模型01 倒角模型（十二大易错模型分析+举一反三+易错题通关）（全国）（解析版）

模型01倒角模型易错模型1：飞镖模型（燕尾）模型模型解读：飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。图1图2图3基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①；②。拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；结论：∠O=（∠A+∠C）。拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD；结论：∠O=（∠D-∠B）。易错提醒：在应用飞镖模型时，辅助线的使用非常重要。如何正确地通过辅助线将相关图形拆解成飞镖模型，是解题的关键。如果辅助线的使用不当，可能会导致解题过程复杂化，甚至得出错误的结果。‌例1．（2024·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．（即如图1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，......大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）；(2)见解析；(3)70°【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）（2）证明：连接CD并延长至F，∵∠1和∠2分别是△ACD和△BCD的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB；（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，∵AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，∴∠CAD=2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠C），解得：∠C=70°．变式1．（2024·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD（填“增大”或“减小”）°．【答案】增大10【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线，∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，∴∠BCD增大了10°．故答案为：增大，10．变式2．（2024·四川·中考模拟预测）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用:（1）直接应用：①如图2，．②如图3，的2等分线（即角平分线）交于点F，已知，则③如图4，分别为的2019等分线．它们的交点从上到下依次为．已知，则度【答案】（1）①，②，③；【详解】解：（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，，在凹四边形DOEF中，，②如图3，，且，，；③如图4，由题意知,则代入得解得：，；故答案为①；②；③（）；易错模型2：风筝（鹰爪）与角内（外）翻模型模型解读：风筝（鹰爪）与角内（外）翻模型表面上看有点区别，但是本质上是一致的。图1图21）鹰爪模型：结论：如图1，∠A+∠O=∠1+∠2；2）鹰爪模型（变形）：结论：如图2，∠A+∠O=∠2-∠1。图3图4翻角模型：条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2；条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。易错提醒：根据图中相关辅助线，利用外角定理即可证明相关结论。例1．（2024·河南·九年级校考期中）请阅读下列材料，并完成相应任务．在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角内部有一点D，在其两边和上各取任意一点E，F，连接．求证：．小丽的证法小红的证法证明：如图2，连接并延长至点M，，（

依据

），又∵，，∴．证明：∵，（量角器测量所得），∴，（计算所得）．∴（等量代换）．任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：_______________；(2)下列说法正确的是____________．A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，该定理的证明才完整C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理D．小红的证法只要将点D在的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理(3)如图，若点D在锐角外部，与相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索之间的关系．【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和(2)A(3)不成立，【详解】（1）小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确；（3）不成立，是的一个外角，，为的一个外角，，（或）．例2．（2024·重庆黔江·九年级统考期末）如图1，中，，，．点是边上的定点，点在边上运动，沿折叠，折叠后点落在点处．下面我们来研究折叠后的有一边与原三角形的一边平行时的值．

(1)首先我们来研究边．因为和的、相交，所以只有一种可能的情况（如图2），，此时．(2)其次，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行．当时（如下图），则．当时（如下图），则．(3)最后，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行．当时，．当时，．

【答案】(1)(2)或；(3)或；【详解】（1）解：由题意知，，∴，故答案为：；（2）解：当（1）时（如图3），∵，，∴，∴；当（2）时，∵，

∴，故答案为：或；当时，，故答案为：；（3）解：当时，或，故答案为：或；当时，，故答案为：．变式1．（2024·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．（1）【定理证明】已知：如图①，求证：．

（2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点．（3）若，，则_______．（4）若，则_______．【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点．（5）若，，则_________．（6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________．（7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析【详解】（1）证明：如图，过点作，∵，，，，．（2），，．故答案为：．（3），，，；故答案为：；

