2025年山东聊城市高考三模数学试卷（含答案详解）

2025年聊城市高考模拟试题

数学（三）

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号等填写在答题卡的相应位置上.

2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择

题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，只将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合力>28={W-2<x<3},则4（）

A.1x|x>—1|B.{xl—2<x-1}

C.{xlx<3}D.{x|-l<x<3}

2.“avb”是“Inavlnb”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知数据X,9,7,9的中位数和平均数相等，那么x的值为（）

A.5B.7C.5或9D.7或11

4.已知平面向量G,很是两个单位向量，若1—25的模为6,则B在G上的投影向量是（）

11-11r

A.—aB.—bC.—ciD.—b

4422

5.记S”为公差不为0的等差数列{%}的前〃项和，若q+%=2,%,q,生成等比数列，

则56=（）

A.0B.6C.12D.18

6.已知”是直线/：6'+^-8=0上一点，过点河作圆。:/+_/=4的切线，切点分别为产，

。，则△。户。面积的最大值为（）

试卷第1页，共4页

A.百B.2石C.1D.2

7.已知某圆台的轴截面中有一个角为且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面

积为16兀，则该圆台的体积为()

A.—B.C,—7tD.7A/3H

33

8.已知/'(丫)是定义域为R的可导函数，设其导函数为g(r).若/"+1)-2丫为偶函数，旦

20

g(x)=g(4r),则Eg(i)=()

i=1

A-60B.40C.20D.8

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

9.己知$卜(。一夕)=一上，sinacos^=-,则()

63

A.cosasin/?=--B.sin(a+■/?)=—

26

C.3tana=2tan/7D.sin2asin2£='

10.已知曲线C:g»-x|x|二l,6(0,-石)，&(0诉,P为曲线C上的动点，则()

A.若〃在第一象限，则震上。，9十3回

I阴I

B.若户在第二象限，则在1轴上存在两点A,B,使|P4I+|P8|为定值

C.若「在第三象限，过点P向直线y=±2x作垂线，垂定分别为48,则|P*.|P8|=]

一

D.直线2x-y+2&=0是曲线。的一条切线

H.对于数列｛〃“｝,设区间(1,%)内偶数的个数为"，则称数列出｝为｛%｝的“〃数列”，则

()

A.若数列仁｝是数列”+1｝的“〃数列"，则c、=13

B.若数列｛%｝是数列｛2〃+3｝的“〃数列"，则｛qj是常数列

C.若数列匕,｝是数列｛2-J2｝的，，〃数列”，则也｝是等比数列

D.若数列上”｝是数列｛2""+2｝的“〃数列”，则数列｛5+1”“｝的前项的和为〃.2向

试卷第2页，共4页

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知l-i是关于x的方程x2+2/»+q=0(pMeR)的一个根，则〃+5的模为.

13.函数/(力=卜+3|+2k+2|+"，的最小值为.

14.已知”(-1.0),名(1,0)是椭圆C的左、右焦点，椭圆C与抛物线)，2=4x在第一象限的

交点为广，连接户a与V铀交于点。，若8。是/『优£的角平分线，则椭圆C的窝心率

为•

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.记\，力8。的内角A,B,C的对边分别为Ac,已知t/sinB+ZnanBcos力=2/7sinC.

(1)求〃；

⑵若。=3,且4C边上的高为生L求VZ8C的周长.

7

2乃

16.如图，在三棱柱//5C—4£G中，AB1BC,AB=BC,ABBX=ZCBB,=—.

(1)求证：四边形力CG4为矩形；

⑵若48==2,求平面ABB4与平面ABC夹角的余弦值.

17.已知椭圆C：W+^=l(a>b>0)的短轴长为2,离心率为由.

a'b~2

(1)求。的方程；

(2)若4，4分别是C的左、右顶点，不与x轴垂直的动直线/与C交于P,。两点(不同于

4，4),且直线4P的斜率等于直线4。的斜率的2倍，求证：直线/经过定点.

18.已知函数/(x)=〃mY+'(，〃cR).

X

(1)若/'(%)之0恒成立,求m的取值范围；

试卷第3页，共4页

1.B

【分析】利用指数函数的单调性来解指数不等式，再利用交集运算即可.

