2025年高考数学试题分类汇编：数列解析版

专题07数列

•081

2025高考真题

一、单选题

1.（2025•全国二卷•高考真题）记S.为等差数列｛&｝的前〃项和，若S3=6,§5=-5,则&=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

【答案】B

【分析】由等差数列前〃项和公式结合题意列出关于首项4和公差d的方程求出首项4和公差d,再由等差

数列前〃项和公式即可计算求解.

,、[3a.+3J=6｛d=-3

【详解】设等差数列qj的公差为d,则由题可得＜,

54+】0"=-5[4=5

所以§6=6q+15d=6x5+15x（-3）=T5.

故选：B.

2.（2025•北京・高考真题）已知｛&｝是公差不为零的等差数列，4=-2,若/必,必成等比数列，则％。=（）

A.-20B.-18C.16D.18

【答案】C

【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为4（4工0）,

因为4,4,生成等比数列，且4=-2,

所以姆=的6，即（-2+3d『=（—2+2d）（—2+5d）,解得d=2或〃=0（舍去），

所以4。=q+9d=-2+9x2=16.

故选：C.

3.（2025•天津・高考真题）S“-r『+8〃，则数列｛同｝的前12项和为（）

A.112B.48C.80D.64

【答案】C

【分析】先由题设结合为=S“-S,i求出数列｛%｝的通项公式，再结合数列｛%｝各项正负情况即可求解.

【详解】因为S.=-/+8般,

所以当〃=1时，q=$=_12+8x]=7,

当〃之2时，a,,=Sn-Sn_x=(-/?'+8/2)--1)"+8(〃-1)]=-2〃+9,

经检验，4=7满足上式，

所以。“=一2〃+9(〃£N"),令=-2〃+920=>〃44,an=-2n+9<0=>/J>5,

设数列｛瓦|｝的前〃项和为。，

贝!1数歹U｛1%1｝的前4项和为4=S4=-42+8X4=16

数列｛3｝的前12项和为

石“=|4|+|4|+一・+|42|=4+出+%+%一%一4----C%

2

=2S4-S12=2X16-(-12+8X12)=80.

故选:C

4.(2025・上海・高考真题)已知数列｛q,｝、他｝、k｝的通项公式分别为4=1。〃-9,优=2”、，

%=而”+(1-团。”.若对任意的/、"、％的值均能构成三角形，则满足条件的正整数〃有()

A.4个B.3个C.I个D.无数个

【答案】B

【分析】由5=44+(1-㈤包可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解

不等式可得.

【详解】由题意可也£>(),不妨设AS,4),5(〃也),C(〃,q),

三点均在第一象限内，由可知，团=4丽，衣[05，

故点C恒在线段A8上，则有min｛q也｝<c„<max｛/也｝<4,+包.

即对任意的义«0』，恒成立，

令104-9=23构造函数/。)=2'-10x+9,x>0,

则6(x)=2*1112-10,由广(用单调递增，

又1(3)<0,八4)>0,存在仆w(3,4),使八%)=0,

即当0<工<与时，外幻<0,单调递减；

当了八。时，ru)>o,/⑶单调递增；

故f(x)至多2个零点，

又由/(D>0,/(2)<0,/(5)<0,f(6)>0,

可知/(x)存在2个零点，不妨设片，々(斗<巧)，且为c(1,2),与£(5,6).

①若见V2,即10〃-9«2"时，此时〃=1或〃26.

则%可知包+%>，“成立，

要使4、%、c”的值均能构成三角形，

所以4+G>久恒成立，故々<2%,

\0n-9<2"5H

所以有,解得n=6；

l2n<2(10/z-9)

②若'之久,即10〃-922"时，此时〃=2,3,4,5.

则%之。“之2，可知成立,

要使《、b八g的值均能构成三角形,

所以勾+%>%怛成立，故勺<乃”，

10〃-922"〜一

所以有1。”9<2…解得〃=4或5;

综上可知，正整数〃的个数有3个.

故选:B.