（4），，，，，．故答案为：．（5）如图，连接，，，，，，．故答案为：．（6）如图，过点作，则，由（1）知，，，，，，，、分别是和，，，．故答案为：．（7），理由如下：由（1）知，，，、分别为和的角平分线，，，，，，即．变式2．（2024·福建·九年级校联考期中）中，，点、分别是边、上的两个定点，点是平面内一动点，令，，．初探：(1)如图，若点在线段上运动，①当时，则______；②、、之间的关系为：______．(2)再探：若点运动到边的延长线上，如图，则、、之间有何关系？并说明理由．(3)拓展：请你试着给出一个点的其他位置，在图中补全图形，写出此时、、之间的关系，并说明理由．【答案】(1)，(2)．理由见解析(3)．理由见解析【解析】(1)①如图1中，连接PC．∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+∠DPE＝∠ACB+∠α，∵∠ACB＝70°，∠α＝60°，∴∠1+∠2＝60°+70°＝130°．②由①可知，∠1+∠2＝∠ACB+∠α＝70°+∠α，故答案为130，70°+∠α．(2)结论：∠1＝70°+∠2+∠α．理由：如图2中，∵∠1＝∠C+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，∴∠1＝70°+∠2+∠α．(3)结论：∠1+∠2＝430°﹣∠α．理由：如图3中，∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+360°﹣∠DPE＝70°+360°﹣∠α，∴∠1+∠2＝430°﹣∠α．变式3．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：延长交于点，设交于点，如图，四边形的内角和为，，，．由折叠的性质可得：．，．在和中，，，，，．，，，，，，，．故选：D．变式4．（2023·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【详解】由折叠的性质可知∵∴∴故选C变式5．（2023·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：将沿直线m翻折，交于点E、F，如图所示：由折叠的性质可知：，根据外角的性质可知：，，，，故选：C．易错模型3：“8”字模型模型解读：“8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌图1图21）8字模型（基础型）条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。2）8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D易错提醒：‌“8”字模型的主要易错点包括对应关系的书写错误和证明过程中的逻辑错误。例1．（2024·广东深圳·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数个；（3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数；（4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【详解】解：（1）结论为：，理由如下：∵，又∵，∴；故答案为：（2）交点有点、、，以为交点有1个，为与，以为交点有4个，为与，与，与，与，以为交点有1个，为与，综上所述，“8字形”图形共有6个；故答案为：（3）由（1）可知：，，∵和的平分线和相交于点，∴，，得：，∴，又∵，，∴，∴；（4）关系：，由（1）可知：，，∴，，∵、分别是和的角平分线，∴，∴，即，∴，整理得，．变式1．（2024·重庆·九年级校考期中）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．【答案】(1)；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解【详解】（1）解：，理由如下：，，，即；（2）证明：平分，，在和中，，，；（3）证明：在上取一点，使，连接交于点，是的角平分线，，在和中，，，，同理可证，，，，即，，．变式2．（2024·浙江·八年级校考期中）探究题：(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）在中，，在中，，∵，∴故答案为：（2）设，，∵，分别平分，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：（3）由（2）可知：，∵，∴，∴，∴，（4）如图4，延长、交于点，设，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴故答案为：易错模型4：“A”字模型模型解读：如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于字母A，故称为“A”字模型。条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；结论：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E易错提醒：（1）部分学生可能对“A”字模型的理解不够深入，容易忽略模型的关键特征和应用条件，导致在解题时出现偏差。（2）在实际应用中，学生可能会错误地将“A”字模型应用于不符合条件的几何图形，导致解题失败。例1．（23-24八年级下·河南·期末）在学习完三角形的内角、外角相关知识后，利用三角形的内角和同学们很容易证明三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系．于是，爱思考的小红在想，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？①尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？解：数量关系：．理由：∵与分别为的两个外角，∴．∴．∵三角形的内角和为，∴．∴．小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．②初步应用：（1）如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则；（2）如图3，在中，分别平分外角，则与有何数量关系？；（直接填答案）；③拓展提升：（3）如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）。【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析【详解】解：（1）由题意得：在纸片中剪去，∵，，∴，故答案为：；（2），由尝试探究得，∵分别平分外角，∴，∴，∴故答案为：；（3）数量关系为：，理由如下：如图，延长线段、线段交于点，，∵通过（2）得，∴，∵，又∵，∴，∴．变式1．（2024·河北邯郸·校考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵在中，，∴，∵，∴故选：A．变式2．（2024·江苏·八年级校联考阶段练习）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于_______．（2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，求的值．（3）如图2，请你归纳猜想与的关系是______，并说明理由．（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系并说明理由．【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4），理由见解析．【详解】解：（1）∵为直角三角形，，∴，∴．（2）∵中，，∴，∴．（3）；理由如下：∵中，，∴．（4），理由如下：如图：是由折叠得到的，∴，，∴，，∴，又∵，．易错模型5：三角板拼接模型模型解读由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，易错提醒：在拼接三角形时，需要注意角度的累加。例如：两个30°的角拼接在一起并不总是60°，因为还需要考虑外部角度的影响。正确的角度计算是解决这类问题的关键‌例1．（23-24八年级下·山东·阶段练习）如图①，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，如图②，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．(1)当为______时，；(2)当的一过与的某一边平行（不共线）时，写出旋转角的所有可能的度数；(3)当时，连结，分别交、于点、，利用图③探值的大小变化情况，并给出你的证明．【答案】(1)15(2)旋转角的所有可能的度数是：，，，，(3)，证明见解析【详解】（1）解：当时，，∴，即旋转角°故答案为：15（2）解：当的一边与的某一边平行（不共线）时，有五种情况：①当时，如下图，由（1）知旋转角；②当时，如下图，与重合，∴，即旋转角为；③当时，如下图，∴，∴，∴，∴，即旋转角为；④当时，如下图，延长交于点M，∵，∴，∴∵，∴，∴，在同一直线上，即点A，B，D共线，∴，即旋转角为；⑤当时，如下图，∵，∴，即旋转角为；综上所述，旋转角的所有可能的度数是：，，，，．（3）（3）当，，保持不变；理由如下：在中，，，，，，，．变式1．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图：设交于点，∵，∴，