/[Y

【详解】由力=X->2={x|x<-l),

12，

贝|J力={x|xW—l}c{x|-2vx<3}={xl-2<x<-1},

故选：B.

2.B

【分析】根据对数函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由lno<h仍，根据对数函数的性质，可得力>4>0,所以必要性成立；

若。<力<0时，此时In”<In8不成立，所以充分不成立，

所以a是"Ina<1汕”的必要不充分条件.

故选：B.

3.D

【分析】根据平均数的计算及中位数的定义，分类讨论，列出方程即可求解.

x+7+9'2v+25

【详解】平均数为二三七，

二44

将这组数据排序，若x,7,9,9,则中位数为7+詈9=8,

所以三交=81，x=7,符合题意：

将这组数据排序，若7,盯9,9,则中位数为等，

所以土饪=8Dx=7,符合题意；

若7,9,9,x,则中位数为9,

r+25

所以9Dx=11,符合题意：

综上所述，x的值为7或11,

故选：D.

4.C

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出75,再求出投影向量.

【详解】依题意，伍一2加=6,则/—47B+店=3,而|—|=历|=1，解得

答案第1页，共14页

ab

所以不在万上的投影向量是而

故选：C

5.C

【分析】由等差数列的性质可得%,再由等比中项的性质可得乩％,结合等差数列的求和

公式代入计算，即可得到结果.

【详解】设等差数列的公差为

由％+火=2可得2%=2,即/=1，

又名，《，生成等比数列，所以〃：=%•%，即(l—2")2=lx(l+4d),

化简可得4/—8"=0,解得4=2或d=0(舍)，

贝ij%=q+4=1,所以％=-,3

则S6=6x(—3)+"x2=12.

2

故选：C

6.A

【分析［应用点到直线距离得出d=4,|。”|最小时，利用面积公式结合角的范围即得.

Q

【详解】•・•圆心O到直线/:J5x+y-8=0的距离d=］=4,所以|。如之4,

设NMOQ=6,cos£=踹=扁所以］>0之巳，n>2^?>y,所以sin26《等,

则XOPQ面积SqpQ=-|(9P|xpQ\xsin2^<-x2x2x-枢

222

故选:A.

7.C

【分析】首先根据己知条件求出圆台的高，然后根据外接球的表面积求出上底和下底半径,

然后根据圆台体积公式求出其体积.

【详解】设圆台的上底半径为小则下底半径R=2/

轴截面为等腰梯形，两底边长分别为2r和4〃，腰与下底的夹角为三.

则圆台的高，即梯形的高为〃=-=

答案第2页，共14页

因为外接球的表面积为16兀，所以球半径为1黑=2.

设球心到上底圆心距离为〃，则到下底圆心距离为/，-a.

根据球心到上下底面圆周的距离均为2,得方程：

/+/=4

，2解得r=1,4=百.

4f+(a-h)-4

所以圆台体枳为：

犷=；乃力(尺2+/?「+/)=；兀石(4+2+1)=苧.

故选：C.

8.B

【分析】根据函数的奇偶性结合求导数，得出函数周期，应用周期计算求解函数值即可.

【详解】因为/(x+1)—2;为偶函数，所以/(x+1)—2X=/(T+1)+2X,

所以/'(x+l)—2=—/"(—x+l)+2,所以/”(x+l)+r(T+l)=4,

所以g(x+l)+g(r+l)=4,且g(x)=g(4—x),

所以g(x)+g(-x+2)=4,g(-x+4)+g(x-2)=4,所以g(x-2)=g(2-x),

所以g(x)=g(-x)=g(4-x),所以g(x)的周期为4,

因为g(x+l)+g(-x+1)=4,令x=0,g(l)+g(l)=4,可得g(l)=2,

令x=l,g(2)+g(0)=4,

所以g(l)+g⑵+g(3)+g(4)=g⑴+g(2)+g(-l)+g(0)=8

20

所以£g(i)=g6+g(2)+g(3)+…+g(20)=5x8=40.

/=1

故选：B.

9.BC

【分析】根据两角和差公式计算求解判断A,B,结合同角三角函数关系判断C,应用二倍

角正弦公式计算判断D.