二、多选题

5.（2025•全国二卷•高考真题）记S。为等比数列｛4｝的前〃项和，<7为0｝的公比，c/>0,若名=7,%=1,

则（）

A.q=*B.

c.&=8D.凡+s“=8

【答案】AD

【分析】对A,根据等比数列通项公式和前〃项和公式得到方程组，解出4M,再利用其通项公式和前〃项

和公式一一计算分析即可.

2_14=44=9

=

【详解】对A,由题意得“闻2寸结合4>0,解得1或<1（舍去），故A正确；

4+44+44=7q=—7=-5

对B,则％=644=4乂g）=；，故B错误；

对C,55=40—/）-4（：32,］里,故C错误；

1-q1-14

2

2

则%+S“=23-"+8-2j=8,故D正确;

故选：AD.

法三：设该等比数列为｛q｝,S。是其前〃项和，则8=4,1=68,

设几｝的公比为夕(夕>0),

因为Sg_S&=%+4+%+,=(4+出+/+。4)/=68-4=64,

又，=6+生+%+。4=4,

所以“\邑=/=弓=16,所以g=2,

所以该等比数列公比为2.

故答案为：2.

四、解答题

8.(2025.全国一卷•高考真题)设数列｛q｝满足q=3,豪=含+忌耳

(1)证明：卜也”｝为等差数列；

m

(2)没/。)=%人++L+um,\,求.

【答案】(1)证明见解析；

⑵尸(_2)._0"+?(-2『

【分析】(1)根据题目所给条件午=热+就同化简，即可证明结论；

(2)先求出｛%｝的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以x,作差并利用等比数列前〃项和得出导

函数表达式，即可得出结论.

【详解】(D由题意证明如下，“wN”,

在数列应｝中，6=3,于=蒲+而旬，

J(〃+1)4川=4+1，即5+1)%「叫=1，

・・・｛〃6｝是以％=3为首项，1为公差的等差数列.

(2)由题意及(1)得，n<=N*.

在数列卜74｝中，首项为3,公差为1,

2

/.nan=3+1x(//-1),即4=1+二，

在f(x)=a^+c^x2+…+q/”中，

“到=3工+2/+…+0+讣J/(x)=3+4x+…+(〃z+2)/i

.j/(x)=3+4x+…+W+2)V”T

**=3x+4/+…+(〃?+2)

当工工1且xwO时，

=3+^^

(l-.r)/,(x)=3+x+x2+---+xzw-|-(/?/+2)^'_(6+2)广，

\-x

3耳―5)W+2)/

工/"(%)=—+

\-x(if1-X

3-2[1-(-2fl]W+2)(-2)"'

r(-2)=

1一(一2)[l-(-2)]21-(-2)

1[(-2)[1-(-2)-](w+2)(-2r

93

2(-2广(,»2)(-2『

-1---------------------------------

993

J(3,〃+7)(-2『

-9

9.(2025・天津・高考真题)已知数列｛《｝是等差数列,｛〃”｝是等比数列，4=二=2,%=&+1吗=4.

⑴求｛《,｝，他｝的通项公式；

(2)V»eN\，£｛0,1｝,有(=｛R岫+0她+…++PM也」Pi，P2，…，Pz，〃”“｝，

⑴求证：对任意实数/€，，均有，访;

(ii)求，所有元素之和.

【答案】⑴氏=3〃-1也=2"；

⑵⑴证明见解析；(ii)2"马(8+(3〃-4)2”+[

【分析】(1)设数列｛4｝的公差为d,数列低｝公比为以9工0),由题设列出关于d和以夕工。)的方程求解，

再结合等差和等比数列通项公式即可得解；

(2)⑴由题意结合(1)求出。川%和〃必4+〃2%&+“・+〃”“*%+凡。也的最大值，再作差比较两者

大小即可证明；

(ii)法一：根据外P2,…,Pz，P”中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将，

中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解；

法二：根据。元素的特征得到。中的所有元素的和中各项。力(k｛1,2,…,〃｝)出现的次数均为2小次即可求

解.

