2025年中考数学一轮复习：第一章 数与式（测试）解析版

第一章数与式

（考试时间：100分钟试卷满分：120分）

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.【原创题】《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆说明了大数之间的关系：1亿

=1万XI万，I兆=1万XI万XI亿•则1兆等于（）

A.10sB.10'2C.io16D.1024

【答案】C

【分析】将1万表示成104,1亿表示成10工然后用同底数基的乘法法则计算即可.

【详解】・门兆=1万xl万xl亿，

・I兆=1（/创（/1（）8=1（）16,

故选：C.

【点睛】本题考查同底数累的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中”的范围是1引。|<10,〃是整数，

正确确定小〃的值是解答本题的关键.

2.不一定相等的一组是（）

A.a+b与b+aB.3a与々

C.与aaaD.3（〃+Z?）与

【答案】D

【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幕的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即

可得到结论.

【详解】解：A.a+b=b+a,故选项A不符合题意；

B.a+a+a=3a»故选项4不符合题意：

C.aaa=a\故选项。不符合题意；

D.3（a+h）=3a+3b^3a+h,故选项。符合题意，

故选：D.

【点睛】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数第的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算

法则是解答此题的关键.

【新考法】数学与实际生活——生活中的数学原理

3.照相机成像应用了一个重要原理，用公式2=5+：3=/）表示，其中/表示照相机镜头的焦距，〃表示

物体到镜头的距离，了表示胶片（像）到镜头的距离.已知/；〃则〃=（）

AqBJC上D3

J-VJvv-fjv

【答案】c

【分析】利用分式的基本性质，把等式/=5+恒等变形，用含/、，的代数式表示〃.

【详解】解：•・•；='+，。//），

fUV

1_11

**M=7-V

v

.1=-f

••〃一片‘

.〃二q

,,V-f'

故选:C.

【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则.

4.与炉工二F结果相同的是（）.

A.3-2+1B.3+2-1

C.3+2+1D.3-2-1

【答案】A

【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案.

【详解】V32-22-l2=79-4-1=2

V3-2+l=2,且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0

故选：A.

【点睛】本题考杳了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混

合运算的性质，即可得到答案.

5.若正取1.442,计算g-3次-98迅的结果是（）

A.-100B.-144.2

C.144.2D.-0.01442

【答案】B

【分析】类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可.

【详解】•・•次=1.442

v^-3^3-98^3=(1-3-98)^3=-100^3

.-,-100^3=-144.2

故选B.

【点睛】本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，止确的计算是解题的关键.

6.【原创题】要比较A=々与8=空中的大小(x是正数)，知道A-3的正负就可以判断，则下列说法

x+\2

正确的是()

A.A>BB.A>BC.A<BD.A<B

【答案】C

【分析】将A-5进行化简得到A-5=£2,利用x是正数，可得出A-8WO,即可判断A和8的大小，

2("+1)

进而可得答案.

【详解】解：由题意可知：

A-=-(1『

2(x+l)2(x+l)

,/40,

AJ+1X),(x-1)?NO,

•••A-BWO,即AW8,

故选：C.

【点睛】本题考查比较分式大小，完全平方公式，解题的关键在于正确的通分化简.

7.已知3*=)，，则3川=()

A.)，B.l+yC.3+yD.3)，

【答案】D

【分析】利用同底数幕的乘法的逆运算可得3%=3^x3,再代入计算即可.

【详解】解：•・・3,=y,

.・.31=3、3=3丁，

故选D

【点睛】本题考杳的是同底数幕的乘法运算的逆运算，熟记卬"”是解本题的关键.

8.已知：a=—>b=(—2)2>c=(%—2023)。，贝1Ja,b,c大小关系是()

、2,

A.b<a<cB.b<c<iiC.c<b<aD.a<c<b

【答案】C

【分析】首先求出4，b,c的俏,然后根据实数人•小比较的方法，判断出a,b,ck小关系即可.

【详解】a=gj=8,8=（-2）~=4,c=（^—2023）°=1,

:.c<b<a,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键要明确：正实数>0:>负实数，两个负实数

绝对值大的反而小.

