2025-2026学年甘肃省安阳市环县某中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2025-2026学年甘肃省安阳市环县一中高二（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共9小题，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数中，随双%>0）的增大，增长速度最快的是（）

A.y=1B.y=xC.y=2XD.y=ex

2.已知集合力={x\xW1或％之21,B=[x\a-l<x<a+l],若力UB=R,则实数a的取值范围为（）

A.1<%<2B.1<x<2C.1<x<2D.1<x<2

3.一组数据由几个数组成，其中这几个数的平均数为a,若在该组数据中再插入一个数字a则这组数据（）

A.平均数变大B.方差变大C.平均数变小D.方差变小

4.若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数y=

[1,2]与函数y=[一2,—1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函

数”的是（）

x3

A.y=（1）B.y=xC.y=log2xD.y=|x-1|

5.已知m,n是不同的直线，a,£是不同的平面，则（）

A.若a〃入m//a,n〃£,则m//nB.若。〃/?,mA.a,n//^,则m〃八

C.若a>!_/?,mLa,nip,则m_L?iD.若a_L0,m//a,n//p,则m1几

6.命题p：Vxe[-1,1],dvQ为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>1B.a<0C.a>2D.a<1

7.已知Wsizia—'cosa=h，则cos（2a+今）的值为（）

A.BC'|口]

8.已知tana=2,tan（a+«=-l,则;黑;幺=（）

AiiB.52C.21

9.已知乙瓦7均为单位向星，且3日十万I=-2«@•方，贝人）

A.a1（a+2b）

C.当实数t变化时，|五+正|的最小值是^

D.若V7,a>=<a,"b>,则五•6-3）=0

二、多选题：本题共2小题,共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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10.已知复数Zi，Z2互为共扼复数，则()

A.㈤=\z2\B.Zj-z2=Ml•㈤

D•郎=屐)2

11.已知实数x,y满足谟＜。"0＜。＜1),则下列关系式恒成立的有(

A.x5>y

C.\n(x-y+1)>0D.sinx>siny

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.a=(2,l)5=(m,-2),若方与石的夹角为钝角，则血的取值范围是____.

A

13.函数/(%)=2-|log05x|-1的零点个数为_____.

14.在三棱锥P-A8C中，LPCB=LABC=90°,PC=2,AB=3,BC=4,AP=V~29,则该三棱锥外接

球的表面积为______.

四、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题14分)

已知函数/•(%)=舞是定义在［-1,Q+可上的奇函数.

(1)求/(%)的表达式；

(2)判断/(%)在区间［-1,Q+b］上的单调性，并证明你的结论.

16.(本小题15分)

已知函数f(%)=2sinxcosx+2cos2x—1.

(1)求/(%)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若aW(，弓与且/'(a)=乎，求cos2a的值.

17.(本小题15分)

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ccos?=asEC.

(1)求角力的大小；

(2)若Q=2,当△力BC的周长取最大值时，求△/18C的面积.

18.(本小题17分)

某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率

分布直方图.

(1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数(保留小数点后一位〕和平均数(单位：分)：

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(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[50,60),[60,70),[70,80)三层中抽取一个容量为6的样本,

再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格(大于等于60分为及格)的概率.

19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，侧面J■底面;4BCD,底面ABC。为矩形，PA=PB,。为八8的中点，OD1PC.

(1)求证：0clpD；

(2)若。。上存在点M,使得。M〃平面PBC,求为的值:

(3)若PD与平面P8C所成角的正弦值为手,48=2,求四棱锥的P-A8CD的体枳.

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由题意得到函数不单调才能符合要求，48。错误，。中y=|x-1|不单调，且可举出实例.

本题主要考查函数值域的求解，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：A：若a/",m//a,n//p,则m//n或m,n异面或m,n相交，故/错误；

B：若a///?,m1a,n///7,则m1n,故8错误；

C：若a_L夕，77i_La,n1/?,则771J.n,故C正确；

Dt若al./?,m//a,n///?,则7nln或m,九相交，或m,n异面，故。错误.

故选：C.

