高考物理一轮复习 知识点27：圆周运动提高解析版

知识点27：圆周运动考点一：圆周运动的运动学问题题型一：圆周运动物理量计算的问题【知识思维方法技巧】圆周运动物理量的相互关系：【典例1提高题】A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们()A．线速度大小之比为4∶3B．角速度大小之比为3∶4C．圆周运动的半径之比为2∶1D．向心加速度大小之比为1∶2【典例1提高题】【答案】A【解析】时间相同，路程之比即线速度大小之比，A项正确；运动方向改变的角度之比即对应扫过的圆心角之比，由于时间相同，角速度大小之比为3∶2，B项错误；路程比除以角度比得半径之比，为8∶9，C项错误；由向心加速度an＝eq\f(v2,r)知线速度平方比除以半径比即向心加速度大小之比，为2∶1，D项错误.【典例1提高题对应练习】（多选）甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线如图所示，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图象可以知道()A．甲球运动时，线速度的大小保持不变B．甲球运动时，角速度的大小保持不变C．乙球运动时，线速度的大小保持不变D．乙球运动时，角速度的大小保持不变【典例1提高题对应练习】【答案】AD【解析】图线甲中an与r成反比，由an＝eq\f(v2,r)可知，甲球的线速度大小不变，由v＝ωr可知，随r的增大，角速度逐渐减小，A正确，B错误；图线乙中an与r成正比，由an＝ω2r可知，乙球运动的角速度大小不变，由v＝ωr可知，随r的增大，线速度大小增大，C错误，D正确。题型二：圆周运动的传动问题【知识思维方法技巧】（1）皮带传动特点：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.（2）摩擦传动和齿轮传动特点：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.（3）同轴传动特点：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．【典例2提高题】水平放置的三个不同材料制成的圆轮A、B、C，用不打滑皮带相连，如图所示(俯视图)，三圆轮的半径之比为RA∶RB∶RC＝3∶2∶1，当主动轮C匀速转动时，在三轮的边缘上分别放置一相同的小物块(可视为质点)，小物块均恰能相对静止在各轮的边缘上，设小物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小物块与轮A、B、C接触面间的动摩擦因数分别为μA、μB、μC，A、B、C三轮转动的角速度分别为ωA、ωB、ωC，则()A．μA∶μB∶μC＝2∶3∶6B．μA∶μB∶μC＝6∶3∶2C．ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶3D．ωA∶ωB∶ωC＝6∶3∶2【典例2提高题】【答案】A【解析】小物块在水平方向由最大静摩擦力提供向心力，所以向心加速度a＝μg，而a＝eq\f(v2,R)，A、B、C三圆轮边缘的线速度大小相同，所以μ∝eq\f(1,R)，所以μA∶μB∶μC＝2∶3∶6，由v＝Rω可知，ω∝eq\f(1,R)，所以ωA∶ωB∶ωC＝2∶3∶6，故只有A正确．【典例2提高题对应练习】如图所示，圆桌桌面中间嵌着一可绕中心轴O转动的圆盘，A是圆盘边缘的一点，B是圆盘内的一点。分别把A、B的角速度记为ωA、ωB，线速度vA、vB，向心加速度记为aA、aB，周期记为TA、TB，则()A．ωA＞ωBB．vA＞vBC．aA＜aB D．TA＜TB【典例2提高题对应练习】【答案】B【解析】因A、B两点同轴转动，则角速度相同，则ωA＝ωB，选项A错误；因为rA＞rB，根据v＝ωr可知，vA＞vB，选项B正确；因为rA＞rB，根据a＝ω2r可知，aA＞aB，选项C错误；因ωA＝ωB，根据T＝eq\f(2π,ω)可知，TA＝TB，选项D错误。题型三：圆周运动的周期性和多解性问题【典例3提高题】(多选)如图所示，B球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，竖直平台与轨迹相切且高度为R，当B球运动到切点时，在切点的正上方的A球水平飞出，不计空气阻力，速度大小为，g为重力加速度，要使B球运动一周内与A球相遇，则B球的速度大小可能为()A. B. C.π D.2π【典例3提高题】【答案】AB【解析】A球在空中运动的时间t＝，水平位移x＝v0t＝R，A球与B球相遇从上往下看有两种情况，如图所示，A球水平位移的投影与直径的夹角均为30°，若在C点相遇，B球转过的角度为π，则B球的速度大小为vB＝＝，若在D点相遇，B球转过的角度为π，则B球的速度大小为vB＝＝，A、B正确，C、D错误．【典例3提高题对应练习】(多选)如图所示，在半径为R的水平圆盘中心轴正上方水平抛出一小球，圆盘以角速度ω做匀速转动，当圆盘半径Ob恰好转到与小球初速度方向相同且平行的位置时，将小球抛出，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为b，重力加速度为g，小球抛出点a距圆盘的高度h和小球的初速度v0可能是()A.h＝，v0＝ B.h＝，v0＝C.h＝，v0＝ D.h＝，v0＝【典例3提高题对应练习】【答案】ABD【解析】取小球为研究对象，设从抛出到落到b点时间为t，而圆周运动的周期T＝，则有t＝nT，则有h＝gt2＝·g·()2，而初速度v0＝＝；当n＝1时，则h1＝，v0＝；当n＝2时，则h2＝，v0＝；当n＝3时，则h3＝，v0＝；当n＝4时，则h4＝，v0＝.由以上分析可知，A、B、D正确，C错误．考点二：圆周运动的动力学问题【知识思维方法技巧】圆周运动中的动力学问题：（1）向心力的来源：由合外力提供，只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心力是按力的作用效果命名的，因此在受力分析中要避免再添加一个向心力。（2）向心力的确定：确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置；分析物体的受力情况，合力沿半径方向的分力就是向心力。（3）圆周运动问题的解题步骤：①确定对象：确定物体圆周运动的轨道平面、圆心和半径。②进行分析：分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。