

・・..E=2是原方程的解，

故答案为：x=2.

12.某地区七年级共有2000名男生.为了解这些男生的休重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了

10。名男生，测得他们的数据（单位：kg/nr）,并根据七年级男生体质健康标准整理如下：

等级低体重正常超重肥胖

BMIW15.415.5〜22.122.2〜24.9^25.0

人数675154

根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是_______.

【答案】1500

【解析】

【分析1本题考查了由样本估计总体，用2000乘以样本中创勿等级为正常的人数所占的比例即可得解，

熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键.

75

【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中出〃等级为正常的人数是2000x——=1500

100

人，

故答案为：1500.

13.能说明命题“若/＞4/，则。＞»”是假命题的一组实数出8的值为〃=,b=.

【答案】①.一3（答案不唯一）②.1（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握为断一个命题是假命题的时候可以举出反例

是解题的关键.

根据举反例的方法找到，，＞满足片＞4/，但是不满足即可解答.

【详解】解：当。=一3,力=1时，a2＞4/?2»但是。＜».

故答案为：一3,1（答案不唯一）.

14.如图，。。是地球的示意图，其中A3表示赤道，CD,所分别表示北回归线和南回归线，

NDOB=/FOB=23.5。.夏至日正午时，太阳光线G。所在直线经过地心。，此时点〃处的太阳高度

角4FH（即平行于G。的光线版与。。的切线厂/所成的锐角）的大小为

回归线、^G

《赤道

回归线］

【答案】43

【解析】

【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键.设

“与。G交于点K,先由三角形内角和定理求出NOKb=43c,再根据平行线的性质求解即可.

【详解】解：如图，设与OG交于点K,

,:乙DOB=/FOB=U50,

/KOF=/DOB+4FOB=23.5°+23.5°=47°，

在AObK中，ZFOK+ZOFK+ZOKF=180°,NO氏K=90。,

・•・NOK/=43。，

•・•FH\\OGf

・•・〃FH=/OKF=43°,

故答案为：43.

15.如图，在正方形A8CO中，点E在边CO上，CFLBE,垂足为F.若A8=l,ZEBC=30°,则

△ABF的面积为

【解析】

【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点

是解题的关键.过点尸分别作EM_L8C,FN_LA8,垂足为M,N,连接4W，则/RMC=90。，先根

据平行线间的距离处处相等得出FN=,继而得出S.ARF=S.ABM，通过解直角三角形得出

BM=BC-CM=-,即可求解.

4

【详解】解：过点尸分别作FM18C,EV_LA8,垂足为M,N,连接AW,则N£MC=90。,

•・•西边形A3CO为正方形,

・•・448。=90。，

:./ABC=/FMC，

:・AB〃FM，

/.FN=BM,

•・•S、内=ABFN,S=-ABBM,

△/\nr2AADAJ2

•・•°q&ABF_uq^ABM，

VCF1BE,垂足为RAB=\=BC,ZEBC=30°,

・•・Z.BFC=90°,NBCF=60°,CF=-^C=-,

22

:.乙CFM=90°-ABCF=30°,

:.CM=—CF=—,

24

3

：.BM=BC-CM=~,

4

133

•*,=^4BA/=2X1X4=81

3

故答案为：

8

16.某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给48,C,。四家经销商销售.当一家经销商将分配到

的〃台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与〃的对应关系如下：

n=1n=271=3n=4n=5〃=6•••

//////

///

//

A4060//

//

/

//

B30557590100105/

C204060708090•••

D14386286110134•••

（I）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都

售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配2台设备（填“A”“B”“C”或“0”）；

（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售:出后，企业可获得

的总利润的最大值为万元.

【答案】①.B②.157

【解析】

【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键.

（I）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案：

（2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案.

【详解】解：（1）当〃=2时，

A经销商的利润为60,比〃=1时增加60—40=20（万元），

3经销商的利润为55,比〃=1时增加55-30=25（万元），

C经销商的利润为40,比〃=1时增加40-20=20（万元），

。经销商的利润为38,比〃=1时增加3874=24（万元），

•・•25>24>20,

・•・应向经销商8分配2台设备.

（2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为。经销商的134万元，

当分配给多家销售时：

当分配四家时,最大利润为40+55+20+38=153（万元）,

当分配给三家时，最大利润为40+55+62=157（万元），

当分配给两家时，最大利润为60+90=150（万元）或40+110=150（万元），

综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元.