由面面平行，线面平行的性质可得力错误；由面面平行，线面垂直的性质可得8错误；由面面垂直，线面

垂直的性质可得。正确；由面面垂直，线面平行的性质可得。错误.

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题.

6.【答案】C.

【解析】解：因为p：VxG[—1,1]*%?v。为真命题，

因为04工241,

所以Q>1，

故p为真命题的一个充分条件为a>2.

故选：C.

结合仝称量词命题的真假关系先求出p为真时a的范围，然后结合选项即可求解.

本题主要考查了全称量词命题真假关系的应用，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：sina-^cosa=

由辅助角公式可得，sin(a

•5J

所以cos(2a+=-cos(2a—穹)=2sin2(a—-1=—

故选:A.

根据两角和差正弦公式及二倍角余弦公式计算求解.

本题主要考查了和差角公式，诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】【分析】

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本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.

根据tsi/?=tan[(a+/?)-a],结合两角和差的正余弦公式与同由三角函数的关系化简当三号求解即可.

【解答】

解：因为tana=2,tan(a+/?)=-1,

所以tan/?=tan[(a+/?)—«]=:=二=3,

f一」i+tan(a+0)tana1+2x(-1)

rj-pisin(ct-/?)_sinacosfi-cosasinfi_tana—tanft_2-3_1

cos(a+。)-cosacos/?-sinasin/?-1-tanatan/?-1-2x3一5,

故选：。.

9.【答案】D

【解析】解：因为高工：均为单位向量，且|3五+臼=-2"5反

所以10+6方•b=280・石产，解得五•b=£或,•匕=—今

对于4当五.石=飘，a-(a+2b)=a2+2a-?=l+y*0,

所以五与五+21不垂直，故力错误；

对于8,当五不=?时，|五+瓦=J/+J2+2五•4=声二空

当心力=—；时，|3+石[=]方2+,+21・\=\/2-1.=1,故8错误：

对于C,当N•石=,时，|五+而|=J出+1+2也•石=J(t+H7)2+1一伍.1)2=J(t+、)2+4工2^5,

当整1=,时，|a+tb\=Vt2+l+2ta-~b=J(t+a-b)2+1-(ab)2=故C错误;

对于0,因为V：,a>=<a,b>,且优b,：均为单位向量，

所以五二二五•无所以瓦・石一五二二0,即五•(石一：)=0,故。正确.

故选：D.

由条件及向量的数量积运算可得五不=，或=-热计算五,0+26的值判断4由向量模的求法计算成+

H的值判断8：由向量模的运算和二次函数的最值求解可判断C；由数量积的定义计算可判断D.

本题考查平面向量的数量积与模的计算，属于中档题.

10.【答案】ABC

【解析】解：因为复数zi，Z2互为共辄复数,所以设句=。+为则Z2=a—6,a,bER,

22

对于4,0|=\z2\=>/a+h,故A正确；

2222

对干8,ZiZ2=a+b,\zx\•\z2\=a+bt故5正确；

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2222=_22

对于C,Zj-z2=2bi,|Zi-z2\=(2b)=4d-(zx—z2)(2bi)=4b,故。正确；

对于D,设z1=l+i,z2=1-i,贝吟=含=(£；(?；.)=»,

则已产=川2=1,(/)2=j2=-1,故。错误.

故选:ABC.

根据共轨复数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

本题考查复数的运算，模的求解，属于基础题.

11.【答案】AC

【解析】【分析】

本题主要考查了指数函数、幕函数、对数函数和正弦函数的性质，是基础题.

由指数函数的单调性可知x>y,再结合基函数、对数函数、正弦函数的单调性逐个判断各个选项即可.

【解答】

解：•.,实数》,y满足Q*<tzy(O<c<1),

x>y,

对于选项小函数,=必在R上单调递增，所以％3>y3,故彳恒成立，

对于选项&取x=l,y=-2,则！>L故8不是恒成立，

%y

对于选项C：：%-y>0,,％-y+1>1恒成立，ln(x-y+1)>0恒成立，故C恒成立，

对于选项。：取％y=p贝ijslnx<故。不是恒成立，

故选:AC.

