2025年新高考数学一轮复习（基础版）基本不等式

§1.4基本不等式

【课标要求】1.了解基本不等式的推导过程2会用基本不等式解决简单的最值问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.基本不等式：加运粤

(1)基本不等式成立的条件：公>0,方X).

⑵等号成立的条件：当且仅当a=b时,等号成立.

⑶其中华叫做正数小力的算术平均数，标叫做正数。，。的几何平均数.

2.利用基本不等式求最值

⑴已知x,y都是正数，如果枳孙等于定值P,那么当产)，时，和工+y有最小值2杯.

(2)已知心)，都是正数，如果和x+)，等于定值S,那么当工=)，时，积孙有最大值扣.

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

【常用结论】

几个重要的不等式

(1)/+护22a伙a,〃£R).

(2弓+，23，力同号).

(3(”,/?GR).

(4)"传抄3,b£R).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

【自主诊断】

1.判断卜列结论是否止碓.(请在拈号中打"J”或"X”)

(1)不等式他与等号成立的条件是相同的.(x)

(2)y=工+：的最小值是2.(X)

(3)若文>0,>>0且x+y=xy,则孙的最小值为4.(J)

(4)函数尸sinx+J-；,xE(O,今)的最小值为4.(X)

sinx\乙)

2.（必修第一册P48习题Tl（l）改编）若函数./U）=X+TE（Q2）在x=a处取最小值，则G等于

（）

A.1+也B.1+^3C.3D.4

答案C

解析当x>2时，A—2>0,40=。-2）+占+222\%-2）•占+2=4,当且仅当x-2

=±。>2）,即x=3时，取等号，即当./U）取得最小值时x=3,即a=3.

3.已知（XE1,则双1一力的最大值为（）

B.1C.-j^D.1

答案A

解析因为0<r<I,所以I-Q0,

所以,双1一工）<（-—）2=不

当且仅当工=1-乂即X=g时，等号成立，

故x（l—X）的最大值为小

4.（2023・重庆模拟）已知x>0,）>0,x+y=l,则的最小值为________.

xy

答案4

解析由彳+），=1得：+卜=6+9。+州=2+++：22+2\^=4,当且仅当时，等

号成立，即的最小值为4.

xy

■探究核心题型

题型一直接法求最值

例I（1）（多选）下列代数式中最小值为2的是（）

A.B.2叶2r

C.D.—T+2+I心

Ayjx-■F2

答案BC

解析选项A中，当工<0时，函数y=x—=单调递增，无最小值，不符合题意:

选项B中，2、+2122明声=2，当且仅当x=0时，等号成立，满足题意；

选项C中，『+七2=2,当且仅当工=±1时，等号成立，满足题意;

选项D中，迎+2+7,+产27'f+2.7：+3=2,当且仅当时,等号

成立，但此方程无实数解，不符合题意.

⑵已知X,），为正实数，且满足4x+3y=12,则孙的最大值为.

答案3

解析由已知，得12=4x+3），22q4.iSy,

即1222匹不，

解得x）W3（当且仅当4x=3y时取等号）.

思维升华对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式守元

成立的前提条件为。>0,b>0：二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号

的条件，即等号成立.以上三点块一不可.

跟踪训练1（1）下列函数中最小值为4的是（）

A.），=f+2x+4

B.尸2计22。

4

C-ksinM+闲

4

D-)'=1门+/

答案B

解析对于），=『+2丫+4=。+1尸+3,

当x=-l时，函数的最小值为3,故A错误；

），=2'+22r=2、+未22、^U=4,当且仅当尸|时取等号，故B正确;

〉'=|sinx|+而^22y|sin升而^=4,当且仅当|sin人1=诉时取等号，

4

由于丁山加=而三时,|sin「=2,

根据正弦函数性质可知|sinx|=2不成立，

4

故），=|sinM+需《24取不到等号，故C错误;

4

对于丁=3工+而？由于Inx可能小于0,

即），=1"丫+舟的函数值可能为负值，故其最小值为4不成立，故D错误.

2

跟踪训练2（1）已知xvO,则自一x的最小值为（）

A.2吸B.4

C.272+1D.26一1

答案D

解析因为x<0,贝U1—G1,不二一x="jT=+（l—幻-lezd'jT，?。—x）—1=2g一I,

当且仅当亡=1—X,即X=1—6时取等号，

所以=一.1的最小值为2^2-1.

⑵已知正数x,），满足％+2y=2,则"的最大值为（）

A.2B.1C.1D.；

答案C

解析因为正数x,y满足x+2y=2,

所以孙=1r（2y）W要苧｝==

当且仅当x=2y,即x=1,时取等号，

所以外的最大值为;.