【新考法】数学与规律探究——乘方类规律

9.我国宋代数学家杨辉发现了（〃+〃）"(〃=0,1,2,3,...）展开式系数的规律：

(a+b)°-11展开式系数和为1

=a+b11展开式系数和为1+1

(a+炉+2ab+b?121展开式系数和为1+2+1

(a+6)3=a3+3a%+3a6?+b31331展开式系数和为1+3+3+1

(6)4-4744a3b+6a*+4ab3+i>414641展开式系数和为1+4+6+4+1

以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（。+〃）8展开式的系数和是（）

A.64B.128C.256D.612

【答案】C

【分析】由“杨辉三角”的规律可知,（。+6）8所有项的系数和为28,即可得出答案.

【详解】解：由“杨辉三角”的规律可知，

（a+0）°展开式中所有项的系数和为1,

（。+”展开式中所有项的系数和为2,

展开式中所有项的系数和为4,

（。+〃）3展开式中所有项的系数和为8,

(4+/，)"展开式中所有项的系数和为2”，

(〃+〃?展开式中所有项的系数和为28=256.

故选:C.

【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题关键是通过观察得出系数和的规律.

10.对于多项式-c+d+e,在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对〃和d进行“加负

运算“，得到：a-(-b)-c+(-d)^e=a+b-c-d-i-e.规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学

每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为()

①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到a-/AC-d-e；②对F乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，

甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式；③乙同学通过“加负运算''后可以得到16个不同的

代数式

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】①乙同学第一次对。和d,第二次对。和e进行加负运算，可得①正确；若乙同学对。和6进行加

负运算得：-a—(-b)-c+d+e=-”b—c+d+e,可得其相反的代数式为a-b+c-d-e,则甲同学对c、4、

e进行加负运算，可得与之相反的代数式，同理乙同学可改变字母时或(以或“e或历或4或死或〃或“或

de,甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式，可得②正确：若固定改变。，乙同学可改变字

母ab或讹或ad或四：若固定改变b,乙同学可改变字母力c或bd或/%；固定改变c,乙同学可改变字母cd

或ce；固定改变%乙同学可改变字母加，可得③错误，即可.

【洋解】解：①乙同学第一次对“和d进行加负运算得

第二次对〃和e进行加负运算得

-(-a)-b-c-d+(-e)=a-b-c-d-e,故①正确;

②若乙同学对。和6进行加负运算得：

-a-(-b)-c+d+e=-a+b-c+d+e,

则其相反的代数式为a-6+c-d-e,

•.,甲同学*jc、d、e进行力II负运算得：a-b-(-c)+(-d)+(-e)=a-b+c-d-e,

同理乙同学可改变字母讹或〃或四或反或权/或区或cd或理或加，甲同学都可以通过“加负运算”后得到

与之相反的代数式，故②正确；

若固定改变小乙同学可改变字母而或就或。”或能；

若固定改变儿乙同学可改变字母儿或〃或从；

固定改变。，乙同学可改变字母〃或cj

固定改变d,乙同学可改变字母4小

所以一共有4+3+2+1=10种，故③错误.

故选：C

【点睛】本题主要考察逻辑分析，注意甲乙同学可改变字母个数的不同是解题的关键.

填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.【原创题】焉的倒数是_______.卜2024|的相反数是__________[+（-2024）]=___________

2024

【答案】2024,-2024,-2024

12.写出一个无理数x,使得lv/<4,则x可以是（只要写出一个满足条件的x即可）

【答案】答案不唯一（如0,凡1.010010001…等）

【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有兀的数，

【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足lvxv4即可；

所以可以写：

①开方开不尽的数：V2,

②无限不循环小数，1.010010001……，

③含有兀的数宗等.只要写出一个满足条件的x即可.

故答案为：答案不唯一（如应，匹1.010010001……等）

【点睛】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限

不循环小数，③含有兀的数.

【新考法】数学与实际生活一游戏中的数学

13.小明和同学们玩扑克牌游戏.游戏规则是：从•副扑克牌（去掉“大王"“小王''）中任意抽取四张，根据

牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24.小明抽到的牌如图所示，

请帮小明列出一个结果等于24的算式—.

【答案】（5-3+2）x6（答案不唯一）

【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：

（5-3+2）x6=24,

故答案为：（5-3+2）x6（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键.

1/\2O23

14.如果单项式-，与2/yg的和是单项式，那么2=____.

