云南省楚雄州姚安县一中2025年数学高二上期末教学质量检测试题含解析

云南省楚雄州姚安县一中2025年数学高二上期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，则（）A.255 B.257C.127 D.1292．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（）A. B.C. D.3．已知双曲线的左、右焦点分别为，半焦距为c，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积为，则该双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（）A. B.C. D.5．若曲线表示圆，则m的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知命题，则为（）A. B.C. D.8．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.是函数的极大值点B.函数在区间上单调递增C.是函数的最小值点D.曲线在处切线的斜率小于零9．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线10．已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.11．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（）A. B.C. D.12．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α与β相交，且交线垂直于 D.α与β相交，且交线平行于二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的单调递减区间是____14．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．15．不大于100的正整数中，被3除余1的所有数的和是___________16．若，均为正数，且，（1）的最大值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为；（4）的最小值为，则结论正确的是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7（1）求这两曲线方程；（2）若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积18．（12分）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长19．（12分）如图，正方体的棱长为，分别是的中点，点在棱上，（）.（Ⅰ）三棱锥的体积分别为，当为何值时，最大？最大值为多少？（Ⅱ）若平面，证明：平面平面.20．（12分）已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.（1）若直线过点且，求；（2）若平分线段，求直线的方程.21．（12分）若函数在区间上的最大值为9，最小值为1.（1）求a，b的值；（2）若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围.22．（10分）解答下列两个小题：（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题设可得，再由即可求值.【详解】由数列是公比为2的等比数列，且，∴，即，∴.故选：C.2、C【解析】建立坐标系，坐标表示向量，求出点坐标，进而求出结果.【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨令，则，，，，，.因为，所以，则，，，，则解得，，，故.故选：C3、D【解析】根据给定条件求出，再计算面积列式计算作答.【详解】依题意，点，由双曲线对称性不妨取渐近线，即，则，令坐标原点为O，中，，又点O是线段的中点，因此，，则有，即，，，所以双曲线的离心率为故选：D4、B【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从中任取个不同的数的方法有，共种，其中和为偶数的有共种，所以所求的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.5、C【解析】按照圆的一般方程满足的条件求解即可.【详解】或.故选：C.6、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断【详解】根据题意，已知数列的通项公式为，若数列为单调递增数列，则有（），所以，因为，所以，所以当时，数列为单调递增数列，而当数列为单调递增数列时，不一定成立，所以“”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，故选：A7、C【解析】将全称命题否定为特称命题即可【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题，则，故选：C.8、B【解析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，故选：B9、D【解析】由到直线的距离等于到点的距离可得到直线的距离等于到点的距离，然后可得答案.【详解】因为到直线的距离等于到点的距离，所以到直线的距离等于到点的距离，所以动点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线故选：D10、D【解析】由可得直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解【详解】由题意，故为直角三角形，，又，，又为直角三角形，故，，即，.故选：D.11、B【解析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.【详解】，所以实数组故选：B12、D【解析】由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求导，根据可得答案.【详解】由题意，可得，令，即，解得，即函数的递减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题.14、【解析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，即异面直线A1M与DN所成角的大小是考点：异面直线所成的角15、1717【解析】利用等差数列的前项和公式可求所有数的和.【详解】100以内的正整数中，被3除余1由小到大构成等差数列，其首项为1，公差为3，共有项，它们的和为，故答案为：.16、（1）（2）（4）.【解析】利用基本不等式求的最大值可判断（1）；利用“”的妙用以及基本不等式可判断（2）；将所求代数式转化为关于的二次函数结合由二次函数的性质可得最值判断C、D，进而可得正确答案.【详解】对于（1）：因为，均为正数，且，则有，当且仅当时等号成立，即的最大值为，故（1）正确；对于（2）：因为，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故（2）正确；对于（3）：因为，所以，在上单调递减，无最小值，故（3）不正确；对于（4）：，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）椭圆方程为双曲线方程为；（2）12【解析】（1）根据半焦距，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程；（2）由椭圆、双曲线的定义求出与的长，在三角形中，利用余弦定理求出cos∠的值，进一步求得sin∠的值，代入面积公式得答案试题解析：（1）设椭圆方程为，双曲线方程为（a，b，m，n>0，且a>b），则解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，∴椭圆方程为双曲线方程为（2）不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，∴PF1＝10，PF2＝4，∴cos∠F1PF2＝＝，∴sin∠F1PF2＝．∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12考点：椭圆双曲线方程及性质18、（1）证明见解析；（2）；（3）或【解析】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值为.（3）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段AH的长为或.【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.19、（Ⅰ）,.（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由题可知，，由和，结合基本不等式可求最值；（Ⅱ）连接交于点，则为的中点，可得为中点，易证得，得平面，所以，进而可证得，，所以平面EFM,因为平面，从而得证.【详解】（Ⅰ）由题可知，，.所以（当且仅当，即时等号成立）所以当时，最大，最大值为.（Ⅱ）连接交于点，则为的中点，因为平面，平面平面，所以，所以为中点.连接，因为为中点，所以，因为，所以.因为平面，平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以.同理，因为，所以平面EFM,因为平面，所以平面平面B1D1M.20、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，利用抛物线的定义可求得；（2）利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【小问1详解】解：设点、，则直线的倾斜角为，易知点，直线的方程为，联立，可得，由题意可知，则，，因此，.【小问2详解】解：设、，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，因为、在抛物线上，则，两式相减得，又因为为的中点，则，所以，直线的斜率为，此时，直线的方程为，即.21、（1）（2）【解析】（1）令，则，根据二次函数的性质即可求出；（2）令，方程化为，求出的变化情况即可求出.【小