分析几何关系，确定圆周运动的圆心、半径等；③选择公式：根据牛顿运动定律和各力的关系列方程求解，向心力大小：F向＝ma＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\f(4π2,T2)＝mr4π2n2＝mωv，有时对结果进行必要的讨论。（4）圆周运动中向心力与合力的关系：①匀速圆周运动：②非匀速圆周运动：题型一：水平式圆周运动的动力学问题类型一：车辆水平转弯模型【典例1a提高题】如图所示，一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是()A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B．汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104NC．汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2【典例1a提高题】【答案】D【解析】汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；汽车转弯的速度为20m/s时，根据Fn＝meq\f(v2,R)，得所需的向心力为1.0×104N，没有超过最大静摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为am＝eq\f(Ff,m)＝7.0m/s2，D正确．【典例1a提高题对应练习】(多选)如图所示，照片中的汽车在水平公路上做匀速圆周运动．已知图中双向四车道的总宽度为15m，内车道内边缘间最远的距离为150m．假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7倍．g取10m/s2，则汽车()A．所受的合力可能为零B．只受重力和地面支持力的作用C．所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供D．最大速度不能超过3eq\r(70)m/s【典例1a提高题对应练习】【答案】CD【解析】汽车做匀速圆周运动，则所受的合力不可能为零，选项A错误；汽车做匀速圆周运动，竖直方向受重力和地面支持力的作用，水平方向受摩擦力作用，提供汽车做匀速圆周运动的向心力，选项B错误；车在水平公路上做匀速圆周运动，则汽车所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供，只由摩擦力提供，选项C正确；汽车转弯的最大半径为r＝eq\f(150,2)m＋15m＝90m，由牛顿第二定律可得μmg＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(μgr)＝eq\r(0.7×10×90)m/s＝3eq\r(70)m/s，即汽车的最大速度不能超过3eq\r(70)m/s，选项D正确．类型二：火车水平转弯模型【典例1b提高题】（多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则()A．该弯道的半径r＝eq\f(v2,gtanθ)B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压【典例1b提高题】【答案】AB【解析】火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtanθ＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(v2,gtanθ)，选项A正确；由上式得v＝eq\r(grtanθ)，可知火车规定的行驶速度与质量无关，选项B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，选项C错误；当火车速率小于v时，重力和支持力的合力偏大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，选项D错误。类型三：飞机水平转弯模型【典例1c提高题】（多选）飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力.设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T.则下列说法正确的是()若飞行速率v不变，θ增大，则半径R增大B．若飞行速率v不变，θ增大，则周期T增大C．若θ不变，飞行速率v增大，则半径R增大D．若飞行速率v增大，θ增大，则周期T可能不变【典例1c提高题】【答案】CD【解析】对飞机进行受力分析，如图所示，根据重力和机翼升力的合力提供向心力，得mgtanθ＝meq\f(v2,R)＝meq\f(4π2,T2)R，解得：v＝eq\r(gRtanθ)，T＝2πeq\r(\f(R,gtanθ)).若飞行速率v不变，θ增大，由v＝eq\r(gRtanθ)知，R减小，则再由T＝2πeq\r(\f(R,gtanθ))知，T减小，故A、B错误；若θ不变，飞行速率v增大，由v＝eq\r(gRtanθ)知，R增大，故C正确；若飞行速率v增大，θ增大，R的变化不能确定，则周期T可能不变，故D正确.类型四：飞车走壁模型【典例1d提高题】(多选)如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A．A、B球受到的支持力之比为eq\r(3)∶3B．A、B球的向心力之比为eq\r(3)∶1C．A、B球运动的角速度之比为3∶1D．A、B球运动的线速度之比为1∶1【典例1d提高题】【答案】CD【解析】设小球受到的支持力为FN，向心力为F，则有FNsinθ＝mg，FNA∶FNB＝eq\r(3)∶1，选项A错误；F＝eq\f(mg,tanθ)，FA∶FB＝3∶1，选项B错误；小球运动轨道高度相同，则半径R＝htanθ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，选项C正确；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，选项D正确．【典例1d提高题对应练习】（多选）马戏团中上演的飞车节目深受观众喜爱。如图甲所示，两表演者骑着摩托车在竖直放置的圆锥筒内壁上做水平匀速圆周运动。若将两表演者(含摩托车)分别看作质点A、B，其示意简图如图乙所示，摩托车与内壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，则B质点做圆周运动的()A．周期较大B．线速度较大C．角速度较大 D．