2

【答案】-1

【分析】由题意推出-gfy与Mb-是同类项，即可求解.

【详解】解：由题意得：2y与是同类项，

+2=4,〃+3=1,

/.in=2,n=—2,

z、2023

二.'）=（_1严3=_1,

故答案为：T.

【点睛】本题考查同类项的定义：如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相

同，那么就称这两个单项式为同类项.掌握相关定义即可求解.

15.现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.

（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为;

（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片—

块.

【答案】cr^lr4

【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；

（2）根据己知图形的面积公式的特征.利用完全平方公式即可判定应增加的项,再对应到图形卜即可.

【详解】解：（1）•・•甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为。力

・•・取甲、乙纸片各1块，其面积和为/+〃；

故答案为：a2+b2.

（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1夬，再取乙纸片4块，则它们的面积和为

a2+4Z?2,若再加上4ab（刚好是4个内），则+4〃+4出?=（〃+2/?）2,则刚好能组成边长为〃+%的正方

形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块.

故答案为：4.

乙乙

丙甲丙

乙乙

【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，

灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想.

【新考法】信息题

16.当今大数据时代，“二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常

生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力.看似“码码相同”，实则“码

码不同通常，一个“二维码''由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用

途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识，这200个方格可以生成

228个不同的数据二维码，现有四名网友对a?00的理解如下：

yros（永远的神）：22°°就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

DDDD（懂的都懂）：2？°°等T200、；

JXN。（觉醒年代）：2200的个位数字是6：

QGKW（强国有我）：我知道*=1024,103=1000,所以我估计2200比1O60大.

其中对2颉的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.

【答案】DDDD

【分析】根据乘方的含义即可判断yyos（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将22°°化为

（2,00）2,再与2（小比较，即可判断。（懂的都懂）的理解是错误的:根据2的乘方的个比数字的规律

即可判断〃wo（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得z"nQioyo/o&'nacP）20,即可判

断2GKVV（强国有我）的理解是正确的.

【详解】2项是200个2相乘，>TOS（永远的神）的理解是正确的；

2200=（200）2W20（）2,Z）。。。（懂的都懂）的理解是错误的；

2'=2,22=4,23=8,24=16,25=32.♦•,

2的乘方的个位数字4个一循环，

•.•200+4=50,

.•.2颂的个位数字是6,JXND（觉醒年代）的理解是正确的；

V2200=（2,0）20J060=（103）20,2,°=1024,103=1000,且乎〉］。'

/.22（,0>1060,故QGKW（强国有我）的理解是正确的；

故答案为：DDDD.

【点睛】本题考查了乘方的含义，弃的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的

关键.

三.解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23

题9分，24题10分，25题13分）

【新考法】数学与实际生活一游戏中的数学

17.如图，佳佳玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球，小球分别标有如图所示的数（x

为正整数）；现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上

的数.

⑴若佳佳摸取到如下两个小球，请计算出结果;

(2)佳佳摸出全部的五个球，若计算结果为3,求出x的值.

【答案】(1)3

(2*的值为6+1

【分析】(1)由题意得，-2020°-(g);计算求解即可；

(2)由题意得，712-2020°+^-|1->/3|-^=3,计算求解即可.

【详解】(1)解：由题意得，—2020°+(gJ=—l+4=3,

；・结果为3；

(2)解：由题意得，712-2020°+-|l-V3|-x=3,

••・75+4-X=3，解得X=G+1,

・。的值为6+1.

【点睛】本题考杳了根据二次根式的性质化简，零指数哥，负整数指数哥，绝对值，解一元一次方程.解

题的关键在于根据题意列方程并正确的计算求解.

18•【原创题】根据时这条性质，解答下列问题：

(1)当〃=时，|。-4|有最小值，此时最小值为；

（2）已知a,6互为相反数，且a<0,b>0,求|a—4+2々+可的值.

【答案】（1）4；0

（2力/一。

【分析】（1）根据|，心0,可知|。-4|之0,即最小值为0,此时”4=0,解出〃即可:

（2）根据a,b互为相反数，可知。=”,再去绝对值计算即可.

【详解】⑴解：

・,.当.-4=0时，|。一4|有最小值0,

；•4=4,

故答案为：4；0.