∵，∴．故选：C．变式2．（2024·江苏·校考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，由题意得：，，

，，．故选：D．易错模型6：高分线模型模型解读高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：．2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．

易错提醒：（1）在高分线模型中，高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。这个关系在解题过程中需要特别注意，因为错误的计算会导致整个问题的解答错误。（2）在解题过程中，需要正确应用几何定理，如角平分线的性质、垂直线的性质等。错误的定理应用会导致解题方向错误。‌‌例1．（23-24八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．

(1)如图①，于点，若，求的度数；(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析【详解】（1）解：∵在中，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，当时，；（2）由（1）可知，，∴当时，∴；（3）∵，而，∴，∵，，∴，∴；（4）的度数大小不发生改变．理由如下：∵，，∴，∴．变式1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则．【答案】/10度【详解】解：因为，所以，根据题意得：平分，所以，因为为高，所以，所以,所以，故答案为：．变式2．（2024·河北唐山·八年级统考期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线．(1)若，，求的度数；(2)若，猜想与之间的数量关系，直接写出结论．

【答案】(1)(2)【详解】（1）解：在中，，，∴，∵平分，∴，∵是的高，∴，∴，∴，∴；（2）解：，，，在中，，分别是的高和角平分线，，，，．易错模型7：双垂直模型模型解读：双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，（‌双垂直模型的核心是倒角之间的关系）结论：①∠ABD=∠ACE；②∠A=∠BOE=∠COD；③。易错提醒：在计算角度时，容易出现的错误包括计算错误和忽略某些条件。例如，在倒角双垂直模型中，可能需要计算多个角度，如果计算过程中出现错误，会导致最终结果不准确。例1．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，，垂足分别为D，E．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：∵，∴，又∵，∴；（2）∵，，∴，，在中，由勾股定理，得：，∴．易错警示：。变式1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F，．【答案】或【详解】解：当为锐角三角形时，如图，∵，是它的两条高，∴；