【详解】⑴设数列｛q｝的公差为d,数列低｝公比为q值工0),

2+d=2q+\_d=3

则由题得2

2+2d=2q=q=2'

所以4“=2+3(〃—1)=3〃-1,4=2X2"T=2"；

(2)(i)证明：由⑴e=(3〃一1)2"以=0或H〃也=(3〃一1)，＞。，q+仇.|=(3〃+2)2川,

当PM仇=（3〃-1）2”>0时，

1

设，=*他+PW2b2+...+PAI%"I+pnanbn=2X2+5X2?+...+⑶L4）2"'+（3〃一1）2",

所以2s“=2X22+5X2".+（3〃-4）2"+（3〃-I）2“\

所以—5“=4+3乂（22+23+...+2"）-（3〃—1）2田=4+3'^^1-（3〃_1）2向=一8+（4—3〃）2向，

1—2

所以工=8+（3…）2叫为。中的最大元素，

此时4+也用一A=（3〃+2）2向-[8+（3〃-4）2叫=6-2e-8>（）恒成立，

所以对Me?；,均有

（ii）法一：由⑴得S.=8+⑶-4）2向，为7；中的最大元素，

由题意可得。中的所有元素由以下系列中所有元素组成：

当小，〃2,…，片十几均为1时：此时该系列元素只有S“=8+（3〃-4）2"脚C：个；

当PI，〃2，...，P“T，〃”中只有一个为0,其余均为1时：

此时该系列的元素有S.-岫,S”力2,S0-砧”…，S“一。也共有C；个，

则这〃个元素的和为C5-（她+她+.••+〃也）=©-《用；

当P，…中只有2个为0,其余均为1时：

此时该系列的元素为S〃-咐-初/仃£{1,2,...,〃},加力共有C：个，

则这〃个元素的和为C泣-CL（她+她+...+〃也）=（C：-4心,；

当P],〃2,…，P".I，P”中有2个为0,其余均为1时：此时该系列的元素为

s„-afy-ajbj-akbk（i,j,%w{1,2,〃}”jok）共有C；个,

则这〃个元素的和为C泣-C；_,（岫+砌+...+q"）=©-Ct.）5„；

当小,〃2,…,P1，P”中有〃-1个为0,1个为1时：此时该系列的元素为3"他,…,。也共有CL个,

则这〃个元素的和为c;1S—c普（3+曲+...+O也）=（cr-C用s.；

当8，”2，一・，，1，区均为0时：此时该系列的元素为O=（c：-C3）s“即C：=l个，

综上所述，7；中的所有元素之和为

S“+©T邑+©-CL）s“+（c：-C3）5“+…+（C：T-C=;）S"+0

=[©+c,+…+c丁+c：）-（C3+C；T+…+G=；+C3）]s.

=（2"—2"T）s"=2"Ts"=2f[8+⑶L4）2".]；

法二：由⑴得S.=8+（3〃-4）2用，为7；中的最大元素,

由题意可得

7；=｛邑,S“一。四,S“一a九一”广a^h.-akbk，…,afy+4力八q.4,（）｝,亿j,kw｛1,2,…,〃｝,iw/｛4）,

所以7；的所有的元素的和中各项“A（i£｛L2，.…〃｝）出现的次数均为C3+C\+...+C：，+C3=2小次,

所以。中的所有元素之和为213a她+...+，也）=2"-5"、[8+（3〃-4）2"].

•911

2025高考模拟题

一、单选题

1.（2025•陕西汉中•三模）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，若〃4+e=12,则10=（）

A.30B.40C.60D.120

【答案】C

【分析】利用等差数列的性质可求5吁

【详解】因为｛《,｝为等差数列，故品,=地产位=5（4+?）=60,

故选：C.

2.（2025•江苏南通•三模）在等比数列｛q｝中，勺年%=8,%+必=2。，则（=（）

A.36B.±6C.-6D.6

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质即可求解.

【详解】等比数列｛&｝中6牝%=4=8,••4=2,%=18,

.-.d4=±7^6=±6,由于〃2>。，故4>0，所以%=6,

故选：D.

3.（2025•山东青岛・三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5

人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数

为（）

【答案】C

【分析】设第所得钱数为a.钱，设数列6、%、%、(、%的公差为〃，根据已知条件

可得出关于4、d的值，即可求得出的值.