故答案为：B,157

三、解答题（共68分，第17・19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，

第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27・28题每题7分）解答应写出

文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：|一3|+阴+-2sin30°.

【答案】4+36

【蟀析】

【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幕，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加

减计算即可.

【详解】解：卜3|+后+（g'-2sin30°

=3+36+2-2x1

2

=4+36

2（x+1）>x-1

18.解不等式组：L+5

------>3x

2

【答案】-3<x<l

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小,

大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可.

2（x+1）>x-10

【详解】解；心>3四

2

解不等式①得：x>-3,

解不等式②得：x<\,

・•・原不等式组的解集为-3<x<1.

19.已知。+〃一3=0,求代数式4卜一"）+/的值.

a~+2ab+b-

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】本题主要考查了分式的亿简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.

先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将3=0变形，进行整体代入求值.

4。-4〃+汕

【详解】解：原式=［一丁"

4(<z+Z?)

(6/+Z?)2

4

a+b'

•・•“+〃—3=0,

a+b=3,

_4

工原式=一.

3

20.如图，在VABC中，D,E分别为A8,AC的中点，DFLBC,垂足为F,点G在OE的延长线

上，DG=FC.

(I)求证：四边形OR7G是矩形；

⑵若NB=45。,DF=3,QG=5,求5c和AC的长.

【答案】(1)见解析(2〉z?C-8,AC-2V10

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题

的关键.

(1)由三角形中位线定理可得QE〃Cb,即。G〃CF,则可证明四边形OPCG是平行四边形，再由

DF±BC,即可证明平行四边形。尸CG是矩形；

(2)求出C尸=5,解RtZ\4O/得到80=3J2,BF=3,则/+b=8：由线段口点的定义可

得AB=2BD=6y/i；过点A作4"_L8C于H,解得到4”=6,BH=6,则

CH=BC-BH=2,再利用勾设定即可求出AC的长.

【小问1详解】

证明：・・・。，E分别为A8AC的中点，

:.是VA3c的中位线,

ADE//CF,即。G〃CE,

・：DG=FC,

・•・西边形。回CG是平行四边形，

又：DF上BC,

・•・平行四边形OR7G是矩形；

【小同2详解】

解：・・・OG=5,

：.CF=DG=5；

■:DFtBC,

:.ZDFB=90°,

在Rt△加产中，NB=45°,DF=3,

：.BD=-^-=——=3A/2,BF=^-=---

sin4sin45°tanZ?tan45°

:.BC=BF+CF=8；

•・•点。为AB的中点,

・•・AB=2BD=6叵；

如图所示，过点A作A//J.8C于H,

A

在中，AH=AB-sinB=6^-sin45°=6,B”=AB・cosB=6&cos45。=6，

:・CH=BC—BH=2,

在Rt^AHC中，由勾股定理得HC=JA”2+C"2=162+2?=2，而・

21.在平面直角坐标系入。中，函数y二丘+。（2。0）的图象经过点（1,3）和（2,5）.

（1）求h。的值;

（2）当X<1时，对于x的每一个值，函数），=〃吠（〃件0）的值既小于函数丁=依+人的值，也小于函数

y=x+&的值，直接写出机的取值范围.

k=2

【答案】（1）

b=tl

（2）2<m<3

【解析】

【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相

关知识是解题的关键.

（I）直接利用待定系数法求解即可；

（2）由（1）可得函数了=履+〃（攵=0）的解析式为》=21+1,函数了=为+左的解析式为.y=x+2,

当蛆<2x+l时，则（m-2）xvl,当如<x+2时，则（〃?-l）x<2,根据当x<l时，两个不等式都

成立可得〃?N2；当〃?=2,工<1时，2戈<2工+1和工〈2恒成立；当机>2时，则x<——且

m-2

2122121

x<——，再分当一->—；时，则——>1,当一-<——时，则-->1,两种情况分别

m-im-2m-\in-1m-2m-1m-2

解不等式即可得到答案.