当为钝角三角形时，如图，∵，是它的高，∴，∵是的高，∴，综上所述：或，故答案为：或．变式2．（2024·重庆·八年级校考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．

【答案】(1)(2)【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，，∴．易错模型8：子母型双垂直模型（射影模型）模型解读子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线，结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。

易错提醒：（1）部分学生对字母型双垂直模型的理解不够深入，容易混淆模型中的各个元素和关系，导致在应用模型时出现错误。（2）在证明过程中，确保每一步都合理且必要，避免遗漏重要条件或步骤，使证明过程更加严谨和完整.‌‌例1．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．

(1)求证：证明：∵在中，（已知）∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换），∵（___________），∴，∴．(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：；(3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，．①___________；（用含m的代数式表示）②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示）【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；(2)见解析；(3)①；②．【详解】（1）证明：∵在中，（已知），∴（直角三角形两锐角互余），又∵（已知），∴（等量代换），∵（三角形内角和定理），∴，∴．故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；（2）证明：∵平分，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴；（3）解：①∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：；

②连接，设，则，∵，∴，∵，∴，∵，∴解得：，∴四边形的面积，故答案为：．变式1．（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，是高，若，，则【答案】【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．变式2．（2024·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积等于的面积；②；③；④．其中正确的是（

）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【详解】解：是中线得到，，故①正确；，是高，∴，，是角平分线，，，，，，故②正确；，，，而，，故③正确．根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误；故选：C．易错模型9：双角平分线模型（双内角）模型解读：双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。1）两内角平分线的夹角模型图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。易错提醒：双角平分线模型有多种情况，包括内角平分线、外角平分线以及混合情况。学生在应用这些模型时，可能会因为对不同情况的理解和应用不当而导致错误。例1．（2024·山东·校考模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)AE+CD=AC，证明见解析【详解】（1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC；（2）解：AE+CD=AC，证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，∴，∵，∴，∵AO=3OD，∴，∴，∴AN=AM=AE，∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC．变式1．（2024·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则．【答案】【详解】解：∵点P到三边的距离相等，∴平分，平分，∴，故答案为：．变式2．（2023·天津·八年级期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．试探究与的数量关系（即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可）；探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系。【答案】探究一：；探究二：；探究三：【详解】解：探究一：∵，，∴；故答案为：；探究二：∵分别平分和，∴，，∴；探究三：∵分别平分和，∴，，∴．易错模型10：双角平分线模型（一内角一外角）模型解读：双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。图1图21）一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．易错提醒：双角平分线模型有多种情况，包括内角平分线、外角平分线以及混合情况。学生在应用这些模型时，可能会因为对不同情况的理解和应用不当而导致错误。例1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，，，是菱形的外角，点是的角平分线上任意一点，连接、，则的面积等于（

）A．6 B．9 C．12 D．无法确定【答案】A【详解】解：四边形是菱形，，，，，，平分，，，，，故选：A．易错警示：。变式1．（2024·四川成都·八年级校考期中）中，．现进行第一次操作：如图1作射线，使得，作射线，使得．再进行第二次操作：如图2作射线，使得，作射线，使得．再进行第三次操作：如图3作射线使得，作射线，使得．则．【答案】/20度【详解】解：第一次操作：，，，，，，第二次操作：，，，，第三次操作：，，，，；故答案为：．变式2．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图1，的内角和外角的平分线相交于点，平分并交于点．(1)当时，求的度数；（用含的代数式表示）(2)若，且，求的值；（提示：三角形的三条角平分线交于一点）；(3)如图2，过点作，垂足为，其中，，，当点为的三等分点时，直接写出点到射线的距离．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）证明：的内角和外角的平分线相交于点，，．又，分别是，的一个外角，．，．（2）解：如图，连接并延长，交于点，则平分．