（2）解：•・•〃，人互为相反数，

u=-b,

又■:a<0.b>0,

%+回

=|a+a|+2a+同

=一勿+勿+〃

【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解•，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关

键.

19.发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两

个正整数的平方和.验证：如，（2+iy+（2-l）2=10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和.探

究：设“发现''中的两个己知正整数为相，〃，请论证“发现”中的结论正确.

【答案】验证：22+12=5;论证见解析

【分析】通过观察分析验证10的一半为5,22+12=5：将〃?和〃代人发现中验证即可证明.

【详解】证明：验证：10的一半为5,22+12=5：

设，，发现，，中的两个已知正整数为孙小

.,.（"[+〃1+（〃?一〃y=2（/；?2.其中2（〃/+〃?）为偶数，

且其半〃?'+〃'正好是两个正整数///和n的平方和,

「发现”中的结论正确.

【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键.

20.(1)计算：712+3tan300-12-x/3|+(K-1)°+8202'x(-0.125)202,.

2nm4mn其中段.

（2）化简求值:--------1---------1----；----T

in+2n2n-in4n-m

2n+m11

【答案】（1）4^-2；（2）

2n-tn9

【分析】（1）先化简二次根式、特殊角的正切三角函数、化简绝对值、零指数幕、积的乘方的逆用，再计

算实数的混合运算即得:

⑵先计算分式的加法运算，再根%V得出〃―代入求值即可得.

《一（2叫+1+„]

【详解】解：（1）原式=26+3

=25/3+>/3-2+5/3+l-b

=4>/3-2；

2n(2n-m)+〃?(2〃+朗)+4mn

（2）原式=

(2n+m)(2n-rn)

4/-2mn+2mn+m'+4mn

(2n+m)(2n-m)

47+4mn+nr

(2n+m)(2n-m)

(2n+m)~

[2n+tn)(2n-m)

_In+m

In-m

・.〃?_1

•一=-9

n5

n=5m,

..,,10〃?+/〃11

••炽1z」弋=-.....="•

10/7?-m9

【点睛】本题考查/化简二次根式、特殊角的正切三角函数、零指数’幕、分式的化简求值等知识点，熟练

学握各运算法则是解题关键.

21.己知数轴上有两个点A：-3.B：1.

11।।1।I1।»

-4-3-2-101234

(1)求线段A8的长;

(2)若唧|=2,且〃?<0；在点B右侧且到点8距离为5的点表示的数为加

①求m与〃；

②计算2m+n+mn；

【答案】(1)4

(2)①〃?=—2,〃=6；②一10

【分析】(1)根据数轴上两点间距离计算方法求解；

(2)①先根据/〃的绝对值及，〃的取值范围求出，〃值，再根据“与1的距离为5,求出〃值；

②将①中的/小n的值代入代数式求值即可.

【详解】(1)解：;A点表示的数为-3,3点表示的数为1,

：,AB=\-(-3)=4.

(2)解：①・・・同=2,且〃?<0,

/n=­2,

•・•在点8右侧且到点B距离为5的点表示的数为小

/.«=1+5=6.

②当"?=-2,〃=6时，

原式=2x(-2)+6+(-2)x6

=-4+6-12

=-10.

【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义及有理数混合运算等知识，掌握数柏上两点间距

离计算方法(较大数减去较小数)是解题关键.

22.仔细阅读下列解题过程：

若『-6b+9=0,求。、〃的值.

解：a2+2ab+2b2-6b+9=0

:.a2+2ab+b2+b2-6b+9=0

・・・S+〃)2+(〃_?『=0

a+b=O,Z?-3=0

/.67=-3,b=3

根据以上解题过程，试探究下列问题：

⑴已知/一2冲+2y2-2)，+1=0,求1+2)，的值；

⑵已知/+5从一42b+l=0,求。、/?的值；

⑶若m=n+4.nrn+t2-8r+20=0.求n2"^1的值.

【答案】(l)x+2y=3

(2)a=2,b=l

(3)户-J]

【分析】(l)首先把第3项2y2裂项，拆成丁+炉，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x

和y,代入求得数值；

(2)首先把第2项“2裂项，拆成4尸+尸，再用完全平方公式囚式分解，利用非负数的性质求得a和。；

⑶先把切=〃+4代入+/-8f+2O=O，得到关于〃和f的式子，再仿照(1)(2)题求解.