【详解】设第〃(1工〃45,〃£%)所得钱数为勺钱，则数列4、出、生、出、牝为等差数列，

设数列4、%、。八。八%的公差为"，

5x4q=_

则，"+2,解得<3,故&=4+4d=g-4x;=j.

2q+d=3q+9dd=-％363

故选：C

4.(2025・山西口梁•三模)已知等差数列｛q｝的公差4>0,%=14-%=9,则〃=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根据等差数处的通项公式，将外、内用q和△表示出来，再代入已知等式求解

【详解】由等差数列通项公式4=4+(〃-1)”可得：a2=ai+d,

已知4=1,所以％=1+〃；4=4+2d=।+24.

将出=l+d,%=1+2〃代入嫉一%=9可得：(l+d)2—(l+2d)=9,

则1+2〃+1一1-21=9,化简可得：d2=9,解得d=3或"=一3.

因为已知公差d>0,所以舍去d=-3,得到d=3.

故选:B.

5.(2025・辽宁大连•三模)已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为5”，若邑=2邑-52+6,%=1,则4=()

A.16B.32C.27D.81

【答案】C

【分析】应用S.-S.T=《，再结合等比数列基本量运算计算求解.

【详解】因为S—2S3-S2+6,生=1,贝”-—8+6,

所以4=%+6,

因为的=1，所以/=9+6,夕>0,

所以9=3或9=-2舍，

所以牝=1x33=27.

故选：C.

6.(2025・湖南岳阳•三模)已知S”为正项等比数列｛4｝的前〃项和，%%%=4%，8=7,则4=()

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】等比数列的性质可得6=1,即。4=1,再结合题干条件邑=7,利用等比数列求和公式，得到关

于，的一元二次方程，解出公比即得4的值.

q

【详解】由题意，设正项等比数列｛q｝的公比为4,其中，/>o,

由等比数列的性质可知见%=4%,由题干可得/=1，即qd=l=4=]，

q-

若q=l,则S3=34=3,不合题意，故q*,

所以&=黑出=业"D/（收+力*+”/）=与。=7，

解得'=2或，=一3（舍去），故4=[=4.

qqq

故选：c.

7.（2025•北京海淀••:模）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，

新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十

三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：

1965年1月一41965年5月一81965年9月一121966年1月一4

出生时间•・・

月月月月

新方案法

定退休年60岁+1个月60岁+2个月60岁+3个月6（）岁+4个月•••

龄

那么1970年5月出生的男职工退休年龄为（）

A.61岁+4个月B.61岁+5个月

C.61岁+6个月D.61岁+7个月

【答案】B

【分析】解法一：出生年月在1965年1月一4月的人的法定退休年龄记为4,出生年月在1965年5月一8

月的人的法定退休年龄记为生,出生年月在“65年9月一12月的人的法定退休年龄记为由，…，分析可

知数列｛q｝构成等差数列，求出该数列的首项和公差，即可求出47,即可得解；

解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月，可得结果.

【详解】解法一：根据题意，出生年月在1965年1月一4月的人的法定退休年龄记为4,

出生年月在1965年5月一8月的人的法定退休年龄记为的，

出生年月在1965年9月一12月的人的法定退休年龄记为生，…，

则｛勺｝构成等差数列，首项%-60岁+1个月，公差，为1个月，可得q=60岁+〃个月.

依此规律，1970年5月出生的男职工，他的退休年龄应该是｛%｝的第17项,

即他的退休年龄为&=60岁+"个月=61岁+5个月.

解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月.

出生年

退休年龄

龄

1965.560岁+2个月

1966.560岁+5个月

1967.560岁+8个月

60岁+11个

1968.5

月

1969.561岁+2个月

1970.561岁+5个月

故选：B.

；为,〃为偶数

2.，则卬=（）

8.（2025•山东临沂•三模）在数列｛4｝中，已知4=1,〈%

4+—,〃为奇数

2

.33□3365

焚D.

A.64128

【答案】B

【分析】根据给定的递推公式求出生。t即可求解.

