2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 线性规划及其在商业中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——线性规划及其在商业中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.下列表达式中，不属于线性规划模型组成部分的是？(A)线性目标函数(B)线性约束条件(C)非负约束条件(D)非线性目标函数2.在线性规划问题的图解法中，若可行域无界，则该问题可能有？(A)唯一最优解(B)无穷多最优解(C)无界解(D)无解3.已知线性规划问题：MaxZ=c₁x₁+c₂x₂，s.t.a₁₁x₁+a₁₂x₂≤b₁,x₁,x₂≥0，其对偶问题是：MinW=b₁y₁，s.t.a₁₁y₁≤c₁,a₁₂y₁≤c₂,y₁≥0。则对偶变量y₁的经济意义是？(A)第一个资源的影子价格(B)第二个资源的影子价格(C)目标函数系数c₁的值(D)决策变量x₁的值4.在单纯形法迭代中，若某非基变量的检验数σj<0，但对应的列向量中所有元素均小于或等于零，则该线性规划问题？(A)有唯一最优解(B)存在无穷多最优解(C)无界解(D)无解5.线性规划灵敏度分析主要研究当模型中的哪些参数发生变化时，最优解和最优值如何变化？(A)决策变量(B)约束右端项（资源量）(C)目标函数系数(D)约束系数矩阵二、填空题1.线性规划模型的标准形式要求目标函数为________，约束条件均为________，决策变量均为________。2.若线性规划原问题的对偶问题有最优解，则原问题也必有________。3.在单纯形表中，主元所在的行对应的基变量是________。4.影子价格反映了________的变化对最优目标值的影响程度。5.若通过灵敏度分析发现，某个资源限制系数bi的允许变化范围已经超出，则原问题的最优基________。三、计算题1.用单纯形法求解下列线性规划问题：MaxZ=3x₁+5x₂s.t.x₁+x₂≤42x₁+x₂≤6x₁,x₂≥02.已知某线性规划问题用单纯形法求解，得到最优单纯形表如下（部分）：|基变量|x₁|x₂|s₁|s₂|Z||-------|-----|-----|-----|-----|---||Z|0|-2|1|0|40||x₁|1|1|0|1/2|8||x₂|0|1|-1|1/2|4|其中，s₁,s₂为松弛变量。请回答：(1)该问题的最优解是什么？最优值是多少？(2)目标函数系数c₁,c₂在什么范围内变化时，当前最优解（基变量）保持不变？(3)资源限制4（即s₁的系数）在什么范围内变化时，当前最优基保持不变？3.某公司生产两种产品A和B，需要使用两种资源甲和乙。生产每单位产品A需要甲1单位，乙2单位，利润3元；生产每单位产品B需要甲2单位，乙1单位，利润2元。现有甲资源100单位，乙资源120单位。问：该公司应如何安排生产计划，才能使总利润最大？请建立该问题的线性规划模型。四、应用题某农场有100公顷土地可用于种植作物A和B。种植作物A每公顷需要劳动力5人/天，肥料10吨，预计每公顷产量为800公斤，售价为4元/公斤。种植作物B每公顷需要劳动力3人/天，肥料8吨，预计每公顷产量为700公斤，售价为5元/公斤。农场计划每天最多投入劳动力300人，每月最多投入肥料800吨。问：农场应如何安排A、B两种作物的种植面积，才能使每月的总收入最大？请建立该问题的线性规划模型，并列出约束条件。试卷答案一、选择题1.D2.C3.A4.C5.B二、填空题1.最大值（或极大值）；等式；非负2.最优解3.当前4.资源（或资源限制）5.不变三、计算题1.解：引入松弛变量s₁,s₂，将问题化为标准型：MaxZ=3x₁+5x₂s.t.x₁+x₂+s₁=42x₁+x₂+s₂=6x₁,x₂,s₁,s₂≥0初始单纯形表：|基|Z|x₁|x₂|s₁|s₂|RHS||---|---|----|----|----|----|-----||Z|1|-3|-5|0|0|0||s₁|0|1|1|1|0|4||s₂|0|2|1|0|1|6|检验数：σ₁=-3,σ₂=-5<0，选择入基变量x₂（最小负检验数）。列比：4/1=4,6/1=6，选择出基变量s₁（最小比值）。主元为1。进行旋转变换：|基|Z|x₁|x₂|s₁|s₂|RHS||---|---|----|----|----|----|-----||Z|1|-3|0|5|0|20||x₂|0|1|1|1|0|4||s₂|0|1|0|-1|1|2|检验数：σ₁=-3+5(1)=2>0，已无负检验数。最优解：x₁=0,x₂=4。最优值：Z=20。2.解：(1)由表可知，基变量为x₁和x₂，非基变量为s₁和s₂。RHS列对应的解即为最优解。最优解为x₁=8,x₂=4。最优值Z=40。(2)当前最优基为x₁和x₂。要使最优基保持不变，需保证所有非基变量（s₁,s₂）的检验数σj≥0。s₁对应的检验数：0-(-2)y₁+1(1/2)=2y₁+1/2。需2y₁+1/2≥0，即y₁≥-1/4。s₂对应的检验数：0-(-2)y₁+1(1/2)=2y₁+1/2。需2y₁+1/2≥0，即y₁≥-1/4。同时，需要满足对偶可行性：a₁₁y₁≤c₁,a₁₂y₁≤c₂，即1*y₁≤0,1*y₁≤5。需y₁≤0。综合得到：-1/4≤y₁≤0。由s₁,s₂的列向量[0,1/2]T和[1,1/2]T可知，y₁的取值不影响当前基。因此，只要-1/4≤c₁≤0且-1/4≤c₂≤5，最优基保持不变。(3)当前最优基为x₁和x₂。要使最优基保持不变，需保证所有非基变量（s₁,s₂）的检验数σj≥0。如(2)中分析，s₁,s₂的检验数分别为2y₁+1/2和2y₁+1/2。需要2y₁+1/2≥0，即y₁≥-1/4。同时，需要满足对偶可行性：a₁₁y₁≤c₁,a₁₂y₁≤c₂，即1*y₁≤0,1*y₁≤5。需y₁≤0。综合得到：-1/4≤y₁≤0。由单纯形表可知，s₁的系数（4）在RHS列，代表4s₁。资源限制4对应的是s₁的约束，即x₁+x₂+s₁=4。若此约束右端项变为4+Δ，即x₁+x₂+s₁=4+Δ，则最优基不变的条件不变，即-1/4≤y₁≤0。由于y₁的取值不影响当前基，因此资源限制4（即s₁的系数4）可以在(-∞,+∞)范围内变化，最优基保持不变。3.解：设农场种植作物A的面积为x₁公顷，种植作物B的面积为x₂公顷。目标是使总收入最大，总收入=4*800*x₁+5*700*x₂=3200x₁+3500x₂。MaxZ=3200x₁+3500x₂约束条件：土地面积约束：x₁+x₂≤100劳动力约束：5x₁+3x₂≤300*30(假设每月工作30天)或简化为5x₁+3x₂≤9000人/天肥料约束：10x₁+8x₂≤800非负约束：x₁,x₂≥0线性规划模型为：MaxZ=3200x₁+3500x₂s.t.x₁+x₂≤1005x₁+3x₂≤900010x₁+8x₂≤800x₁,x₂≥0四、应用题设农场种植作物A的面积为x₁公顷，种植作物B的面积为x₂公顷。目标是使总收入最大，总收入=4*800*x₁+5*700*x₂=3200x₁+3500x₂。MaxZ=3200x₁+3500x₂约束条件：