2025-2026学年河北省保定市某中学高二（上）9月月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年河北省保定市定州中学高二（上）9月月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知空间向量H=（，,％2）,1=（1,2,-4）,若云1瓦则%=（）

A.2或4B.2或-4C.-2或4D.-2或-4

2.已知三条直线，1：x+2y-1=0,l2：2x-y-7=0,l3：%-3y+4=0,设。门^二力，12nl3=&

13nli=c,则△48。是（）

A.以71为直角顶点的等腰直角三角形B.以A为直角顶点的非等腰直角三角形

C.以C为直角顶点的等腰直角三隹形D.等边三角形

3.在三棱柱4?。一481cl中，。是侧面BCg4的中心，则而+而+而；=（）

A.4OB.^AOC.2AOD.3而

4.已知4（4,5）,直线Z：y=kx+m,当A变化时，点4到直线I的距离的最大值为5,则m=（）

A.3或7B.3或8C.2或7D.2或8

5.已知空间向量或不满足2=（2,-1,2）,若@石＞=135。,则叵+2百（）

A.门B.yJ~6C.2/2D.3

6.已知圆C：。-2）2+/=2,直线，与圆C相切，且在坐标轴上的截距的绝对值相等，这样的直线1有（）

A.3条B.4条C.5条D.6条

7.在楼长均相等的平行六面体力BCD-48£历中，乙448=LAYAD=Z.DAB=60°,则向量蕉I在向量

上的投影向量为（）

A.72BB1西C.、3阻D.2BBV

8.在长方体力中，48=2,AD=AAl=3,球Z是以人为球心，以1为半径的球.动点P在矩

形BCG4的内部及其边界上运动，且P到球力的球面上的点的最小距离为2,则点P的轨迹长度为（）

A.27rB.nC.y/~5nD.等TT

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列结论错误的是（）

A.任意一个向量均可以作为直线的方向向量

B.若五是平面a的法向量，则入五（入€R）也是平面a的法向量

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C.设点4(a,0,0),8(0,80),C(0。c)(abcH0),则平面ABC的一个法向量为万=(工,：二)

OrUC

D.若向量而♦而＜0,则而与而的夹角为钝角

10.下列说法正确的是()

A.若sin(MN,PQ)=噂，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为|

JJ

B.若平面a与平面/7的法向量分别为M=(3,2,-1)5=(-1,2,1),则a1B

C.0为△/1"所在平面外一点，若丽+?而一，历，则点MW平面4BC且在△ABC内部

D.若何，瓦耳是空间的一个基底，则仅一了一乙3一石,2。也是空间的一个基底

11.已知点P(x,y),Q(3,4)均在半径为R的圆。上，且子的值域为则下列结论正确的是()

A.圆心C在直线y=不上

B.满足条件的圆C有两个

C.若点N(6,3)在圆C1-.,则点M(7,4)在圆C上

D.圆C的面枳为57T

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线血工+2〉+3-巾=0与直线，2：2x+my+l=Q平行，则匕与12间的距离为.

13.已知点力(1,0,0),点8(0,0,3),点。(3,1,-1),则点。到直线45的距离为.

14.已知正三棱柱力—的底面边长为2,M是BC的中点，若线段C*上有一点N,使得MN14当,

则侧棱力4长的取值范围是_____.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知圆C经过点4(一1,1),伏1,3),且圆心C在直线y=-3工t.

(1)求圆C的方程；

(2)若点P(x,y)在圆。上，求J%2+y2的最大值与最小值;

(3)过原点的直线/交圆C于M,N两点,若|MN|=2C,求直线!的方程.

16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-48C。中，四边形A8CD是等腰梯形，AD=BC=CD=\AB,AB//CD,ACdBD=M,

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设瓦5=瓦丽=石,无=汇

(1)证明：PM=1a+|c；

(2)设屋=3而，用瓦市?表示而与砒.

17.(本小题15分)

己知点M(VI,0),N(2h,0),P(2,0),Q(O,1),动点G(x,y)满足|GM|：\GN\=\PM\：\PN\.

(1)求动点G的轨迹方程；

(2)若直线&y=+0)与点G的轨迹交于4B两点，点8关于y轴的对称点为点C,若力，Q,。三点

共线，求m的值.

18.(本小题17分)

如图，在三棱锥P-4BC中，PA_平面/BC,PA=AB=1,PC=3,BC=6,E是AC的中点.

(1)求证：平面PBE_L平面P4&

(2)求点4到平面尸8。的距离；

(3)求平面8PE与平面PEC夹角的大小.

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参考答案

\.B

2.A

3.6

4.D

54

6.B

7.D

8.。

9.ABD

\O.AB

1\ARC

12Q

1/.2

13里

2.2

14.［1,+00)

15.(1)因为圆心C在直线y=-3x±,所以可设圆心为C(a,-3a).

222

所以|C川=\CB\t即(Q+1)2+(-3Q—I)=(a-I)+(-3a-3),

解得。=一1,所以。(一1,3),所以|。4|2=(-i+i)2+(3-1)2=%

所以圆C的方程为Q+I)2+(y-3>=4.