【详解】依题意‘%"+1=g（/”T+g），则。2”+1-而

因此数列他是以3为首项，3为公比的等比数列，

则〃2“TT=（J）"，=；+4）"，所以当〃=6时，％=；+4）6=言.

22222264

故选：B.

9.（2025•河南三门峡•三模）已知数列｛q｝的前〃项和是S”，若3=（-1严4+〃（“22）,〃£^,则『25=

（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】由数列的通项与前〃项和的关系，分别令〃-2027,n-2026,解方程可得所求值.

【详解】数列｛《,｝的前〃项和是弟，若S.二（-l严可+〃（在2）,〃wN',

则当〃22时，S.T=（-

两式相减可得=（一1严%-（一1）”%+1（，此2）,

当〃=2027时，，。27=%。27+%）26+1，解得。2。26=一1，

当〃=2026时，4（）26=一〃2026—%）25+]，解得d2O25=3.

故选：D.

10.（2025•江苏苏州•三模）已知数列｛q｝满足则（）

A.%>a,B.a>-

n2

C.1013。2025VlD.2025a202s<1

【答案】C

【分析】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD.

【详解】对于A,由也=1一；4,得对=。，>。，

则4>%+i，A错误;

anZ2

对于B,由q=l,得生=；，当拉23时，B错误;

对于CD,由「呆,得6=2]=（2-/）+%__1।一1

E则

a,向（2-an2-aJ

111I1.〃-1n+\

即二一二二，则当》时，—=—+-------+---------+・・•+---------->1+

%%2-q2-a22-a122

1,1〃+1

-2ss1013x2,

­二1,因此一Nf,a<f1013a，o,5<-----------=1,

%42n~n+\-°-52026

2。25。2025V有冷，而嗡Z>],c正确，D错误.

202o202o

故选：C

H.（2025・重庆•三模）数列｛a〃｝满足q+3=a〃+q,+]-q+2（〃NL〃eN），M4=L电=I,%=2,则（）

A.«2024=-1011B.%024=-10】2

C.生。”=1013D.«2025=1014

【答案】C

【分析】求出前12项，观察奇偶项规律可得，奇数项构成首项为1公差为1的等差数列，偶数项构成首项

为1公差为-1的等差数列，再利用等差数列的通项公式求解库可.

【详解】因为数列口｝满足q+3=。〃+——4+25N1，〃€N）,且4=1,々=1，%=2,

所以+%一%=1+1-2=0；

%=/+%-4=1+2—0=3；

〃6=%+-%=2+()-3=-I;

%=«4+a5~a6=0+3-(-l)=4.

仆=%+牝-%=3+(-1)-4=一2；

4o=0+4-佝=4+(-2)-5=-3;

41=6+〃9-40=(-2)+5-(-3)=6；

《2=%+%o-41=5+(—3)—6=-4；

观察奇偶项规律：

奇数项：4=1吗=2吗=3,，=4,，=5,即=6,构成首项为1公差为1的等差数列，

令〃=2k-l,贝!)&=，■i•,通项公式为％t=%IT=1+(%-l)xl=k=g^;

偶数项：生=1,q=。4=7吗=-2M。=-3,%=-4,构成首项为1公差为T的等差数列,

令n=2k,贝必=微，通项公式为/=%*=1+(Z-I)X(T)=2-A=2-1,通项公式为勺=2-；,

2024

^24=2—y-=-1010,选项AB错误；

生o»=W^=l°13,选项C正确，选项D错误•

故选：C.

12.(2025・上海•三模)设数列｛3｝的各项均为北零的整数，其前，，项和为S”.设3为正整数，若•为正

偶数时，都有勺之2q恒成立，且S?=(),则5。的最小值为()

A.0B.22C.26D.31

【答案】B

【分析】不妨设0>。，/<。，要使得几取最小值，且各项尽可能小，根据题意，分别列出%，%，6，%，

%,〃9,%。，满足的不等式组,，得到q0的最小值2%,进而求得4=1时，九有最小值，即可求解.

【详解】因为S,=q+d=。，所以4%互为相反数，不妨设4>00<。，

要使得凡取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，

由题意知，出满足为之2《，取心的最小值为2%,

｛a.>2a.