【详解】(1)解：vx1-2xy+2y2-2y+1=0,

A2-2xy+y2+y?-2y+1=0,

(x-y)2+(y-\)2=0,

x-y=0,y-l=0,

y=l,

:.x=y=\,

.,.x+2y=3；

(2)解：a2+5b2-4ab-2b+i=0,

a2+4b2-4ab+b2-2b+\=O,

(i7-2b)2+(/?-l)2=0,

/.d—2Z?=0,Z?—1=0,

/.a=2btb=l,

a=2»Z?=1；

(3)解：•.•〃z=〃+4,

.\(n+4)n+t2-8r+20=0,

'十4〃十4十一一8/十16=0,

/.(/Z+2)2+(/-4)2=0,

.•.“+2=0,r-4=0,

7i=­2»/=4»

,\m=n+4=2,

n2w,-r=(-2)2x2-4=(-2)°=l.

【点睛】本题考杳因式分解、完全平方公式、非负数的性质、零指数幕等，对于项数较多的多项式因式分

解，掌握分组分解法是解题的关键.

【新考法】与实数有关的新定义问题

23.对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数M若N能被它的各数位.上的数字之和阳整除，则称

N是机的“和倍数”.

例如：•・•247+(2+4+7)=247+13=19,・・・247是13的“和倍数”.

又如：V214^(2+1+4)-2144-7=30……4,J.214不是“和倍数

(1)判断357,441是否是“和倍数”?说明理由;

(2)三位数A是12的“和倍数”，a,b,c分别是数A其中一个数位上的数字，且经八c.在小b,c中任选

两个组成两位数，其中最大的两位数记为"(A),最小的两位数记为G(A),若"A)："/!)为整数,求出满

足条件的所有数A.

【答案】(1)357不是15“和倍数”,441是9的“和倍数”;理由见解析

⑵数A可能为732或372或516或156

【分析1(1)根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；

(2)先根据三位数4是12的“和倍数”得出a+0+c=12,根据心/(A)是最大的两位数，G(A)是最

小的两位数，得出产(A)+G(A)=10«+乃+10c,F(A)：G(A)=&(%为整数)，结合a+"c=12得出

力=15-2々，根据已知条件得出1VX6,从而得出〃=3或〃=5,然后进行分类讨论即可得出答案.

【详解】(1)解：I'357+(3+5+7)=357+15=23……12,

；・357不是15“和倍数”;

•.•441+(4+4+1)=441+9=49,

・・・441是9的“和倍数”.

(2)•・•三位数A是12的“和倍数”,

/.fl4-Z?+c=12,

・••在mb,c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数*A）=10a+"最小的两位数G（A）=10c+。,

尸(A)+G(A)=10a+/2+10c+〃=10a+27?+10c,

..F(A)+G(A)

为整数,

16

、八/(A)+G(4)

二k（为整数）,

-J6-k

10〃+2/?+10c

则

16

整理得：5a+5c+b=Sk,

根据a+b+c=12得：a+c=12-b,

*.*a>b>c,

・・・12解得X6,

•・•“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数,

a>b>cX)，

・•・,

・•・1VR6,

」巴a+c-12—弋入5a+5c+b—84彳导:

5(12-。)+)=8%,

整理得：b=\5-2k,

•・・1V〃V6,&为整数，

・・・/>=3或6=5,

当分=3时，47+C=12-3=9,

•：a>b>cX),

Ad>3,0<c<3,

.,.a=7,b=3,c=2,或a=8,b=3、c=l»

要使三位数4是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数,

当”=7,b=3、c=2时，组成的三位数为732或372,

V7324-12=61,

，732是12的“和倍数”，

•・•372・12=31,

・•・372是12的“和倍数”；

当a=8,b=3,c=l时，组成的三位数为318或138,

•••318+12=26……6,

••・318不是12的“和倍数”.

V1384-12=11……6,

・•・138不是12的“和倍数”；

当b=5时，。+。=12-5=7,

*.*a>b>cX),

；・5<a<7,

:.4=6，b=5,c=l,组成的三位数为516或156,

75164-12=43,

・・・516是12的“和倍数”，

V1564-12=13,

・•・156是12的“和倍数”;

综上分析可知，数A可能为732或372或516或156.

