2025年高三高考数学模拟试卷（含答案详解）

2025年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟测试

本试卷共150分考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.若有一组数据为6,6,5,5,4,4,3,2,1,则该组数据的平均数为（）

9

A.2B.3C.4D.-

2

2.若复数z满足iz=3-4i,则囱=（）

A.3B.9C.16D.5

3.若468-44G。为正方体，则异面直线3a与m所成角的大小为（）

7Tnn

A.-B.—C.-D.-

3428

4.若将函数/a）=cos®t+0）（0>O）的图象向左平移］个单位长度后得到的图象与

的图象完全重合，则口的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

5.若P(B)=g，P(B|j)=1,则P(4)=()

3Cl13

A.-B.5D.-

57

6.已知两个非零向量疝片满足卜?-2“=,+4〃,则向量而在向量［上的投影向量为（）

A.3nB.2〃

C.5〃D.-〃

试卷第1页，共4页

7.若存在xc(O,y),使得也成立，则实数。的最小值为()

X

A.-B.1C.2D.c

e

8.已知双曲线c：二-F=1的左、右焦点分别为月，6,以G乙为直径的圆与曲线。的右

16

支交于一点P，直线/平分4尸6,过点鸟,用作直线！的垂线，垂足分别为A,B,。为

坐标原点，则V月06的面积为()

A.10B.12C.16D.8

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知集合”={X胃一3》一1。<0},/V={x||x-3|<4j,则()

A.(,M)cN=(5,7]

B.A/cN=[-1,5)

C.MuN=(-2,7]

D.=(-oo,-1)u(7,+x)

10.已知定义域为R的函数满足/(2X+1)=/(5-2X),且函数/(x)的图象关于点

(-1,0)中心对称，则()

A.直线x=U是函数/(X)的图象的一条对称轴

B./(x)为周期函数

C./(2031)=0

D./(x)为偶函数

11.如图一，四边形力BCD为矩形，AB=2,AD=2x/2,E,M,尸，N分别为矩形各边

的中点，现按图中虚线折起，得到图二所示的四面体EQWN,其中点A,B,C,。重合

为点G,则在图二中，下列结论正确的是()

试卷第2页，共4页

A.EhMN

B.EF=MN

4

C.四面体EFMN的体积为§

D.四面体EEWN的外接球的表面积为5北

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数若/(4)=2,则实数〃的取值范围是______.

log,x,x>fl,

13.已知椭圆。：工+亡=1的左、右焦点分别为百，居，*%,%)(与义/0)为椭圆。上一

43

动点，。为鸟的内心，若直线OP和尸。的斜率分别为占，k?,其中O为坐标原点，则

k=

网---------

14.已知a>Lb>-,且〃+e"=2e3,贝的最大值为______.

ce

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.在V/AC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,yficcosA+67sinC=\[?)h.

(1)求角C的大小；

⑵若a+〃=6,c=4,求V/18C的面积.

16.已知抛物线C：/=2px(p>0)上的点P(q,p)到焦点的距离为4.

(1)求〃+9的值；

(2)过抛物线。的焦点的直线/与抛物线C相交于A,B两点,且|力用二10,求直线/的方程.

17.如图，V49E是圆柱底面内接正三角形，AB,DC,EN为圆柱的母线，AD=AB=8,

F为EN的中点,G,〃分别为BC,4〃的中点，直线4E与平面QG〃相交于点M.

试卷第3页，共4页

c

(1)求定的值；

ME

(2)求平面OGW与平面8DW的夹角的余弦值.

18.已知数列｛q｝满足4=3,且%+］=2?-1.

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(2)证明；，+:+…+;<1；

a\ui%

(3)国表示不超过》的最大整数，如［2』=2,［-1.5］=-2,设%=［『］,求数列上｝的

前2〃项和.

19.已知函数/(x)=x-Aln(x+l),kcR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若随机变量X可取的值为七，%>0,且P(X=Xi)=plfE(X)为X的数学

期望.证明：

⑴^^之［(王0)(当小)“…(天月)卜

(ii)…X：.

试卷第4页，共4页

1.c

【分析】借助平均数定义计算即可得.

6x2+5x2+4x24-3+2+1,

【详解】平均数为-------------------------=4

故选：C.

2.D

【分析】根据条件，利用复数的运算法则及模长的计算公式，即可求解.

【详解】因为iz=3—4i,所以z=—=-4-3「所以目=J（-41+（-3）2=5.

故选：D.

3.A

【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线夹角的定义，可得答案.

【详解】连接力"，AC,如下图：

易知BCL，所以N/fOC为异面直线6G与CR所成的角（或其补角）,

易知为等边三角形，所以

故选：A.

4.B

【分析】结合三角函数周期计算即可得.