向心加速度较大【典例1d提高题对应练习】【答案】AB【解析】摩托车做匀速圆周运动，摩擦力恰好为零，由重力mg和支持力FN的合力提供圆周运动的向心力，作出受力分析图如图所示，则有向心力Fn＝mgtanα。由Fn＝mω2r、Fn＝meq\f(v2,r)，得ω＝eq\r(\f(gtanα,r))，v＝eq\r(grtanα)，由于B质点所处位置高，运动半径r大，则ω较小，v较大，故B正确，C错误；因为T＝eq\f(2π,ω)，而B质点角速度小，则其周期较大，故A正确；由Fn＝man，得向心加速度an＝gtanα，可知A、B两质点的向心加速度相等，故D错误。类型五：圆锥摆运动模型【思维方法技巧】如图，在同一水平面上做匀速圆周运动（圆锥摆）的两个小球，由mgtanθ＝mω2htanθ，可以知道角速度（周期）相同。【典例1e提高题】（多选）如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动．已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是()A．细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为eq\r(3)∶1B．小球m1和m2的角速度大小之比为eq\r(3)∶1C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1D．小球m1和m2的线速度大小之比为3eq\r(3)∶1【典例1e提高题】【答案】AC【解析】对任一小球进行研究，设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则Tcosθ＝mg，解得T＝eq\f(mg,cosθ)，所以细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为eq\f(T1,T2)＝eq\f(cos30°,cos60°)＝eq\f(\r(3),1)，故A正确；小球所受合力的大小为mgtanθ，根据牛顿第二定律得mgtanθ＝mLω2sinθ，得ω2＝eq\f(g,Lcosθ)，故两小球的角速度大小之比为eq\f(ω1,ω2)＝eq\r(\f(cos30°,cos60°))＝eq\f(\r(4,3),1)，故B错误；小球所受合力提供向心力，则向心力为F＝mgtanθ，小球m1和m2的向心力大小之比为eq\f(F1,F2)＝eq\f(tan60°,tan30°)＝3，故C正确．两小球角速度大小之比为eq\r(4,3)∶1，由v＝ωr得线速度大小之比为eq\r(3\r(3))∶1，故D错误．【典例1e提高题对应练习】有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如右图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．【典例1e提高题对应练习】【答案】ω＝eq\r(\f(gtanθ,r＋Lsinθ))【解析】设座椅的质量为m，匀速转动时，座椅的运动半径为R＝r＋Lsinθ①；受力分析如图，由牛顿第二定律，有mgtanθ＝mω2R②；联立①②，得转盘角速度ω与夹角θ的关系ω＝eq\r(\f(gtanθ,r＋Lsinθ)).题型二：转盘水平式圆周运动的动力学问题【典例2提高题】如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则()A.绳的张力可能为零B.桶对物块的弹力不可能为零C.随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变D.随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大【典例2提高题】【答案】C【解析】当物块随圆桶做匀速圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，故A、D错误，C正确；当绳的拉力的水平分力恰好提供向心力的时候，圆桶对物块的弹力恰好为零，故B错误．【典例2提高题】（多选）如图所示，A、B两个物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量是m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，在转盘转速增加的过程中，两物体始终相对盘静止，则()A．A与B的线速度大小之比为eq\r(2)∶1B．A与B的角速度之比为1∶1C．A与B的向心加速度大小之比为1∶1D．摩擦力对物体做正功【典例2提高题】【答案】BD【解析】A、B同轴转动，角速度相等，即ωA∶ωB＝1∶1，由v＝rω得：vA∶vB＝rA∶rB＝2∶1，故A错误，B正确；根据a＝rω2知，aA∶aB＝rA∶rB＝2∶1，故C错误；由于只有摩擦力对物体做功，由动能定理得：Wf＝ΔEk，转盘转速增加则A、B动能增加，所以摩擦力对物体做正功，故D正确．题型三：竖直面内的非匀速圆周运动的动力学问题【知识思维方法技巧】在竖直面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：（1）无支撑的“绳（环）约束模型”：本模型的分析方法和结论适用于“水流星”、“绳球模型”、“过山车”、“竖直固定的光滑内侧圆弧轨道”等，其共同点为：物体做圆周运动的速率时刻在改变，在最低点处的速率最大，在最高点处的速率最小。在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向不确定，临界情况是弹力为零，重力充当向心力。（2）有支撑的“杆（管）约束模型”：本模型的分析方法和结论适用于“过拱形桥”、“杆球模型”、“环形管内光滑轨道”等。在最高点的临界情况是所受弹力为零，速度为零。注意：常利用动能定理来建立最高点和最低点的速度联系。类型一：竖直面内球—绳模型（无支撑绳约束模型）【知识思维方法技巧】竖直面内球—绳模型的处理技巧：（1）球运动在最高点时无支撑。球运动到最高点时：若v≥eq\r(gR)，F弹＋mg＝meq\f(v2,R)，绳、轨道对球产生弹力F弹，若v<eq\r(gR)，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。（2）实例：球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等【典例3a提高题】质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是(重力加速度为g)()A．秋千对小明的作用力小于mgB．秋千对小明的作用力大于mgC．