【小问1详解】

解：•・•在平面直角坐标系“Qy中,函数\=任+/女工0）的图象经过点。,3）和（2,5）,

.仅+b=3

「22+〃=5'

k=2

解得

b=\

【小问2详解】

解：由（1）可得函数、=履+〃（人/0）的解析式为y=2x+l,函数y=x+Z的解析式为y=x+2,

当侬<2x+l时，则（6-2）x<l,

当+2时，则（〃?-l）x<2,

•・•当X<1时，对于x的每一个值，函数），="a（"?工0）的值既小于函数>=依+6的值，也小于函数

y=x+」的值,

/7Z—2>0，且〃2—1之0,

；・山，2,

当m=2,x<l时，2x<2x+l和xv2恒成立，故〃2=2符合题意；

I2

当根>2时，贝ijx<------且x<-------,

m-2tn-\

192

当-----时，则二^21,

m-2m-\m-1

12

解不等式一^之二^得加《3,解不等式相43,

m—2m—\

171

当-----<二^时，则------>1,

in—2rn—1m—2

解不等式」一〈二一得m>3,解不等式一!一21得加43,此时不符合题意；

m-2m-1m-2

综上所述，2<m<3.

22.北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图

1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨

架（如图2）,其头部高、胸腹高与尾部高的比是1:1:2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀

条短10cm,图1中BC的长是门条长的2,A8,8的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.

X8C

条

-?门

条

膀头部高

条

膀

胸腹高

高

/小

\/）

尾部高

图1图2

【答案】80cm

【脩析】

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键.

设胸腹高为xcm,则单根膀条长为5xcm,门条的长度为（5x—10）cm,BC=|（5x-10）cm,

AB=CD=x,头部高为x,尾部高为2x,这只风筝的骨架的总高为4x；由AO=A3+3C+CO列方

程求出五二20,进而求出风筝的骨架的总高即可.

【详解】解：设胸腹高为xcm,则单根膀条长为5xcm,门条AO的长度为（5x—10）cm,

BC=1（5x-10）cm,AB=CD=x,头部高为x,尾部高为2x,这只风筝的骨架的总高为4x,

由AO=AB+BC+CD,可得：5x-10=x+1（5x-10）+x,解得：x=20；

所以这只风筝的骨架的总高4x=80cm.

答：这只风筝的骨架的总高80cm.

23.校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测

试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图:

b.丙运动员10次测试成绩：12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9

c.四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差:

甲乙丙丁

平

均12.512.5P12.5

数

中

位m12.512.812.45

数

方

0.056n0.0340.056

差

（1）表中机的值为;

（2）表中〃0.056（填“二”或“<”）；

（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较

小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成

绩小于平均数的次数较多者实力更强.

评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为.

【答案】(1)12.5

(2)<

(3)乙、丁、甲、丙

【解析】

【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键.

(I)根据中位数定义即可求解机；

(2)根据方差计算公式求解，再比较即可；

(3)根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可.

【小问1详解】

解：甲的10次测试成绩排列为：12.1,12.1,12.5/2.5,12.5,12.5,12.5,12.7,12.7,12.9,

12.5+12.5

...中位数6==12.5

2

故答案为：12.5；

【小问2详解】

解：乙的10次测试成绩平均数为:

126+12.6+12.3+12.5+12.5+12.7+12.5+12.7+12.4+12.2

12.5,

10

・.•方差为:

〃二正[(12.6-12.5『x2+(12.3-12.5『+(12.5-12.5)2x3+(12.7-12.5『x2+(12.4-12.5『+(12.2-12.5)[=(

n<0.056,

故答案为：<；

【小问3详解】

12.4+12.4+12.5+12.7+12.8+12.8+12.8+12.8+12.9+12.9

解：丙的平均数〃=----------------------------------------------------------------=12.7,

10

・•・丙的平均数最大，则实力最弱,

•・•方差0.024<0.034<0.056,

，乙实力最强，

•・•丁的测试成绩中位数为12.45,

，第5,6次成绩和为24.9,

・••前5次测试成绩小于平均数，

♦・♦甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，

・•・丁比甲强，

・•・这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙，

故答案为：乙、丁、甲、丙.

24.如图，过点尸作0。的两条切线，切点分别为A,连接。4,OB,OP,取OP的中点C,连接

AC并延长，交。。于点。，连接

(1)求证：ZADB=ZAOP；

(2)延长0P交。B的延长线于点E若AP=10,tanNAOP=1，求OE的长.

2

【答案】(