【详解】由题知，］是函数/（X）周期的整数倍，所以1=

所以/=4k（kwZ）,所以正数。的最小值为4.

故选：B.

5.C

【分析】借助全概率公式与对立事件概率公式计算即可得.

【详解】因为P0）=P⑷P（阳4）+P（可产伍冈，

答案第1页，共12页

所以l_g=P(4)x>[I".小’,解得尸(月)=3.

故选：C.

6.D

【分析】根据向量的模长、数量积运算，再根据投影向量公式求解即可.

【详解】因为阮一2司=|丽+4司,所以薪2—4/G+“2=/+8最；?+16片，

、rrinn_

所以而.If，所以向量所在向量方上的投影向量为下「.同二一〃.

故选：D.

7.B

【分析】e-iK"叵化简可得e川n-(x+hu)Wa,构造函数晨》)=/-x,然后利用导数

X

求出函数的最小值即可.

【详解】不等式炉-1K竺㈣■等价于xe'-(x+hu)Wa,即ex,-a+hu/q.

X

1V-.1

令y=x+hir,由KC(0,+8)可知—=1+—=:——>0,

XX

/二'+限1在(0,+8)上为增函数，

Inx£(-<»,+8),XG(0,+<X>),则歹=x+lnx€(-8,+e),

令g(x)=e'-x,xe(-09,4-00),则g'(x)=e'-l,

当xw(79,0)时，g[x)<0,当xw(O,+8)时，gf(x)>0,

所以函数g(x)在(e,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增,所以g(x"g(O)=l,

所以结合题意可知。21,即实数。的最小值为1.

故选：B

8.D

【分析】根据直径所对的圆周角为直角，结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理和性质、

双曲线的定义进行求解即可.

【详解】延长片力，交PF?于点、M,延长用8,交2片于点N.

答案第2页，共12页

由题知片行为直径，所以因为直线/平分

所以ZAPM=/APK=AAMP=ZAF}P=-,

且A,8分别为RM,0V的中点，

所以04//PM,OB//PN,

所以ZOAF.=4MF\=AOBA=ZF.PB=-,

4

所以所以V/。8为等腰直角三角形.

因为|。却=(忻州=#归制-|可|)=劣尸用-归周)=4,

所以丫片。3的面积为;x4?=8.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义、平行线的性质.

9.BCD

【分析】先解一元二次不等式及绝对值不等式，再分别求出交集，并集，及补集最后分别判

断各个选项即可.

【详解】由题易知"二(—2,5),/V=[-l,7],所以《M=(—8,-2]可5,+动，

QN=S，_l)57,+8),

所以McN=[7,5),MuN=(-2,7],@M)cN=[5,7],故选项A错误，选项B,C,D

正确.

故选：BCD.

答案第3页，共12页

10.ABC

【分析】根据条件可得到〃3+力=/(3-工)，可得到函数/")的图象关于直线x=3对称，

再结合条件，可得x=ll是函数/(x)的图象的一条对称轴，16是函数/'("的一个周期，即

可判断出选项A,B和C的正误；对于D,先假设/(x)为偶函数，根据题设得出矛盾，即

可求解.

【详解】因为/(2x+l)=/(5—2x),令2x+l=3+f,得至U2x=2+f,所以

/(3+0=/(5-2-Z)=/(3-/),

则/(3+x)=/(3r),所以函数f(x)的图象关于直线x=3对称,

又因为函数/(力的图象关于点(-1,0)中心对称,则小)="2・江

又函数/(x)的图象关于直线x=3对称，所以/(6-x)=/(x)=-/(-2-x),

令一2-工=〃，得到/(8+〃)=一/(〃)，即/(8+x)=—/(x),所以/(16+x)=—/(8+x)=/(x),

故16是函数/(X)的一个周期，所以选项B正确，

又/(3+X)=/(3T)=/(19T),可得〃U+x)=/(ll—x),所以直线x=l1是函数/(x)的

图象的一条对称轴，故选项A正确，

对于选项C,因为16是函数/")的一个周期，则/’(2031)=/(-l+127xl6)=/(-1),

又/(x)定义为R，且图象关于点(-1，0)中心对称，所以/(-1)=。，得到〃2031)=0,所

以选项C正确，

对于选项D,假设/(X)为偶函数,则〃X)=/(T),因为/(3+X)=/(3T),

令3+x=*则〃")=/(6-〃?)，所以/(加)=/(一加)=/(6+加),则6是函数/(x)的一个

周期，

又函数/(X)的图象关于点(-1,。)中心对称，则函数/W的图象关于点(5.0)对称，

又直线x=ll是函数/(”的图象的一条对称轴，所以直线x=5是函数/("的图象的一条对

称轴，矛盾，所以选项D错误，

故选：ABC.