(2)因为J工2+y2表示原点(0,0)与圆C上的点P(x,y)间的距离，

而原点。在圆C外，|0C|二，IU,圆C的半径r=2,

所以，V+y2的最大值为近而+2,最小值为，TU-2.

(3)当［垂直于3轴时，［即为y轴，将x=0代入圆C的方程，

得。一3)2=3,

所以％=3+V3,=3-V-3,

此时截得的弦长为|为一%1=20，满足条件；

当I不垂直于％轴时，设I的方程为》，=kx,

因为|MN|=2，W,所以圆心。到直线/的距离d=Jr2-(1|M/V|)2=1,

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由点到直线的距离公式得1=5^,解得上=-2

所以直线1的方程为％=0或y=-ix.

16.证明:⑴因为在四边形4BCD中,AB//CD,

所以根据两直线平行，内错角相等可得NMOC=乙MBA,lMCD=4MAB,

再根据三角形相似的条件可得△DMC〜△BM4

所以喘=器=9即4M

设瓦5=瓦方=5可=n

由图根据平面向量的加法和减法法则可得：

PM=PA+AM=PA+1AC=PA+\(PC-PA)=^PA+1PC=+|c；

(3ODADD

解：(2)由图根据平面向量的加法法则和减法法则可得：

_,_,_,1_,_1_,_

~PD=PC+CD=PC+^BA=PC+^(PA-PB>)

=^PA-^PB+PC=^a-^b+-c；

由于丽=3前，所以根据平面向量的减法法则可■得:

屈=而+9况=而+；屈一丽）宅花+'前=|人能+已

由图根据平面向量的减法法则可得：

ME=PE-PM=la-fb+c-ja-lc=^a-lb+^c,

综上,PD=1a-ift+c；祈月=呆一能+晶

17.(1)由已知得|PM|=2-VT\PN\=2/2-2,

此也=c网此蛆阳%

吗PM2吗GN|百而92

整理得动点G的轨迹方程为/+/=4；

（2）设4Qi，yD，B（如yz），则C（一孙力），

将/的方程代入d+y2=4中，整理得（1+k2）x2+2kmx+m2-4=0,

rn.u,.2kmm2-4

因此打+%2=一诉，力之2=不出，

因为4Q,C三点共线，

因此攵的=kcQ,

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因此也1="匚，

xi-x2

因此M(k&+m-1)+x2(kxY+tn-1)=0,

2kx1x2+(m-l)(xi+&)=。，因此2k(nt?-4)-2km(m-1)=0,

解得m=4,所以m的值为4.

18.(1)证明：因为PAJ■平面ABC,而力C,BEu平面ABC,因此24J.BE,PA1AC.

囚此力C=VPC2-PA2=2

在△48。中,由余弦定理可得@c=啮会浮=疏杀=导

在△ABE中，由余弦定理得:

BE2=AB2+AE2-2ABxAEcosZ-BAE=1+2-2x1x1，

因此BE=1,因此=因此4818E,

lmABC\PA=A,AB,R4u平面P/8,因止匕BEJ_平面P/1B,

因BEu平面PBE,因止匕平面尸BE_L平面P/B：

(2)因为P41平面4BC,48u平面4BC,因此户4_L48,

而PA=4B=1,因此P8=，I，

在△PBC中，由余弦定理可得cos乙BPC==弃品=苧，

。。x-X'1D一XfC*%/X、/X32

而，BPC为三角形内角，因此sin/BPC=等，因此=；xJIx3x苧=,,

因此嗫―P8C=|xdA_PBCx|=VP.ABC=|xlx|xlx2V2x^=|,

因此服-PBC=|;

(3)

取的中点为N,在平面P4E中过N作NM1PE,垂足为M,连夜8M,

因为P/_L平面/〃C,PAu平面PAC,因此平面P/C_L平面/18C,

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由(2)可得/IB=BE=1,AE=V7，因此BN1AE且BN=

而平面P4Cn平面=BNu平面8BC,

因此BN1平面P4E,而NM,PEu平面H4E,因此BN1PE,NM1PE,

而MNCBN=N,MN,BNu平面BMN,因此PE1平面BMN,

而BMu平面8MN,因此PE_L8M,因此48MN为二面角8—PE-4的平面角,

在直角三角形PE4中，s\nz.PEA=因此NM=¥xW=乎,

PE5ZD6

在直角三角形8NM中，tan4BMN=瑞=系=

¥

而2BMN为锐角，因此/8MN=60。，因此平面8PE与平面PEC夹角的大小为60。.

19.(1)设AC=PA=1.建立如图所示的空间直角坐标系,

力(0,0,0),N(0,J,0),户(0,0,1),B(y[2,0,0),C(0,l,0),

丽=呜-1）屈=（-V7,1,0）,

h.lb/KT?PN・BCV30

因此cos〈PN,8C>=两两=,

因此异面宜线PN与BC所成角的余弦值为啜;

（2）当M是AB的中点时，M（芋,0,0）,则由=（芋

（\八

彳Vo-z=O

设平面PMN的法向量为五二（&,yo，zo）,因此11o，

Yxo-zo=0

令Xo=JI,因此五=（dl,3,l）,可=（0,0,—1）,

设P4与平面PMN所成角为仇则贪"。=|cos<a,R4>|=署答=?；