小明的速度为零，所受合力为零D．小明的加速度为零，所受合力为零【典例3a提高题】【答案】A【解析】在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对小明，沿摆绳方向受力分析有：F－mgcosθ＝meq\f(v2,l)，由于小明的速度为0，则有F＝mgcosθ<mg，沿垂直摆绳方向有mgsinθ＝ma，解得小明在最高点的加速度为a＝gsinθ，所受合力为mgsinθ，所以A正确，B、C、D错误．【典例3a提高题对应练习】如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动．改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b)，斜率为k.不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．该小球的质量为bgB．小球运动的轨迹半径为eq\f(b,kg)C．图线与横轴的交点表示小球所受的合外力为零D．当v2＝a时，小球的向心加速度为g【典例3a提高题对应练习】【答案】B【解析】小球在最高点时受到的拉力为F，则有：F＋mg＝eq\f(mv2,R)，解得：F＝meq\f(v2,R)－mg；结合题图乙可知：mg＝b，即m＝eq\f(b,g)，斜率为k＝eq\f(m,R)＝eq\f(2b,a)，解得：R＝eq\f(m,k)＝eq\f(b,kg)，故A错误，B正确；图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合外力等于重力时的情况，故C错误；根据向心加速度公式可知a′＝eq\f(v2,R)＝eq\f(a,\f(b,kg))＝eq\f(akg,b)＝2g，故D错误．类型二：竖直面内球—杆模型（有支撑杆管约束模型）【知识思维方法技巧】竖直面内球—杆模型的处理技巧：（1）当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心；（2）当0<v<eq\r(gR)时，mg－F弹＝meq\f(v2,R)，F弹背离圆心并随v的增大而减小；（3）当v＝eq\r(gR)时，F弹＝0；（4）当v>eq\r(gR)时，mg＋F弹＝meq\f(v2,R)，F弹指向圆心并随v的增大而增大。【典例3b提高题】（多选）如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v，下列叙述中正确的是（）A．v的值可以小于eq\r(gl)B．当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大C．当v由eq\r(gl)值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D．当v由eq\r(gl)值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小【典例3b提高题】【答案】ABC【解析】细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故A正确。根据F向＝meq\f(v2,l)知，速度增大，向心力增大，故B正确。当v＝eq\r(gl)时，杆的作用力为零，当v>eq\r(gl)时，杆的作用力表现为拉力，速度增大，拉力增大，故C正确。当v<eq\r(gl)时，杆的作用力表现为支持力，速度减小，支持力增大，故D错误。【典例3b提高题对应练习】（多选）奥运会单杠比赛中有一个“单臂大回环”动作，难度系数非常大．假设运动员质量为m，单臂抓杠身体下垂时，手掌到人体重心的距离为l，在运动员单臂回转从顶点倒立（已知此时速度为0）转动至最低点的过程中(可将人视做质量集中于重心的质点，且不考虑手掌与单杠间的摩擦力，重力加速度为g)．下列分析正确的有()A．到最低点处速度是2eq\r(gl)B．在最低点处的加速度大小是4gC．在最低点时运动员手臂拉力是其自身重力的3倍D．经过最低点角速度最大且等于2eq\r(\f(g,l))【典例3b提高题对应练习】【答案】ABD【解析】运动到最低点时：v＝eq\r(2·2gl)＝2eq\r(gl)，a＝eq\f(v2,l)＝4g；F－mg＝meq\f(v2,l)，F＝5mg；ω＝eq\f(v,l)＝2eq\r(\f(g,l)).由此可知，C选项不正确．类型三：竖直面内球—内轨模型【典例3c提高题】未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是()A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小【典例3c提高题】【答案】B【解析】由题意知有mg＝F＝mω2r，即g＝ω2r，因此r越大，ω越小，且与m无关，B正确．【典例3c提高题对应练习】如图所示，在质量为M的物体内有光滑的圆形轨道，有一质量为m的小球在竖直平面内沿圆轨道做圆周运动，A与C两点分别是轨道的最高点和最低点，B、D两点与圆心O在同一水平面上．在小球运动过程中，物体M静止于地面，则关于物体M对地面的压力FN和地面对物体M的摩擦力方向，下列说法正确的()A．小球运动到A点时，FN＞Mg，摩擦力方向向左B．小球运动到B点时，FN＝Mg，摩擦力方向向右C．小球运动到C点时，FN＜(M＋m)g，地面对M无摩擦D．小球运动到D点时，FN＝(M＋m)g，摩擦力方向向右【典例3c提高题对应练习】【答案】B【解析】小球在A点时，系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，A项错误；小球在B点时，需要的向心力向右，所以M对小球有向右的支持力的作用，对M受力分析可知，地面要对物体有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体M对地面的压力FN＝Mg，B项正确；小球在C点时，小球的向心力向上，所以物体M对小球的支持力要大于小球的重力，故M受到的小球的压力大于mg，那么M对地面的压力就要大于(M＋m)g，系统在水平方向上不受力，则地面对M没有摩擦，C项错误；小球在D点和B点的受力的类似，M对小球的弹力向左，则小球对M的弹力向右，则M受到地面的摩擦力方向向左，在竖直方向上，根据平衡条件知，FN＝Mg，D项错误．类型四：竖直面内球—外轨模型【典例3d提高题】如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上．若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用的时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则()A．