答案第4页，共12页

11.ABD

【分析】由题分析折叠前后图形中的不变量可知GM_LG£,GN工GE,以及三棱锥的棱长,

选项B即可判断：对于选项A,证明线面垂直即可判断；对于选项C,利用三棱锥体积公式

即可求解.；对于选项D,根据三棱锥对棱棱长相等可知三棱锥可放到长方体中，则三棱锥外

接球的直径即为长方体的体对角线，选项D即可判断.

【详解】由题知，GM1GE,GN1GE.

乂GMCGN=G,GMu平面MGN,6乂€=平面/6%,.・.6£_1平面”6".

又MNu平面MGN,:.GE上MN,即故选项A正确；

-GE=GF=-AB=\,:.EF=2=MN,故选项B正确；

2

•;GM=GN=、AD=6,MN=2,:,GM〜GN?=M1P,/.GM1GN.

2

vGMIGE,GM工GN,GEcGN=G,GEi平面GNu平面EFN,.•.6加_1平

面EFN.

所以四面体EFMN的体积为|xlxV2x2x^=?-,故选项C错误；

♦：MN=EF=2,ME=FN=MF=NE=4i,

所以四面体EEMV可以放入长方体中，如图所示，

设四面体E月MV的外接球的半径为R,则有（2&『=12+（应了+（6/=5,

解得齐=:，所以外接球的表面积S=4成工=5人故选项D正确.

4

故选：ABD.

12.[0,4）

【分析】因为分段函数的函数值计算求参.

【详解】当4W。时，/（4）=2'=16不合题意；

当4>。时，/（4）=log24=2,符合题意，结合x>0,所以0«〃<4.

答案第5页，共12页

故答案为：[0,4）

13.[##0.75

4

【分析】结合椭圆性质与内切圆中的切线长定理，可得|尸乙|=2-；/,设。&,乂），可得

附=玉+1,则有阳=六，再由等面积可得必普，从而表示斜率即可得解.

【详解】由题知，瓦（TO）,玛（LO）,卢娟+|P用=4,区段=2,

设。（西,乂），△/Y；E的内切圆与力"PF2tEK的切点分别为M,N,T,

则|£7|=|£M|、|/W|=|PM|、|遇|=|里

所以『7+|川|+|屿|=苫2=3,即以7|+|P段=3,

因为=小。T『+H=卜0_1f十3―乎）=2_1,

所以忻7=1+13"+1,所以SK=；（4+2）闻=；x2闻,

易知乂与稣同号，所以乂=勺，所以⑥=九二左=1~^=广=:尢，

3x「x。区-x3%3

cao

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于结合切线长定理，得到|67|+|川+W局=3,从而得

到阳刀+|尸段=3.

14.e'5

答案第6页，共12页

【分析】借助对数运算法则，可得ln(/W)=S+l)(lna+l)-1,再令c=lna,则有1+9=2/,

结合基本不等式计算可得^川+/+|=2/之2y号11之24耐西，即可得

15

In(/+/)=(Z)+l)(c+l)-l<15,故<e.

【详解】ln(a/,+1e,,)=(Z>+l)lnt7+Z)=(^+l)(lna+l)-l,令c=lna>—1,则q=e。，

<，+,fe+1

因为a+e"=2e3,即e'+e'=2e'，所以e。*+a讨=2e'>2・e-—>2>eV()(),

所以S+l)(c+l)W16,当且仅当力+l=c+l,即a=e，5=3时，等号成立，

所以In(小8)=(/7+1)(C+1)-I<15,所以小8K/,即小％"的最大值是c巴

故答案为：e15.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出c=lna,再结合基本不等式得到他+12+1)416,

即可得解.

15.⑴t

⑵¥

【分析】(1)通过正弦定理将边的关系化为角的关系，根据两角和的正弦公式即可得解；

20

(2)通过余弦定理得到而=§,最后根据三角形面积公式得结果.

【详解】(1)因为百ccos.4+asinC=品),

所以VisinCcosJ+sin/sinC=族inB=\/5sin(4+C)=&in/cosC+痴os/sinC,

所以siMsinC=V5sinJco$C，所以tanC=6，因为Ce(0,兀)，所以C=g.

(2)由(1)知，C=-,因为/=/+/—2"cosC=g+力『一3",

3

20

a+b=6,c=4,所以16=36-，解得一,

3

所以VABC的面积为L力sine=Lx效乂叵=巫.

22323

16.(1)6

(2)2.r±y-4=0

【分析】(1)根据题意列式，求出〃国的值，即得答案.

(2)由(1)可得抛物线方程，设直线方程，并联立，利用抛物线弦长公式求出参数，即得

答案第7页，共12页

答案.