则为满足1，因为6>0,4q>2q,故取火的最小值46，

a5>2%24q

a-,>2q

%满足9之2%"a1,因为4>0,8^>4a,>2alf故取知的最小值84,

>2as34%之8q

aa

同理，取。9的最小值1同，所以4++5+%+%=\+同+同+同+16%=3\a｛,

由满足。4N2生，取出的最小值2的，

4满足厂，因为生<0,所以加2>4%，取4的最小值2生，

ab>2a4>4%

卬22%

出满足，2,因为生<0，所以24>4%>8%,取用的最小值2a2,

.>2a&>4%N8a2

同理，取％o的最小值2a2，所以/+/+4+6+60=%+242+2。2+2%+2%=9生,

所以So=31q+9/=31q-9q=22a,,

因为数列｛q｝的各项均为非零的整数，4>。，所以当4=1时，、。有最小值22.

故选：B.

二、多选题

13.（2025・广西河池•二模）已知数列｛q｝满足％川=巴三且4=2,则下列说法正确的是（）

n

I

A.a.=--

B.数列｛《J是周期数列

C.是等差数列

I凡+1J

D.数列｛《：｝的通项公式为q=

3〃一1

【答案】ACD

【分析】根据给定的递推公式，依次计算判断A；变形给定的递推公式，结合等差数列定义判断BCD.

a1a-11

【详解】对于A,由4=2,得七=花=产=*=-"人正确;

12a+21«+3(a+1)+211

对于BC,由，Z+1=会不得------=-....=--------=-+-----

+3寸.+12an+22(an+1)2an+1

则上一六号'数列｛煦｝是首项为:'公差为g的等差数列'B错误'C正确;

对于D，1~匕=:+：（〃-1）二与‘，贝！K+lN'T、，解得D正确•

。”+13，o3〃-13n-1

故选：ACD

14.（2025♦四川成都•三模）已知公差为1的等差数列｛qj满足%％成等比数列，则（）

A.4=2

B.｛4｝的前八项和为当勺

C.<—!的前8项和为1

18

D.｛(-1)"),｝的前50项和为-25

【答案】ABD

【分析】根据等差数列通项公式及等比中项列方程求解判断A,由等差数列求和公式判断B,利用裂项相

消法求和判断C,根据通项公式并项求和可判断D.

【详解】对于A,因为外见9成等比数列，所以。回=必，即4■+6)=(4+2)2,解得4=2,故A正确；

对于B,｛4｝的前〃项和为-(2；+1)=巴要,故B正确；

1111

对于G因为/；=(〃+1)(〃+2)=—1一*工,

所以ti?｝的前8项和为身+W鹫4十*1，故C错误；

对于D,因为(T广&=(-1产(〃+1),

所以｛(—)"%“｝的前50项和为2—3+4-5+…+50—51=—25,故D正确.

故选：ABD

15.(2025•广东茂名•二模)等差数列㈤｝中，/+为=-12,%+的=2.记数列｛《｝前〃项和为S“，下列选

项正确的是()

A.数列｛/｝的公差为2B.S。取最小值时，〃=6

C.S4=S7D.数列*“|｝的前10项和为50

【答案】AD

【分析】根据等差数列通项公式得关于外"的方程，解出则得到工，最后一一判断选项即可.

4=2

【详解】对A,设等差数列｛q｝的公差为4,则由题意知

a,=-9

解得,c,故A正确；

4=2

nn22

对B,4=-9+2(〃-1)=2〃-11,Sn=-9n+^^x2=n-I0n=(H-5)-25,

则当〃=5时，S”取最小值一25,故B错误；

对C,S4=4?—10x4=-24,S,=72-10X7=-21,贝J)S,wS?,故C错误；

对D,数列｛㈤｝的前10项和为卜9|+|-7|+|-5|+|-3|+|-1|+1+3+5+7+9=50,故D正确.

故选：AD.