，，．，．．，．，．，即的值为．（3）点到射线的距离为或．取的三等分点，，作，．∵，，根据勾股定理，得．∵，∴，，∴，．∵，，∴∽，∴，即，解得.同理：∽，∴，即，解得.点到射线的距离为或．易错模型11：双角平分线模型（双外角）模型解读双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 图1图2图31）两外角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：．2）旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。易错提醒：双角平分线模型有多种情况，包括内角平分线、外角平分线以及混合情况。学生在应用这些模型时，可能会因为对不同情况的理解和应用不当而导致错误。例1．（2024·山西大同·二模）阅读下列材料并完成相应的任务．三角形的旁心三角形一个内角的平分域和其他两个内角的外角平分线的交点，称为该三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．已知：如图1，在中，的外角与的平分线，相交于点I．作射线．求证：平分．证明：如图2，过点I分别作于点D，于点E，于点F．平分，，．，用理可得．……任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分．(2)图1中各角之间存在特殊的数量关系：①；②；③．请你选择一个结论进行证明．(3)如图3，在中，，点D是的一个旁心，过点D作，交的延长线于点E，且，则的长为________．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【详解】（1）证明：如图2，过点I分别作于点D，于点E，于点F．平分，，．，用理可得．；在内部，平分（2）解：选择结论①、证明如下：平分、平分，，选择结论②、证明如下：平分，平分选择结论③、证明如下：平分、平分、（3）如图所示，连接，过点作，垂足分别为，∴，又，则∵∴四边形是矩形，∵在中，，点D是的一个旁心，∴是的角平分线，，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴矩形是正方形，∴，在中，∴，∴，同理可得，则，设，，∴，在中，，∴，解得：，∴，在中，．变式1．（2024·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1），，是的外角，的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的平分线交于点E．(1)若，则度；(2)若，求∠E的度数；(3)在图（1）的条件下，沿作射线，连接，如图（2）．求证：平分．【答案】(1)(2)(3)见解析【详解】（1）解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：（2）∵平分，平分，∴，，∴，∴，∵，∵，∴，∴；（3）

如图2，过点D作于点H，于点K，于点I，∵平分，平分，∴，，∴，∵于点K，于点I，∴平分．变式2．（2023·山东青岛·一模）【阅读理解】三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于．如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【初步应用】如图③，点D，E分别是的边延长线上一点，（1）若，则______；（2）若，则______；（3）若，则______．【拓展延伸】如图④，点D，E分别是的边延长线上一点，（4）若，分别作和的平分线交于点O，则______；（5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______；（6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）60；（5）100；（6）．【详解】（1）由三角形外角的性质可得出．故答案为：；（2）∵，，∴．∵，，∴．故答案为：；（3）由（2）同理可得．∵，，∴故答案为：；（4）∵和的平分线交于点O，∴，，∴．由（2）可知，∴，∴．故答案为：；（5）∵，，∴．由（2）可知，∴，∴．故答案为：100；（6）∵，，∴．由（3）可知，∴，∴．故答案为：．易错模型12：平行线中的拐点模型模型解读：平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。常见平行线+拐点模型有：猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型等。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。易错提醒：（1）部分学生可能对平行线和拐点的基本概念理解不深，导致在应用模型时出现错误。（2）在计算角度时，由于疏忽或计算错误，导致结果不准确。（3）在具体题目中，不能正确应用这些模型，导致解题方向错误。例1．（2024·山西·二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，作，则，，，，，故选：B．例2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线和折射光线交主光轴于点P，若，，则°．【答案】45【详解】解：，，，又，，，，，．故答案为：45．例3．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，已知，如果，，那么的度数为．

【答案】/35度【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：．例4．（2024·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，过点作，∵，，∴．∴，．∵，∴．∴．故选C．例5．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（

）A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】D【详解】解：过点C作，∴，∵∴；∵，∴；由题意，∴，∴．故选：D易错警示：。变式1．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知，，，若，则为（

）A．23° B．33° C．44° D．46°【答案】C【详解】如图，过点E作，则，∴，，同理可得：，，∴，，故选：C．变式2．（2024·山西·模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图所示，延长交于F，∵，，∴，∵，∴，故选：C．变式3．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时，．【答案】/65度【详解】解：∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴；故答案为：．变式4．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，过点作工作篮底部，，