【详解】A选项，已知siMa-p)=sinacos夕一cosasin/?=-Lsintircos/?=—,

63

则cosasin/?=■!■+,=’,A错误；

362

答案第3页，共14页

B选项，sin(a+/7)=sincfcosy9+coscrsin/?=-+—=—,B正确:

326

1

3-

tana_sinacos/?_-2

C选项,1所以3lana=2tan1,C正确;

tan/?cososin/?

2-

D选项，sin2asin2/7=2sinacosax2cos/?sin/?=4sinacos夕•cosasin夕

112

=4x；x；=f,D错误;

323

故选：BC.

10.BCD

IpFI

【分析】求出IP"I,I061的表达式，进而求出勒的范围判断A；利用椭圆的定义判断B：

I/六2I

利用点到直线距离判断C：联立方程组，借助判别式计算判断D.

【详解】对于A,设点P（X°，K）,/>0，K>2,,—I尸用=，£+（%.+石,

______6

=J%；+2闻+4=旨九+2,同理|尸61=乎打-2,则*]=走，o+2

M）一2

T

=+4=1+-/=~~~而石J。一4〉2后一4,因此‘w（l,9+4石）,故A错误；

J5yo-4yJ5y0-4\PF2\

对于B,当P在第二象限时，曲线C:二+/=1是椭圆广+/=]在第二象限的部分，

44

该椭圆的焦点为4（0,->/1）,力（0,6）,长轴长为4,由椭圆定义得|"|+|08卜4,故B正确;

2

对于C,设P(X1,yJd<-1,必<0,x”?二l,

则|4|.|P例=包渭•气见=七&=3,故c正确；

V5V555

2x-y+2j2=0

对于D,当P在第一象限时,由八,2消去N得2/+2忘-1=0.

2-+x2=l

A=（2扬2_4x2xl=0,因此直线2x-y+2&=0与椭圆?+x2=l相切于点（_曰,伪,

即直线2x-y+2/=0是曲线C的一条切线，故D正确

答案第4页，共14页

故选：BCD.

11.ACD

【分析】根据数列新定义，结合常数列，等差数列，等比数列及错位相减法即可分别判断各

个选项.

【详解】对于A,由题意得，在区间（1,28）内偶数有13个，故。3=13,故A正确；

对于B,设%=2〃+3,在区间（1,2〃+3）内最大的偶数为2〃+2,

所以共有名产二〃+1个偶数，则J=〃+l,不为常数列，故B错误;

对于C,%=2e+2,在区间（1,2加+2）内最大的偶数为22，

所以共有2”个偶数，则g=2",为等比数列，故C正确；

2

对于D,由C得，{（〃+l）q,}={（〃+l）2},设前"项和为S.,

贝IJS"二2'2'+3'22+L+6+12”,

23

2sli=2'2+3'2+L+〃汉〃+G+1,

两式相减得，\=-4-©+2。L+2少6+12T

46-20-1)

=-4--------+8+1'以"匚〃次故D正确：

1-2'

故选：ACD.

12.石

【分析】由题知(1『+2〃(1)+9=0,即(2p+/—(2p+2)i=0,再根据复数相等求解

即可.

【详解】知l-i是关于x的方程/+2px+g=0(p,qwR)的一个根，

答案第5页，共14页

所以(l_i『+2p(l_i)+g=0,即(2p+q)_(2p+2)i=0,

所以《2；=。,解得PH.

P+5的模为J(-l『+22=yjs.

故答案为：V5.

13.10-31n3

【分析】根据x>-2,“<-3和-3W》《-2三种情况，分别对函数解析式进行化简，求导,

讨论单调性，计算出最小值

【详解】/(x)=|x+3|+2|x+2|+e-\

当工<-3时，/(x)=-x-3-2(x+2)+ev=-3x-7+er.

r(-v)=-3-e-<0,

故/(x)在(-8,-3)上单调递减：

当-3WxW-2时，/(x)=x+3-2(x+2)+e-A=-x-l+c-r.

x

f\X)=-\-e<0,

/(外在［-3,-2］上单调递减；

当工>一2时，/(x)=x+3+2(x+2)+er=3x+7+e-'.