12.【答案】｛m|m<1且m。一4)

【解析】解：由万=(2,1),「=(成一2),益与石的夹角为钝角，

可得3•]<()且苍与E不共线，

则有图；窦〉2)，解得m<l且m~4,

即实数m的取值范围是｛?川m<1且m=一4].

故答案为：｛m[m<1且m,一4｝.

根据夹角公式，将方与E的夹角为钝角转化为两向量的数量积小于0求解，要注意此时向量不能共线.

本题考查向量夹角与数量积的关系，考查向量的坐标运算，属基础题.

13.【答案】2

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【解析】【分析】

本题考查函数的零点与方程根的美系，函数图象的应用，属于中档题.

r

函数/(%)=2|logo,5x|-1的零点个数，即方程2X|logo.s%|-1=0根个数，即方程|logo.5%l=弓尸根个数，

即函数y=|logo.5刈与y=(；尸图象交点的个数，画出函数图象，数形结合，可得答案.

【解答】

x

解:函数/(%)=2|log05x|-1的零点个数,

即方程2，logo.5%l-1=0根个数，

即方程|10go.5X|=弓尸根个数，

即函数y=|logo.5Xl与y=弓尸图象交点的个数，

在同一坐标系中画出函数y=|logX5x|Sy=(g)x图象，如下图所示:

由图可得：函数y=|logo,5M与V=(，图象有2个交点,

x

故函数/(%)=2|log05x|-1的零点有2个，

故答案为：2.

14.【答案】297r

【解析】解：解法一：如图：

图I

因为，PCB=44BC=90°,PC=2,AB=3,BC=4,AP=29,

所以P8=VPC2+BC2=2<5>AC=AB2+BC2=5，

由PB2+AB2=29=PA2=PC2+AC2可得248P=4ACP=90',

取PA的中点0,连接OB,OC,

易得08=0C=PA=OP=0A=

所以点。为三棱锥P-ABC的外接球球心，且球。的半径R=学，

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故该三棱锥外接球的表面积为4漉2=297r.

解法二：由已知及法一分析，可籽三棱锥P-48C补形成长方体，如上图所示:

则三棱锥P-4BC的外接球直径即长方体的体对角线长，

又PC=2,AB=3,BC=4,则长方体的体对角线4P=V2?+32+4?=，为,

所以三棱锥尸-4BC外接球的半径R=卓，

故该三棱锥外接球的表面积为4TTR2=297r.

故答案为：297r.

解法一：通过计算边长，借助于勾股定理可得乙IBP=41"=90。取PA的中点0,连接。8,OC,易得。8=

0C=^PA=0P=0A=^即可得到点。为三棱锥P-ABC的外接球球心，求出其半径即得其表面积：

解法二：将三棱锥补形成一个长方体，根据长方体的体对角线长即三棱锥P-48。的外接球直径，求出其半

径即得其表面积.

本题考查三棱锥外接球的表面积的求解，属中档题.

15.【答案】/(%)=篇;

/(%)在［-1,1］上单调递增，详见解答过程

【解析】(1)因为函数f。)=线是定义在［-1,Q+加上的奇函数，

所以Q+/)=1,

又/(-1)=-/(1)，

所以u=_"

'"△1+a1+Q

即6—2=—b—2,

所以b=0,Q=1,

此时/(%)=备，经检验/(一切=一/(乃，符合题意;

(2)/(%)=备在［-1,1］上单调递增，证明如下：

任取一1<%i<x2<1,

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则勺一工2<0，1-/工2>。，1+比>0,1+名>0,

皿|“一、一、,、_2xi2X_2X(1+X^)-2X(1+^I)_2(x-x)(l-xx),八

则/(与)—八"2)一同一项2一1(1+耳)(1+尺2)--(11+耳2)(1+珍12V

所以/■。1)</。2)，

所以/•(%)在上单调递增.

(1)由奇函数的定义域及奇函数的定义即可求解a,b,进而可求函数解析式；

(2)结合函数单调性的定义即可证明.

本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题.