【详解】（1）由题知，pi=2pq,p>0,所以g=

因为点尸（q,p）到焦点的距离为4,所以夕+$4,所以卜4,即P=4,

所以夕:2,所以p+q=6.

（2）由（1）知，抛物线C的方程为/=8x,其焦点坐标为（2,0）.

设力&,%），8仁,为），力题意知/的斜率不为0,设直线/的方程为4="+2.

由,”「?+2得/一8八，一］6=o,A=64（/2+l）>0,

y=8x

所以必+必=&，所以西+%=明+2+，为+2=8/+4.

因为|4却=10,所以N+&+P=l（），即8『+4+4=10,解得E=±g,

所以直线/的方程为x=土;y+2,即2x±y-4=0.

17.（1）4

⑵奢

44

【分析】（1）延长转至点K,使得用=EK,证明G〃〃QK,过点〃作力E的垂线，垂

足为。，结合相似三角形性质求结论；

（2）建立空间直角坐标系，求平面0GM与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论.

【详解】（1）因为G,〃分别为4C,4”的中点，

所以G〃〃C厂，延长FE至点K,使得FE=EK,连接。K,

所以汽K=CQ,且FK〃CD,所以四边形CFK。为平行四边形，

所以CF〃DK,所以GH//DK.

连接HK,交AE于点、M,过点〃作力E的垂线，垂足为。，

则H。//48,HQHEF.又〃为8户的中点，

所以。为4E的中点，又/。=8,尸为EN的中点,

4/）4.FF

故£尸=4,所以〃。=气把=6,

乂力0=8,V4OE是正三角形，

故NE=8,QE=4.

答案第8页，共12页

由相似易知，需"=能，即解得EA/=1,

MQHQ4-"E［M65

（2）设力。的中点为。，连接。G,OE,分别以04，OE,OG所在直线为x轴，V轴,

轴建立空间直角坐标系，

则。（-4,0,0）,8（4,0,8）,G（0,0,8）,M*竽,0

丽=（4,0,8）,DM=胃,华,（）］,丽=（8,0,8）.

JJ

设历二（X,必,4）是平面DGM的法向量,

4X|+8Z|=0

济06=0

则一，即24166八，

ni-DM=0乂=

—53'+---5--Z10

令芭=2,解得乂=一右，Zj=-1,

所以初=（2,-6,-1）是平面QGM的一个法向量.

设万=（々,乃,z?）是平面BDM的法向量,

8x,+8z=0

fi-DB=02

则一，即《24165人，

ii-DM=0《3丁%二°

令占=2,解得必=-6，z2=-2,

所以万一（2,-后-2）是平面&W的一个法向量.

答案第9页，共12页

册.万2x2+卜班卜卜班）+（-1卜卜2）9夜

阿何7+卜可+㈠1了卜用+㈠144，

所以平面力GM与平面8Z）M的夹角的余弦值为驯H.

18.（1）勺=2"+1

（2）证明见解析

）2”+1）

（3）-——77--

33

【分析】（1）分析可知数列是首项和公比均为2的等比数列，结合等比数列通项公

式运算求解；

（2）根据（1）可得再利用等比数列求和公式分析证明；

42

（3）根据（1）结合二项式定理求数列｛。｝的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和

公式分析求解.

【详解】（1）因为*=2%-1,则%+「1=2（%—1）,

且=3,则q—1=2/0,

可知数列｛4-1｝是首项和公比均为2的等比数列,

可得4-1=2x22=2"，所以%=2"+1.

I1I

（2）由（1）可知，勺=2"+1>2">0,则丁=377<F，

1II11

可得一+—+•••+—

%a2an22

答案第10页，共12页

1

一X

又因为_L+L+I+…+_L=2_

222232,.1

I----

2

所以

«ig4

(3)由(1)可知，*-1=2",则％=

因为2"=(3-l)"=C：3"+C3i(-l)+C；3i(_i)2+—+c：T3(T)i+C：(-l)”

=3'［《31+《3"-2(_1)+《3”7(_1)2+...+宵(-1门+(2：(-1)",

可得j.=C：3M+C：3"-2(_i)+c；37日片.7c丁卜1尸3+?-，

当〃为奇数时，则3=3।3，即3=33；

2"「2"11「2"12"I

当〃为偶数时，则--+-,即-

JJJJJJ

设S”为数列｛%｝的前〃项和，

^^s2n=(c｝+c3+c5+---+c2n_1)+(c2+c4+c6+--+c2n)

1-431-43

2

=-------n—・

33

所以数列匕,｝的前2〃项和为'一-〃-；.

【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于根据2”=(3-1广结合二项展开式整理g,并讨论

奇偶项求数列化,｝的通项公式.

19.