,r(x)=3-e-\

令广(力>0,解得x>—ln3,令/'(可<0,解得-2<x<-ln3,

故/(x)在(-2,-ln3)上单调递减，在(-垢3,+8)上单调递增.

又/(x)=|x+3|+2|x+2|+e-*为连续函数，

因此函数的最小值为/(—In3)=7—3卜3+a3=］0—3ln3.

故答案为：10-3ln3.

14.V2-1

【分析】利用角平分线定理，转化线段之比，再利用已知线段以及抛物线焦半径公式可求出

答案第6页，共14页

点P(l,2),从而可得方程求解4=及+1，最后可求得离心率.

利用角平分线定理:

因为用。是/尸旦片的角平分线，所以有隐=照,

|尸2引|。用

设尸(〃?,〃)，根据抛物线r=4x的定义可得|尸用=加+1,

由图可知归。|与|。国之比等于点尸横坐标与|。甲之比,

则有解得机=1，根据〃2=4m，交点/＞在第一象限,

所以〃=2,即把点尸(1,2)代入椭圆方程可得:

」十提=ln〃+4a2=a2h2,

又因为力―加=。2=1=»=〃+1,

所以联立上面两式可得：/+4/+4=//+从=/一4/一4=0,

解得/=11叵3=2+2后，

2

所以/=/+1=3+(6+1)=>a=6+1

即离心率6=肃=0—1,

故答案为：V2-1

15.(l)y

⑵5+万

【分析】⑴根据题意,利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到嗯子

2sinC,

求得cos6=g,即可求得B的大小:

答案第7页，共14页

（2）根据题意，利用面积相等法，求得。喘,再由余弦定理，列出关于力的方程，求得

力=不，进而求得V/8C的周长.

【详解】（1）解：因为asinB+Z）tanBcosJ=2/>sinC,

,F%

由正弦定理，可得sinJsin5+sin5——cosA=2sinBsinC,

cos8

又因为Ae（O.n）,可得sin“>0,所以.sin/多2且cos/=2sinC,

cos4

sinAcosB+cos/1sinBsin（4+8）sinC「

即-------------------=—------=----=2sinC,

cosBcosBcosB

因为Ce（0,冗），可得sinC>0,所以cos8=；,

又因为6w（0"）,所以B=

J

（2）解：由力。边上的高为史11,可得5械、=勾）.注1,

7A/1»（.27

又由。=3且4=],可得VABC的面积为S--acsinB=—ex^-=孑更c>

3:2224

所以地c•通，解得4/=702,即。=第，

427V7

在V"C中，由余弦定理得〃2=/+°?一2accosB，

可得b~=9+（^r厂一3x不，整理得/尸+2&）-21=0,

解得b=@或b=-3出（舍去），此时。=2,

所以V48C的周长为3+后+2=5+S'.

16.（1）证明见解析

⑵等

【分析】（1）要证明四边形/CG4为矩形，需证明其中•组邻边垂直，可通过向量运算或

儿何方法利用已知角度和边长关系来证明；

（2）首先建立空间直角坐标系，利用平面的法向量来求解.

【详解】（1）根据题意，设力8=8C=c，BA=G、BC=B,AA[

'AA^AC=麴（5C-BAyAA,BC-~AA,BA=BB.BC-BB}BA

因为函而二|西||瑟kos/&8C=bccos^=-：4c；

答案第8页，共14页

BB「BA-卜418力上0$/48力=accos-一;

所以福•衣=百瓦•初-丽;•而=0,所以瓶正.

又三棱柱力8C-44G中，四边形力CG4为平行四边形，

所以四边形彳CG4为矩形.

（2）取力c的中点O,连接。丛。为作BQ108交于点o.

由（1）知，四边形月CG4为矩形，所以zc_Lcq.

因为CCJ/BB1，所以/CJ.〃片.

因为△力〃。为等腰直角三角形，。是中点，所以O8J_4C.

又OBcBB\=B,所以4。_L平面08片.

因为片。＜=平面。84，所以4C_L3Q.

又0DcAC=0,所以8Q_L平面48c.