16.【答案】丁=兀，单调递增区间为[一言EZ)；

/2

而

【脩析】解：(1)因为/(%)=2siriTCOs无+2cos2%—1=s)2x+cos2x=V^sin(2%+3),

所以7=m

令一日+2而W2%+JWJ+2kMkeZ),解得一^+kn<x<1+kn(kEZ),

所以/。)的单调递增区间为[一萼+kn，l+kn](keZ)：

oo

(2)由(1)可得/'(a)=/2sin(2a4-y)=4三所以sin(2a+

因为所以六2a+*<J

所以cos(2a+')=-',

所以cos2a=cos[(2a+^)-^]=cos(2a+^)cos^+sin(2a+：)si吟

~(-5)X—+5X-.

(1)利用二倍角公式降暴，再由两角和的正弦公式化简，最后由正弦函数的性质计算可得；

(2)利用同角二角函数关系结合角的范围求得cos(2a+^).然后由两角差的余弦公式代入求解即可.

本题主要考查了正弦函数性质的应用，还考查了和差角公式的应用，属于中档题.

17.【答案】4=宗

73.

【解析】解：(1)因为ccos?=asinC,由正弦定理得sECcosg=sizMsinC,

因为sinC芋0,所以cos[=sim4.

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又因为sim4=25加义。5今且cos红0,所以sin?=g,

乂因为力6(0,7T),y6(0,y),

所以J=3即4=*

ZO3

(3)在4A8C中，由余弦定理a?=b2+c2-2bccosA,

得4=(b+c)2—2bc—2bccos^,即(b+c)2-4=3bc<3(^^)2='(b+c)2,

所以;(b+c)2<4,(b+c)2<16,b+c<4,当且仅当b=c=2时取等号，

所以周长的最大值为Q+b+c=6,

此时面积S=^bcsinA=

⑴根据正弦定理得到cos?=sin儿再根据倍角公式得sin?=鼠进而得到4=%

ZLLS

(2)根据余弦定理得4=(b+c)2-2bc-2bccosg再利用均值不等式得b+c<4,当且仅当力=c=2时

取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积.

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.

18.【答案】(1)(0.005+0.010+0.015+%+0.040)x10=1,则x=0.030,

•••0.054-0.1+0.15=0.3<0.4；0.3+0.3=0.6>0.4,

故40百分位数在［80,90),

则40百分位数为80+第累x10今83.3,

U.O-U.o

平均数为55x0.05+65X0.14-75x0.15+85x0.34-95x0.4=84：

(2)因为按比例分配的分层随机抽样，故[50,60),[60,70),[70,80)三层中抽取的样本量分别为:

6x。°5=1

0.05+0.10+0.15-'

6x"I-2

0.05+0.10+0.15

6x°.5_3

0.05+0.10+0.15

从这6人中随机抽取两人，

记[50,60)中抽取的人编号为1,

[60,70)抽取的人编号为2、3,

[70,80)抽取的人编号为4、5、6,

记事件A="抽取的两人都及格”，

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a={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},

所以n（。）=15,

4={(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},

所以n(4)=10,

所以P6）=黯

t解析】（1）由频率分布直方图计算可得x，再借助百分位数的定义与平均数定义计算即可得;

（2）先借助分层随机抽样定义计算出从[50,60）,[60,70）,[70,80）三层中抽取的人数，并给抽取出的人数进

行编号，结合古典概型公式，计算出所有可能的样本空间数即符合要求的样本空间数即可得.

本胭考查频率分布直方图的应用，考查古典概型的概率公式，是中档题.

19.【答案】证明见解析:黑号.

【解析】（1）证明：在四棱锥P—中，连接。P,

因为P4=PB,所以POJLAB,

又因为侧面PA81底面力BCD,侧面7MBCl底面ABC。=48,POu侧面P4B,

所以PO1平面ABC。，又ODu平面48CD,所以P。1。0,

又因为OO1PC,POCPC=P,PO,PCu平面POC,

所以。。1平面P。。，

又因为OCu平面POC,所以OOJ.OC,

乂PO1平面/BCD,OCu平面4BCD,则P。1OC,

因为POnOD=O,PO,ODu平面POD,所以OCL平面POD,

又因为PD