【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性,

是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度.

24.在笫一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为"，b,c(a<b<c)的三角形中，有

yja+\[b>y/c-

(1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格.

1

I_____________________________________________________________________________________

(2)推导该结论的其他思路还有:

①利用a+/?>c,a=（G）»方=（扬），再配方,

②利用〃+b>c,使用平方差公式......

③利用〃+b>c,……

上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路.

【答案】⑴①。+8+2疯，②a+b,③>，®a+b>c,®y[^+b>4c

（2）见解析

【分析】（1）根据完全平方公式即可得出①；根据二次根式的性质，即可得出②；根据不等式的性质，即

可得出③；根据三角形三边之间的关系，即可得出④；根据不等式的性质即可得出⑤；

（2）根据题目所给思路，进行推理论证即可.

【详自苗】(1)解：,二(&+括)=a+b+2\/ab»(Ja+力)=a+b,

1人+〃)>(ja+b).

••yfa+\[b>y/ci+h>

根据三角形三边之间的关系可得：〃+

•**Ja+b>>/c»

•fa+\fb>&i+b>\[c,1串y/a+7b>&;

⑵解：①•・•〃=(&『，b=(后)'

•二(6+〃)=(&)+(赤)+2\M〃=〃+Z>+2>/^,

即(&+%)=a+b+2\[cib,

/.(&+扬)>a+b,

*.*0<47<Z?<C,

***l\[ab>0>

；.(&+6)>a+b>c,

+〃)>c,则G+扬〉/；

®Va+b>c,

a>c-b,

则(6)2>(4)2_(协)2,

（4『>（五+旬（G回,

0<a<b<c,

,石<〃<无，则石<扬+及,

•二将（G）>（6+标）（>/?-石）左边除以G,右边除以血+/得：4a>\/c-\/b»

即后+〃>五；

®Va+b>c

.u+b.।

・・——>1,则rl>1.

c

(G)+(〃)+2y/aba+b,

.・•■(4>------>h

.产明,

（司

：.〈&+a）〉（丘），即6M>G；

【点睛】本题主要考查了二次根式，三角三边之间的关系，完全平方公式，平方差公式等，解题的关键是

熟练掌握相关内容，并灵活运用在代数推理中.

【新考法】利用数形结合解决计算问题

25.【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得

直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论.初中数学里的一些代数公式，很多

都可以借助几何图形进行直观推导和解释.例如：求1+2+3+4+...+〃的值（其中〃是正整数）.如果采用数

形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观.现利用图形的性质来求

1+2+3+4+…+〃的值，方案如下：如图I,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,

〃个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+〃的值.为求式子的值,

现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有〃

行，每行有（〃+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为〃（〃+1）个，因此，组成一个三角形小

LIES,3_、1,.+

圆圈的个数为一^——即a1+2+3+4+…+〃=-^——L

22

【问题提出】求r+2‘+3-'+…的值(其中〃是正整数).

【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结

合法，借助图形进行推理获得结论.

探究1：如图2,广可以看成1个1x1的正方形的面积，即13=[X[2=F

探究2：如图3,A表示1个1x1的正方形，其面积为：lx『=F；B表示1个2x2的正方形，其面枳为：1x2?；

C。分别表示I个1x2的长方形，其面积的和为：2x1x2=1x22；及GD的面积和为

1X22+1X22=(1+I)X22=23,而4良€;。恰好可以拼成一个(l+2)x(l+2)的大正方形.由此可得:

P+23=(l+2)2=32.

(1)探究3：请你类比上述探究过程，借助图形探究：/+23+33==.(要求自己构造图形并写

出推证过程)

(2)【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：

1^23+33+..•+/?==(要求直接写出结论，不必写出推证过程)

(3)【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为

了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1,2,3,4,5,6的正方体的个

数，再求总和.

例如：棱长是1的正方体有：6x6x6=63个，

棱长是2的正方体有：5x5x5=53个，

棱长是6的正方体有：1x1x1=/个;

然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为.

(4)【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么

棱长为1的小正方体的个数为.

(5)【拓展探究】

观察下列各式：

13=1;2?=3+5;33