t1＜t2 B．t1＝t2C．t1＞t2 D．无法比较t1、t2的大小【典例3d提高题】【答案】A【解析】在滑道AB段上取任意一点E，比较从A点到E点的速度v1和从C点到E点的速度v2易知，v1>v2.因E点处于“凸”形轨道上，速度越大，轨道对小滑块的支持力越小，因动摩擦因数恒定，则摩擦力越小，可知由A滑到C比由C滑到A在AB段上的摩擦力小，因摩擦造成的动能损失也小．同理，在滑道BC段的“凹”形轨道上，小滑块速度越小，其所受支持力越小，摩擦力也越小，因摩擦造成的动能损失也越小，从C处开始滑动时，小滑块损失的动能更大．故综上所述，从A滑到C比从C滑到A在轨道上因摩擦造成的动能损失要小，整个过程中从A滑到C平均速度要更大一些，故t1<t2.选项A正确．【典例3d提高题对应练习】(多选)当汽车通过圆弧形凸桥时，下列说法中正确的是()A．汽车在桥顶通过时，对桥的压力一定小于汽车的重力B．汽车通过桥顶时，速度越小，对桥的压力就越小C．汽车所需的向心力由桥对汽车的支持力来提供D．汽车通过桥顶时，若汽车的速度v＝eq\r(gR)(R为圆弧形桥面的半径)，则汽车对桥顶的压力为零【典例3d提高题对应练习】【答案】AD【解析】当汽车过桥顶时，汽车做圆周运动的向心力由汽车的重力和桥顶对汽车支持力的合力提供，有mg－N＝meq\f(v2,R)，所以汽车过桥顶时，汽车对桥的压力一定小于汽车的重力，A正确，C错误；由上式得N＝mg－meq\f(v2,R)，当v增大时，N减小，B错误。当N＝0时有mg＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(gR)，D正确。类型五：竖直面内管道模型【典例3e提高题】如图所示，一内壁光滑、质量为m、半径为r的环形细圆管，用硬杆竖直固定在天花板上．有一质量为m的小球(可看做质点)在圆管中运动．小球以速率v0经过圆管最低点时，杆对圆管的作用力大小为()A．meq\f(v\o\al(2,0),r)B．mg＋meq\f(v\o\al(2,0),r)C．2mg＋meq\f(v\o\al(2,0),r)D．2mg－meq\f(v\o\al(2,0),r)【典例3e提高题】【答案】C【解析】以球为研究对象，根据牛顿第二定律得，FN－mg＝meq\f(v\o\al(2,0),r)，解得FN＝mg＋meq\f(v\o\al(2,0),r).由牛顿第三定律知：球对圆管的作用力大小FN′＝FN＝mg＋meq\f(v\o\al(2,0),r)，方向向下．再以圆管为研究对象，由平衡条件可得：杆对圆管的作用力大小F＝mg＋FN′＝2mg＋meq\f(v\o\al(2,0),r).【典例3e提高题对应练习】如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与最高点时的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是()A．管道的半径为eq\f(b2,g)B．小球的质量为eq\f(a,g)C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力【典例3e提高题对应练习】【答案】B【解析】由题图乙可知，v2＝b时FN＝0，此时mg＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(b,g)，故A错误；当v2＝0时，FN＝mg＝a，所以m＝eq\f(a,g)，故B正确；小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力，故C错误；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误。题型四：竖直面内匀速圆周运动的动力学问题【典例4提高题】（多选）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱()A．运动周期为eq\f(2πR,ω)B．线速度的大小为ωRC．受摩天轮作用力的大小始终为mgD．所受合力的大小始终为mω2R【典例4提高题】【答案】BD【解析】由题意可知座舱运动周期为T＝eq\f(2π,ω)、线速度为v＝ωR、受到合力为F＝mω2R，B、D正确，A错误；座舱的重力为mg，座舱做匀速圆周运动受到的向心力(即合力)大小不变，方向时刻变化，故座舱受摩天轮的作用力大小时刻在改变，C错误．【典例4提高题对应练习】如图所示，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做匀速圆周运动．衣物经过洗衣机上a、b、c、d四个位置中，脱水效果最好的是()A．aB．bC．cD．d【典例4提高题对应练习】【答案】B【解析】衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，它们的角速度是相等的，在a点，根据牛顿第二定律可知mg＋FN1＝mω2R，解得FN1＝mω2R－mg；在b点，根据牛顿第二定律可知FN2－mg＝mω2R，解得FN2＝mω2R＋mg；在c、d两点，根据牛顿第二定律可知FN＝mω2R，可知衣物对滚筒壁的压力在b位置最大，脱水效果最好．考点三：圆周运动的临界问题题型一：轻绳断裂与松弛的临界极值问题【知识思维方法技巧】轻绳断裂与松弛的临界极值条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。【典例1提高题】(多选)如图所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它随杆转动，若转动角速度为ω，则()A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力B．绳子BP的拉力随ω的增大而不变C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力【典例1提高题】【答案】AC【解析】ω较小时，AP松弛，绳子BP的拉力随ω的增大而增大，故A选项正确，B选项错误．当ω达到某一值ω0时，AP刚好绷紧．物体P受力分析如图所示，其合力提供向心力，竖直方向合力为零．故FBP>FAP，C选项正确，D选项错误．【典例1提高题对应练习】一质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为la、lb(且la≠lb)，如图所示，当木架绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，重力加速度为g，则()A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大到mg＋mω2laC．