工作篮底部与支撑平台平行，工作篮底部支撑平台，，，，，，故选：．变式5．（24-25九年级上·湖北·课后作业）①如图①，，则；②如图②，，则；③如图③，，则；④如图④，直线，点在直线上，则．以上结论正确的是（

）A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②③④【答案】C【详解】解：①，如解图①，过点作，，，，，，故①正确；②，如解图②，设与交于点，，，是的一个外角，，，，故②正确；③，由①可得：，，，，故③不正确；④，，，，，，故④正确；所以结论正确的是①②④，故选：C．1-1．（23-24·吉林·八年级统考期末）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在对角线上截取，连按，，可将菱形分割为“风筝”（凸四边）和“飞镖”（凹四边形）两部分，则图2中的°．【答案】144【详解】在菱形中，，，在与中故答案为：1441-2．（2024·湖北八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．法二：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD−∠ABD＝58°．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°．故选A.1-3．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．

探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数；拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则度．【答案】（1），理由见详解；（2）①30；②95°；（3）【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E

∵又∵∴（2）①由（1）可知∵，∴②由（1）可知∵，∴平分，CF平分（3）由（1）可知∵，∴∵，分别是、的2020等分线（）∴∴2-1．（2024·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：如图，连结BD，延长AD到E，，，，故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意；多边形的外角和是，∴∴故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．故选：A．2-2．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点A落在的内部的点M处，当，时，求的度数；（2）如图，将沿折叠，使点A落在的外部的点M处．求图中，，之间的数量关系；（3）如图，将、一起沿折叠，使点A、点B的对应点M、N分别落在射线的左右两侧，，，、的数量关系．(直接写结果，不需要过程）【答案】（1），（2），（3）【详解】解：（1）如图，，，，，∵翻折，∴，，∵，，，∴，整理得，，∵，，∴，即；（2）如图，，，，，∵翻折，∴，，∵，∴，整理得，，即；故答案为：；（3）如图，，，，，∵翻折，∴，，∵，∴，整理得，，即．2-3．（2024·重庆·九年级校考期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝．【答案】126°【详解】解：∵DE∥BC，∴∠DEN＝∠A′NM＝27°，由翻折不变性可知：∠AED＝∠DEN＝27°，∴∠NEC＝180°﹣2×27°＝126°，故答案为126°．2-4．（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为．

【答案】或【详解】解：由折叠的性质得：；∵，∴；①当在下方时，如图，∵，∴，∴；

②当在上方时，如图，∵，∴，∴；综上，的度数为或；故答案为：或．2-5．（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______；（2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________；（3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数；（4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？

【答案】（1），（2）；（3）；（4）位置不改变，．【详解】（1）结论：理由：连接，

沿折叠A和重合，∴∵，∴．（2）理由：连接，沿折叠A和重合，∴∵，∴；（3）如图，延长，交于点Q，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，而，，∴，∴，∵，∴；（4），理由见解析如图，平分，平分，∴，，

由对折可得：，，由（2）的结论可得：，即∴，∴，∴，∴，∴．3-1．（2024·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数；②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①；②【详解】（1）证明：在中，，在中，，∵，∴；（2）解：①∵和的平分线和相交于点P，∴，∵①，②，由，得：，即，∵，∴；②∵，∴，，∵，，∴，，∴，∴），故答案为：．3-2．（2024·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．

(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，、分别平分、，说明：．(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．

【答案】(1)见解析(2)①；②；③【详解】（1）解：∵分别平分，∴，∴，由题干的结论得：，∠，∴，∴，∴，即；（2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知，∵分别平分，∴，∵∴，∴，同理可得，由题干的结论可得∴；

②如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知，，同理可得，，∴；③由题干的结论可得，∵平分，平分的外角，∴，∵，∴，由题干的结论可知，∴，∴．4-1．（2023·浙江·八年级期中）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为．【答案】【详解】解：如图，，，，，故答案为：．4-2．（2023·河北沧州·模拟预测）在中，数据如图所示，若比小，则比（