Z\

16.(2025・湖北黄冈•三模)已知数列｛%｝的前〃项和为工，为sin加+g+4川=〃.则下列式子的值可以确

定的是()

A.Si。？B.S］0GC.4+%04D.42+400

【答案】BCD

【分析】推导出。2间+。2“-1=1，出“+2+/0=4〃+1,其中%-4=1，%+4的值不确定，然后利用分组求

和法可判断AB选项；利用并项求和法可判断CD选项.

【详解】由题意得，a”cos(/m)+%=〃，即4川+(-1)"%=〃，〃eN",

所以生”一生1二2〃-1,%的+生”=2〃，生“+2一生二2〃+1,,?eN\

可得外向+=1，。2”+2+生”=4〃+1,

由此可得数列中相邻两奇数项的和可以确定，相邻两偶数项的和可以确定，

其中%-4=1,%+6的值不确定.

对于A选项，5102=%+4+(%+%)+(%+%)+••.+(如+4oJ

+(%+%)+(/+4。)+一・+(400+602),

其中4+6的值不确定，故选项A错误；

对于B选项，S100=4+%+…+4oo=(q+4)+(%+%)+•••+(%+%)

+(/+4)+(%+/)+,•+(/+%o)»

每一组数都可以确定，故选项B正确；

对于D选项，/+400=(。2+4)-(4+%)+…+(0+400)

一［［%+%)+(%+%。)+.一+(阳+为8)］，

每一组数都可以确定，故选项D正确；

对于C选项，因为知+|+。2”=2〃，故(生+。3)+(。4+%)+…+(4O2+4O3)，

因为S3=(%+%)十(%十%)+…十(％oi+“3)

+3+。4)+(4+%)+…+(402+%”)，每一组数都可以确定，

则4+4(M=SQ-生+%)+(/+)+…+(《02+《03)］为定值，故选项C正确.

故选：BCD.

17.(2025・湖南长沙•三模)已知数列｛q｝的前〃项和为S.,4=1,且何用-⑷=p〃，则下列结论正确的是

()

A.若｛%｝是递增数列，且3q、4%、5%成等差数列，则p=]

B.若〃=g,且｛/“_J是递增数列，｛%”｝是递减数列，则狐+

C.若〃=1,则存在数列上“，使得当〃=软心€叶）时，S.=〃

D.若〃=1,则存在数列｛4｝,使得当〃=4攵-l（AeN"）时，5'=〃

【答案】ABC

【分析】由｛4｝是递增数列，先得到，=再由网,4生,5%成等差数列，％=1,列出方程求出P的

值，即可得出结果,可判断A选项;先由题中条件，得到的“-"7>0，，““-。2〃<°，推出/一"=怨上，

再由累加法，即可求出数列｛〃”｝的通项公式，可判断B选项；由=得到。.=凡±1；讨论〃=软

或〃=42-3仅".）；〃=必-2或〃=4&-1（攵6.）两类情况，即可分别得出结论，可判断CD选项.

【详解】对于A选项，因为｛〃,,｝是递增数列，所以4用-4=|。向-。“|="'.

因为6=1，所以4=1+〃，/T+P+P，

又因为34、4电、5%成等差数列，所以8%=3%+5%,

即8。+〃）=3+5（1+〃+/）,即5P2_3p=0,解得〃=0或〃=|.

当p=。时，。向=外,这与®｝是递增数列相矛盾，所以〃=g,A对；

对于B选项，因为是递增数列，则有《e-小小>。，

于是（%+—%）+⑸-叫）>0①

因为表<备，所以⑸+1-〃2」J②

由①、②得，生”一生3>。，

因此%-*=（fT，即知—霁③

又因为｛%」是递减数列，贝！1有%.2一%,<0,于是（。+2一%用）+（%「。2“）<0④

因为备〈表，所以|%”+2-%/<|%用-〃2』⑤

由④、⑤得，。2”+1-42”<。，

因此--隙，即—乎⑥

（-1严

由③、⑥可得q“+I■一〃=------■

3”

于是当“之2时，可=4+（出一《）+（%一。J+…+（勺一/1）

3323小3,4443”“

日n51(-1)M

即a=—+—x----—.

”n44

当〃=1时，代入上式得6=1,与已知条件相吻合.