无论角速度ω多大，小球都不可能再做完整的圆周运动D．绳b未被烧断时，绳a的拉力等于mg，绳b的拉力为mω2lb【典例1提高题对应练习1】【答案】D【解析】绳子断开前，小球做匀速圆周运动，合力指向C点，对小球受力分析，受重力mg，a绳子的拉力F1，b绳子的拉力F2，根据牛顿第二定律有F1－mg＝0，F2＝mω2lb，小球的线速度为v＝ωlb，绳子断开后，木架停止转动，由于惯性，小球将绕A点转动，若速度较小，小球将在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动，若速度较大，也有可能在垂直于平面ABC的竖直平面内绕A点做完整的圆周运动，故A、C错误，D正确；在最低点时有Fa－mg＝meq\f(ωlb2,la)，解得Fa＝mg＋meq\f(ωlb2,la)>F1，则a绳中张力突然增大到mg＋meq\f(ωlb2,la)，故B错误。【典例1提高题对应练习2】如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是()A．OB绳的拉力范围为0～eq\f(\r(3),3)mgB．OB绳的拉力范围为eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mgC．AB绳的拉力范围为eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mgD．AB绳的拉力范围为0～eq\f(2\r(3),3)mg【典例1提高题对应练习2】【答案】B【解析】当转动的角速度为零时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F1，则2F1cos30°＝mg，F1＝eq\f(\r(3),3)mg，增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好等于零时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为F2，则F2cos30°＝mg，F2＝eq\f(2\r(3),3)mg，因此OB绳的拉力范围为eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mg，AB绳的拉力范围为0～eq\f(\r(3),3)mg，B项正确．题型二：物体接触与脱离的临界极值问题【知识思维方法技巧】运动物体与固定相接触或脱离临界条件是：物体间的弹力恰好为零类型一：水平式圆周运动的锥体模型【典例2a提高题】如图甲所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T.(g取10m/s2，结果可用根式表示)求：(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？【典例2a提高题】【答案】(1)eq\r(12.5)rad/s(2)eq\r(20)rad/s【解析】(1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)lsinθ，解得：ωeq\o\al(2,0)＝eq\f(g,lcosθ)，即ω0＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\r(12.5)rad/s.(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式：mgtanα＝mω′2lsinα，解得：ω′2＝eq\f(g,lcosα)，即ω′＝eq\r(\f(g,lcosα))＝eq\r(20)rad/s.【典例2a提高题对应练习】如图甲所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T.(g取10m/s2，结果可用根式表示)求：(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？【典例2a提高题对应练习】【答案】(1)eq\r(12.5)rad/s(2)eq\r(20)rad/s【解析】(1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)lsinθ，得：ωeq\o\al(2,0)＝eq\f(g,lcosθ)，即ω0＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\r(12.5)rad/s.(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式：mgtanα＝mω′2lsinα，解得：ω′2＝eq\f(g,lcosα)，即ω′＝eq\r(\f(g,lcosα))＝eq\r(20)rad/s.类型二：竖直面内圆周运动的内轨模型【典例2b提高题】质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，如图所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值是()A．0B．MgC．3mgD．5mg【典例2b提高题】【答案】C【解析】小球恰好通过最高点时，只受到重力作用，重力完全充当向心力，则有mg＝meq\f(v2,R)，当小球到达最高点速率为2v时，应有F＋mg＝meq\f(（2v）2,R)，联立解得小球受到轨道的支持力大小为F＝3mg，根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为3mg，故C项正确，A、B、D错误。类型三：竖直面内圆周运动的外轨模型【典例2c提高题】半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一个小物体m，如图所示，今给它一个水平的初速度v0＝eq\r(gR)，则物体将()A．沿球面下滑至M点B．先沿球面至某点N，再离开球面做斜下抛运动C．按半径大于R的新的圆弧轨道运动D．立即离开半球做平抛运动【典例2c提高题】【答案】D【解析】小物体在半球面的顶点，若是能沿球面下滑，则它受到的半球面的弹力与重力的合力提供向心力，有mg－FN＝eq\f(mv\o\al(2,0),R)＝mg，FN＝0，这说明小物体与半球面之间无相互作用力，小物体只受到重力的作用，又有水平初速度，小物体将做平抛运动，D选项正确；即使小物体的初速度为0，在光滑曲面上的某点也将离开曲面，其高度我们在力的分解中已证明为h＝eq\f(2,3)R，A、B选项错误；离开曲面受恒力mg的作用，不可能做圆周运动，圆周运动的合外力为变力，C选项错误．