）

A．大 B．小 C．大 D．小【答案】A【详解】根据三角形内角和定理，得，∴，∴，∵比小，∴，故选A．5-1．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意，得：，∵，∴，∴；故选B．5-2．（2022·江苏扬州·中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则°．【答案】105【详解】，，，∵∠E=60°，∴∠F=30°，故答案为：1055-3．（2024·浙江·八年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有．（填序号）

【答案】①③④【详解】解：①∵，点E、C、D始终保持在一条直线上∴∵∴故①正确；②如图1：过点C作

当点E从点A移动到点H位置时，的度数在逐渐增大∴的度数在逐渐减小当点E从点H移动到点B位置时，的度数在逐渐增大故②错误；③当直线与线段交于点M，如图2：∵∴∴当直线与线段的延长线交于点M，如图3：∵∴∴故若直线与直线交于点M，则为定值故③正确；④当点E在线段上时，且，则；当点E在线段上时，且，则；当时，则；∴若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个故④正确；故答案为：①③④6-1．（2024·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角中，为钝角，为边上的高，为的平分线，则与、之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：由三角形内角和知∠BAC=180°-∠2-∠1，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠2-∠1）．∵AD为BC边上的高，∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．又∵∠ABD=180°-∠2，∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°，∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+（180°-∠2-∠1）=（∠2-∠1）．故选：B6-2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在中，，平分．(1)如图（1），于D，若，求；(2)如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由；(3)如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________；（不用证明）(4)如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明）【答案】(1)(2)，理由见解析(3)(4)【详解】（1）解：在中，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；（2）解：在中，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：过点作，∵，∴，∴，由（2）可知：，∴；故答案为：；（4）解：过点作，∵，∴，∴，由（2）可知：，∴；故答案为：．6-3．（2024·河南新乡·九年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．(1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点．①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；

(2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；(3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．

【答案】(1)①；②(2)不变，理由见解析(3)对于图3；对于图4【详解】（1）解：①如图所示：

在中，，，，是的平分线，，是的一个外角，，用三角尺作边上的高，垂足为点，；②如图所示:是的一个外角，，，；（2）解：不变，理由如下：

由（1）可知，，是的一个外角，，，；（3）解：如图所示：在中，，，，是的平分线，，是的一个外角，，，；如图所示：在中，，，，是的平分线，，，，；综上所述，对于图3；对于图4．7-1．（2024·陕西·校考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴，∵是边上的高，∴，∴，故选：A．7-2．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为．【答案】【详解】解：∵，，∴，∴，，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴的面积，故答案为：．7-3．（2024·安徽·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（）．A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴，∴．故选B．8-1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，于点D，若，则的长度为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【详解】解：∵在中，，∴，∵，∴，∴在中，，∴在中，，∴．故选：C．8-2．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则．

【答案】50或25/25或50【详解】解：∵，∴∵平分∴当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，如图1，

∵，∴；②当时，如图2，∴，∵，∴，综上，的度数为或．故答案为：50或25．8-3．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且．(1)求证：(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：；(3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，．①求的值；②四边形的面积是______．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)①3；②21【详解】（1）证明：，，，，，，（2）证明：平分，，，，而，；（3）①，，，，，；②如图，连接，设，则，，，，，，，解得，四边形的面积，故答案为：21．9-1．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，是内一点，连接，．(1)猜想：与、、存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若，、分别是、的三等分线，直接利用（1）中结论，可得的度数为．【答案】(1)，证明见解析(2)【详解】（1）解：猜想：，证明：由题意得：，，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，、分别是、的三等分线，∴，，，∴．故答案为：．9-2．（23-24九年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系；【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______；【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______；【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______；【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105【详解】解：（1）∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴．（2）∵、是的三等分线，、是的三等分线，∴，，∴．故答案为：（3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线，∴