在△48%中，由余弦定理得：J5,2=/1^2+55,2-2^5^,cosl200=4+4+2x2x2x1=12.

所以44=26.

在RS4O4中，山勾股定理可得=，力一=112-2=痴.

OB2+BB2-()B^_2+4-10亚

在4（）B4中，由余弦定理得：cosZ0BBI=}

2OBB.B~2xy[2x2~2

所以NO8耳=135°,从而NB3D=45°.

由此可得3。=4。=也.

以。为原点，分别以。仇。。所在直线为x，V轴，过O作垂直丁平面46C的直线为z轴，建

立空间直角坐标系，如图所示.

答案第9页，共14页

设平面ABC的法向量为m，则m=（0,0,1）为平面ABC的一个法向量.

因为6（嬷,0,0）,4（0,一立0）,4（260,也）

所以万=（夜,6,0）,丽;=（女,0,夜）.

设平面4844的法向量为万=（兑入Z）,则

万万=0五x+-Uy=0

,所以令z三1,

两万=0\[2x+、Qz=0

则平面/明4的一个法向量为万=（-1,1,1）.

所以cos（而,万）=簿广］）=q.

|〃?|同lxj33

所以平面4BBH与平面ABC夹角的余弦值为正.

3

17.⑴［+/=］；

4

（2）证明见解析.

【分析】（1）利用椭圆的参数意义，即可联立求解椭圆方程；

（2）利用直线与椭圆联立方程组和韦达定理公式，再借助已知的斜率关系，可转化根与系

数的关系上来，最后可得从而可证直线过定点.

【详解】（1）由题意得：28=2=〃=1=—c'=1,

-=^^c2=-a\所以解得/=4,°2=3,

a24

即椭圆方程C：上+/=1：

4'

（2）

答案第10页，共14页

设直线/方程为，=K+M,与椭圆£+/=i联立，消y得:

4.

（4A2+l）x2+Skmx+4〃?2-4=0,

2

其中△=16（4公+1-/72）>0=4代+1>m2,

设P（x”必），。伍，％），则为+看=辞彳，内石=一:‘

4K+iT4k~+1

由已知得；/*=与，的+叨，+〃,）=44V

玉+2x2-z$+2X2-2%）+22L-2）

2

再化简得：（2二+|）x,x2+（26+2）（$+x2）+2m+4=0,

代入得：（2公+1）竺二1+（2•+2）二^+2〃/+4=（,

整理得：（2k-3加）（2"〃?）=0,

因为直线/不经过点4（-2,0）,所以2h//0,

KP2k-3m=0=>???=Z:,

所以直线/的方程为卜=入+弓上=左6+?，

因此直线/经过定点卜：,。）.

18.（l）[0,e];

（2）1；证明见解析.

【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值/⑴1nh=〃L，〃ln〃亚0,

从而可求解机的取值范围；

（2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值：

（ii）利用第（i）问的结论/（同之1,从而把要证明的不等式转化为工>卫竺；，再作差构

cosx+2

造函数求导来证明即可.

答案第11页，共14页

【详解】(i)因为函数/3=〃?时+?加£口)的定义域为(0,+8),

当〃7=0时，/(x)=，＞0恒成立,

」1」1

当"7V0时，f=mineM+—=-I+e-<0,所以此时f(x)=minx+->0不恒成立,

emx

mA

当〃1>0时，求导得/'(x)=〃J--y-2

XXX

当问。用1时,(加黑1>

<0,所以/(x)=〃?lnx+—在xe0,7J上单调递减;

mm

1时，"：21,所以在(A)上单调递增;

当xw—,4-ocr(x)=/(x)=〃?hu+gxe

所以/(x).=w+"”n—=m-mInm,

nunm

即不等式/(X)20恒成立，等价于m-niIn//J>0<=>z/z(l-Inw)>0<^>I-Inm>O<=>O<m<e,

综上，加的取值范围为[0,e].

(2)(i)当〃?=1时，/(x)=lnx+,，则/'(x)=^-----y=-^-v-,

AXXX

当xe(0,l)时，/(力==1<0,所以/(x)=lnx+L在工«0,1)上单调递减;

XX

y_11

当xe(l,+8)时，/”)=