类型四：竖直面内圆周运动的管道模型【典例2d提高题】如图所示，一光滑的圆管轨道固定在竖直平面内，质量为m的小球在圆管内运动，小球的直径略小于圆管的内径．轨道的半径为R，小球的直径远小于R，可以视为质点，重力加速度为g.现从最高点给小球以不同的初速度v，关于小球的运动，下列说法正确的是()A．小球运动到最低点时，对外管壁的最小压力为4mgB．若小球从静止沿轨道滑落，当滑落高度为eq\f(R,3)时，小球与内、外管壁均没有作用力C．小球能再运动回最高点的最小速度v＝eq\r(gR)D．当v>eq\r(gR)时，小球在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为5mg【典例2d提高题】【答案】B【解析】当在最高点速度为零时，到达最低点的速度最小，对外管壁的压力最小，则由机械能守恒定律有mg·2R＝eq\f(1,2)mv12，在最低点设外管壁对小球的支持力为F，由牛顿第二定律F－mg＝meq\f(v12,R)，联立解得F＝5mg，由牛顿第三定律得，小球对外管壁的压力最小为5mg，故A错误；小球从静止沿轨道滑落，当滑落高度为eq\f(R,3)时，由机械能守恒定律有mgeq\f(R,3)＝eq\f(1,2)mv22，设此时重力沿半径方向的分力为F1，由几何关系得F1＝eq\f(2mg,3)，此时所需的向心力为F向＝meq\f(v22,R)，联立解得F向＝F1，此时重力沿半径方向的分力恰好提供向心力，所以小球与内、外管壁均没有作用力，故B正确；因为管内壁可以给小球支持力，所以小球在最高点的速度可以为零，故C错误；若在最高点速度v>eq\r(gR)，在最高点时由牛顿第二定律得F2＋mg＝meq\f(v2,R)，从最高点到最低点由机械能守恒定律得mg·2R＝eq\f(1,2)mv32－eq\f(1,2)mv2，在最低点时由牛顿第二定律得F3－mg＝meq\f(v32,R)，联立解得F3－F2＝6mg，所以当v>eq\r(gR)时，小球在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg，故D错误．【典例2d提高题对应练习】如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是()A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq\r(gR＋r)B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力【典例2d提高题对应练习】【答案】B【解析】小球在竖直放置的光滑圆形管道内的圆周运动属于轻杆模型，小球通过最高点的最小速度为0，A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C错误；小球在水平线ab以上管道中运动时，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力，当速度比较小时，内侧管壁有作用力，故D错误．类型五：竖直面内匀速圆周运动模型【典例2e提高题】如图所示是一个建筑工地经常使用的夯土机的简化模型．铁球的质量为m(可视为质点)，铁砧的质量为M＝5m，连接铁球和铁砧的杆长为L，其质量不计．电动机带动铁球绕着水平转轴O以某一角速度匀速转动，且球经过最高点时铁砧恰好对地没有压力，重力加速度为g，重力加速度为g，求：（1）角速度ω的大小；（2）铁球经过最低点时铁砧对地面的压力大小【典例2e提高题】【答案】(1)(2)12mg【解析】(1)铁球经过最高点时，以M为研究对象，设M受到杆的拉力大小为F1，由平衡条件得F1＝Mg，以m为研究对象，设m受到杆的拉力大小为F2，由牛顿运动定律得F2＋mg＝mω2L，同一杆上的拉力相等F1＝F2，解得ω＝，(2)铁球经过最低点时以m为研究对象，设m受到杆的拉力大小为F3，由牛顿运动定律得F3－mg＝mω2L，以M为研究对象，设M受到杆向下的拉力大小为F4，地面对铁砧的支持力大小为F，由平衡条件得F＝Mg＋F4且F3＝F4解得F＝12mg，由牛顿第三定律得，铁砧对地面的压力大小F′＝F＝12mg.题型三：物体相对滑动的临界极值问题【知识思维方法技巧】物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。（1）如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝eq\f(mv2,r)，静摩擦力方向一定指向圆心。（2）如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。类型一：水平转盘静摩擦力控制物体的不发生相对滑动模型【典例3a提高题】(多选)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B与轴心间的距离均为R，C与轴心间的距离为2R，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动，重力加速度为g)()A.物体C的向心加速度最大 B.物体B受到的静摩擦力最大C.ω＝是C开始滑动的临界角速度 D.当圆台转速增加时，B比A先滑动【典例3a提高题】AC【解析】物体绕轴做匀速圆周运动，角速度相等，有an＝ω2r，物体C的转动半径最大，故向心加速度最大，A正确；静摩擦力提供向心力，有Ff＝mω2r，故物体B受到的静摩擦力最小，B错误；当物体C恰好未滑动时，静摩擦力达到最大，有μmg＝m·2Rω2，解得ω＝，故临界角速度为，C正确；由C项分析可知，转动半径越大的临界角速度越小，越容易滑动，与物体的质量无关，故物体C先滑动，物体A、B将一起后滑动，D错误．【典例3a提高题对应练习】如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计.已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ1＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数为μ2＝0.225，餐桌离地高度为h＝0.8m.设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力.（1）为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？