所以所求数列｛〃”｝的通项公式是+77GN\B对；

对于CD选项，当〃=4攵或〃=4&-3pcN）时，存在数列｛%｝,使得S.=〃.

此时数列｛为｝满足4卜3=《1=1，*2=0,恁1=2,

ALAb—4

则有%=j（l+0+l+2）=4A,S4k,3=a｝+-^—x（0+l+2+l|=4^-3,

即，n=〃.

当〃=软—2或〃=4A-l（AwN）时，不存在数列｛叫，使得S“=〃.

理由如下：因为心"I-。」=1,所以4+|=q±1;

又因为q=1为奇数，则当〃eN,时，/a为奇数，X为偶数,

所以当AeN•时，S*2为奇数，S’-为偶数，

因此%_2=必-2,5皿=以-1均不可能成立.

于是当“=4%-2或〃=以—l（AaN'）时，不存在数列｛%｝,使得S”=〃，C对D错.

故选：ACD.

三、填空题

18.（2025.广东揭阳•三模）已知正项等比数列｛《,｝满足％=1,6%,4%成等差数列，则其公比为

【答案】3

【分析】由等差中项公式和等比数列通项公式直接计算即可求解.

【详解】设㈤｝的公比为4（4>0）,

又因为6q,6，4%成等差数列，

所以2%=6《+4生，可得d-24-3=0,解得9=3或“=-1（舍去）・

故答案为：3.

19.（2025•河南许昌•三模）设S.是等比数列｛q｝的前〃项和，q-q=3,4-%=6,则*=

【答案】21

【分析】设等比数列｛&｝公比为心根据已知条件求出《、，/的值，再利用等比数列的求和公式化可求出反

的值.

【详解】设等比数列｛4｝公比为4,当4=1时，4=%=%，此时生-4=。，与题意不符，

a.-ch=a.q（q-\]=6,一二3

所以夕工1,由题意可得J，解得

由等比数列求和公式得s「平二LN=L21.

I-qI-2

故答案为：21.

20.（2025・北京•三模）已知等比数列｛q｝的前〃项和为S”,满足卬=1,2S”=3%.「3.则邑为—；满足S”>5

的最小的整数〃为—.

【答案】|3

【分析】将〃赋值可求得的,即可求得S?；根据4,求出S”，进而解不

等式即可求解.

【详解】•••4=1,2s“=3凡「3,

当〃=1时，$=4=1,贝lj2s1=34一3,二.生=3，

。.58

3、=a.+a-,=1+—=—•

--33

•・•｛%｝是等比数列，设公比为明，。=&二3，

35

In巨

化简得信丫〉两边取自然对数并整理得，2.87,故最小整数〃=3,

⑴3in

3

当〃=3时，S3=|（|）-1«5.44>5,满足条件.

Q

故答案为：-；3.

21.（2025・浙江・二模）己知数列｛叫和佃｝满足卬=1,々=0,4,*=34—2+4,4%产3么一q—4,则

凡一"=•

【答案】2zi-l

【分析】先根据等差数列的定义得出数列｛«=2｝是等差数列；再根据等差数列的通项公式即可求解

【详解】因为4a向=3%-。+4,4%=3“-q,-4,

所以两式相减可得：4（…％）=4（4-2）+8,即/-%=（4也）+2.

所以数列｛4-4｝是以6-4=1为首项，2为公差的等差数列，

故%-"=1+2（〃-1）=2〃-1.

故答案为：2n-\.

22.（2025•天津•二模）数列｛《,｝的项是由1或2构成，且首项为1,在第k个1和第A+1个1之间有个

2,即数列｛q｝为：1,2,1,2,221,2,222,2,1，….记数列｛4｝的前〃项和为S"，则S?*：

【答案】364005

【分析】根据数列｛4｝得到构成，直接观察1和2的个数，再求5?。；观察数列｛q｝,利用等差数列的求和

公式，确定数列1和2的个数，再求和S2

【详解】由条件可知，前20项有4个1,2的个数为1+3+5+7=16个，

所以数列｛%｝的前20项的和为S”=4+16x2=36；

前上+［个］之间有（1+2&二1）&个2,

2

所以k+1个1和二个2的个数为公十