题型三常数代换法求最值

例3⑴已知正数小〃满足则8〃+》的最小值为（）

A.54B.56C.72D.81

答案C

解析8〃+〃=（8a+〃）（J+，）

64a、4b,.」八164a4b，…

=丁+丁+4。22y丁工+40=72,

Azl//4〃

当且仅当詈=拳即。=6,0=24时取等号.

延伸探究已知正数。，〃满足8。+4〃="，则8。+〃的最小值为.

答案72

解析V8a+4b=ab,a>0tb>0,

・・・8a+b=(8a+磁+§

64。।4b।164a4b一

=方+工+4022y丁1+t4。=72,

当且仅当华=?，即。=6,。=24时取等号.

(2)(2023•太原模拟)已知非负实数小〃满足〃+6=1,则工+士的最小值为()

“十1。十2

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析因为非负实数。，力满足〃+力=1,

所以伍+1)+(〃+2)=4,

所以%S+1)+S+2)]=1,

所以击+出

=然+1)+伯+2)】(击+出)

小+岩+墨

((C/〃+24+|1

2v+2=1.

b+2a+1

当且仅当'a+l-8+Z'即，，

时取等号.

b=()

综上，木+出的最小值为L

思维升华常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然

后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“I”的表达式与所求最值的表

达式相乘求积或相除求商.

4I

跟踪训练3⑴若心0,心0且/〃I〃=2,则五I3的最小值是()

59

A.2B.5C.3D.5

答案D

解析因为6>0,〃>()且加+〃=2,

所吟+沁m+礁+沪

42

--

4/加Z

-〃-

3等号成立.

3'

(2)已知。>彳，%,且2a+b=2,则］li+z的最小值是()

乙11

45

-C2D-

A.32

答案C

解析因为2a+b=2,

所以（4〃-1）+（2人-1）=2,

则卷++=%（4。-l）+（2b—1力•（出+^?）=5捐+^1+2）22,

2b—14a-1

当且仅当

4a~\2/7-T

即。=+b=\时，等号成立.

题型四构造不等式法求最值

例4⑴若公>0,b>0,且〃〃=〃+方+3,则"的最小值为()

A.9B.6C.3D.12

答案A

解析因为〃>0,历>0,所以〃十人22标，当且仅当。=。时，等号成立.

又帅=。+人+3,所以帅=。+8+322屈+3,整理可得时一2标一320,

解得，7万23或M7w—1(舍去).

所以历23,所以岫29.所以当。=6=3时，"的最小值为9.

延伸探究若必)，b>0,且而=a+A+3,则a+b的最小值为.

答案6

解析因为G>0,b>0,所以a+b22旅,当且仅当时，等号成立.

又ab=a+/?+3,所以"==+6+34"整理可得(a+b)?—4(a+b)—1220,

解得a+/?26或a+bW-2(舍去)

所以当。=)=3时，的最小值为6.

(2)若实数小满足则出?的最小值为()

A.2/B.2小C.3小D.33

答案A

解析实数

2

一

〃

2寸1

值为

最小

他的

号.则

取等

2s时

〃=

/，

即。=

当

当且仅

为解

转化

式”

用“公

可利

最值，

积”的

和与

求“

关系，

的等式

积”

“和与

已知

若

升华

思维

.

最值

式求

不等

）

（

值为

最小

x十），的

0，则

2封=

x十y—

y满足

数X,

）若正

4（1

训练

跟踪

2

D.

C.5

B.1

A.4

答案

D

解析

ry,

x+y=2

0,得

xy=

y—2

x+

一由

方法

yW

0,x

0,)>

又x>

y22,

得x+

）,解

。9

工+产

所以

.

号成立

时，等

），=l

当x=

当且仅

.y,

+y=2x

,得x

y=0

y—%

x+

二由

方法

）

,则（

2y=l

,j+

0,）>0

知x>

选）已

（2）（多

为、

大值

的最

A.刈

为专

大值

;的最

B•士

为4啦

小值

的最

•I】

2

为1

小值

的最

+y

D.f

AD

答案

;

A正确

）故

等号

时取

2y=W

当）=

且仅

=既当

£E）

X）W（

，即

26而

y=l2

x+2.

解析

5

2

4

1

-

-

-

当此故B错误

r

-

-

y

X

♦

-

V

5，

X

5,

+y

:+3=（、+2），）©+3=3+§+：23+2啦（当且仅当天=也-1,），=勺但时取等号），

故C错误；

/+9=（1-2〉）2+）2=5）2—45，+l=5（y—|〉+/，当x==,=］时，/+）2取最小值得，故D

正确.

课时精练

IR知识过关

一、单项选择题

1.已知〃?>0,〃>0,加〃=81,则〃?+〃的最小值是（）

A.9B.18C.9v5D.27

答案B

解析