（2）缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面，餐桌半径R的最小值为多大？（3）若餐桌半径R′＝eq\r(2)r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？【典例3a提高题对应练习】【答案】(1)2rad/s(2)2.5m(3)2.1m【解析】(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大.当静摩擦力最大时，小物体即将离开圆盘，此时圆盘的角速度达到最大，则有Ffm＝μ1FN＝mrω2，FN＝mg，两式联立可得ω＝2rad/s(2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值.设物体在餐桌上滑动的位移为x，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，则a＝eq\f(Ff,m)，Ff＝μ2mg;所以a＝μ2g＝2.25m/s2，物体在餐桌上滑动的初速度为v0＝ωr＝3m/s，由运动学公式0－v02＝－2ax可得x＝2m，由几何关系可得餐桌半径的最小值为R＝eq\r(r2＋x2)＝2.5m(3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度vt′，由题意可得vt′2－v02＝－2ax′，由于餐桌半径为R′＝eq\r(2)r，所以x′＝r＝1.5m，解得vt′＝1.5m/s，设物体做平抛运动的时间为t，则h＝eq\f(1,2)gt2，解得t＝eq\r(\f(2h,g))＝0.4s，物体做平抛运动的水平位移为x″＝vt′t＝0.6m，所以由题意可得L＝x′＋x″＝2.1m类型二：水平转盘静摩擦力与轻绳控制异侧物体不发生相对滑动模型【典例3b提高题】（多选）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是()A．绳子张力为T＝3μmgB．圆盘的角速度为ω＝eq\r(\f(2μg,r))C．A所受摩擦力方向沿绳指向圆外D．烧断绳子，物体A、B仍将随盘一块转动【典例3b提高题】【答案】ABC【解析】两物体A和B随着圆盘转动时，合力提供向心力，有F合＝mω2R，B的轨道半径比A的轨道半径大，所以B所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B所受的最大静摩擦力方向沿绳指向圆心，A所受的最大静摩擦力方向沿绳指向圆外，以B为研究对象，有T＋μmg＝2mrω2，以A为研究对象，有T－μmg＝mrω2，联立解得T＝3μmg，ω＝eq\r(\f(2μg,r))，故选项A、B、C正确；烧断绳子，对A分析，若A恰好未发生相对滑动，有μmg＝mrωA2，解得ωA＝eq\r(\f(μg,r))<ω，故此时烧断绳子A一定发生相对滑动，同理可得，B也一定发生相对滑动，选项D错误。【典例3b提高题对应练习】(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是()A．此时绳子张力为3μmgB．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内C．此时圆盘的角速度为eq\r(\f(2μg,r))D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动【典例3b提高题对应练习】【答案】AC【解析】两物体A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝eq\r(\f(2μg,r))，故A、C正确，B错误．烧断细绳瞬间A物体所需的向心力为2μmg，此时烧断细绳，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故D错误．类型三：水平转盘静摩擦力与轻绳控制同侧物体不发生相对滑动模型【典例3c提高题】(多选)如图甲所示，将质量为M的物块A和质量为m的物块B沿同一半径方向放在水平转盘上，两者用长为L的水平轻绳连接．物块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，物块A与转轴的距离等于轻绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动．开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，绳中张力FT与转动角速度的平方ω2的关系如图乙所示，当角速度的平方ω2超过3ωeq\o\al(2,1)时，物块A、B开始滑动．若图乙中的F1、ω1及重力加速度g均为已知，下列说法正确的是()A．L＝eq\f(F1,mω\o\al(2,1))B．L＝eq\f(F1,2mω\o\al(2,1))C．k＝eq\f(2F1,mg)D．m＝M【典例3c提高题】【答案】BC【解析】开始转速较小时，A、B两物块的向心力均由静摩擦力提供，当转速增大到一定程度时，B的静摩擦力不足以提供向心力时，绳子开始有拉力，当转速再增大到一定程度，A的最大静摩擦力也不足时，两者开始做离心运动，由题图乙可得：kmg＝m·2ωeq\o\al(2,1)·2L，F1＋kmg＝m·3ωeq\o\al(2,1)·2L，可解得：L＝eq\f(F1,2mω\o\al(2,1))，k＝eq\f(2F1,mg)，选项A错误，B、C均正确；对物块A分析，kMg－F1＝M·3ωeq\o\al(2,1)·L，可推得M＝2m，D错误．【典例3c提高题对应练习】如图所示，用长为L的轻绳(轻绳不可伸长)连接的甲、乙两物块(均可视为质点)，放置在水平圆盘上，甲、乙连线的延长线过圆盘的圆心O，甲与圆心O的距离也为L，甲、乙两物块的质量均为m，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，甲、乙始终相对圆盘静止，则下列说法中正确的是()A．圆盘转动的角速度最大为eq\r(\f(3μg,2L))B．圆盘转动的角速度最大为eq\r(\f(2μg,3L))C．轻绳最大弹力为eq\f(1,3)μmgD．轻绳最大弹力为μmg【典例3c提高题对应练习】【答案】BC【解析】当ω较小时，甲、乙均由静摩擦力充当向心力，ω增大时，由F＝mω2r可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r甲＝L，r乙＝2L，r甲<r乙，所以乙受到的静摩擦力先达到最大，此后ω继续增大，要保证乙不滑动，轻绳产生弹力并增大，甲受到的静摩