高考物理一轮复习 知识点31：应用万有引力定律分析计算多星运动（拔尖解析版）

知识点31：应用万有引力定律分析计算多星运动【知识思维方法技巧】双星或多星问题解题技巧：（1）确定系统模型及半径：明确双星或多星的特点、规律，确定系统圆周运动的模型以及运动的轨道半径。（2）明确向心力：星体的向心力由其他天体对它的万有引力的合力提供。（3）抓住角速度周期特点：星体的角速度周期相等。（4）清楚星体的轨道半径不是天体间的距离：要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。考点一：应用万有引力定律分析计算双星运动【知识思维方法技巧】双星运动模型的特点：（1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.（2）两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))，ω1＝ω2.（3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.（4）两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)，总质量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G).题型一：双星运动各运动参量的计算【典例1拔尖题】(多选)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示．若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列说法中正确的是()A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1【典例1拔尖题】【答案】BD【解析】双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞的距离为L，由M1ω2r1＝M2ω2r2，得r1∶r2＝M2∶M1，故B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比为v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，D正确．题型二：双星运动各运动参量的定性分析【典例2拔尖题】(多选)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是()A．它们的万有引力大小变大B．它们的万有引力大小不变C．恒星做圆周运动的轨道半径将变大，线速度也变大D．恒星做圆周运动的轨道半径将变小，线速度也变小【典例2拔尖题】【答案】AC【解析】质量较大的M1和质量较小的M2之间的万有引力F＝Geq\f(M1M2,L2)，结合数学知识可知M1＝M2时，M1M2有最大值，根据题意，质量较小的黑洞M2吞噬质量较大的恒星M1，所以万有引力变大，A正确，B错误；对于两天体，万有引力提供向心力，有Geq\f(M1M2,L2)＝M1eq\f(4π2,T2)R1，Geq\f(M1M2,L2)＝M2eq\f(4π2,T2)R2，解得两天体质量的表达式M2＝eq\f(4π2L2,GT2)R1，M1＝eq\f(4π2L2,GT2)R2，两天体总质量的表达式M1＋M2＝eq\f(4π2L2,GT2)(R1＋R2)＝eq\f(4π2L3,GT2)，两天体的总质量不变，天体之间的距离L不变，所以天体运动的周期T不变，较小质量的黑洞M2质量增大，所以恒星做圆周运动的半径R1增大，根据v＝eq\f(2πR1,T)可知恒星的线速度增大，C正确，D错误．题型三：双星运动质量的计算【典例3拔尖题】（多选）中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通过脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，且RA<RB；C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，且T2<T1。A与B之间的引力远大于C与B之间的引力，引力常量为G，则()A.恒星A的质量大于恒星B的质量B.恒星B的质量为MB＝C.若知道C的轨道半径，则可求出C的质量D.三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为Δt＝【典例3拔尖题】【答案】AB【解析】因为双星系统的角速度相同，故对A、B可得MARAω2＝MBRBω2，即＝，即恒星A的质量大于恒星B的质量，故A正确；对恒星A可得G＝MA，解得恒星B的质量为MB＝，故B正确；对卫星C满足G＝m，可见无法求出卫星C的质量，故C错误；因为恒星A和B始终共线，所以三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为，故D错误。【典例3拔尖题对应练习】2019年10月31日为“2019年国际暗物质日”，当天，中国锦屏实验室和英国伯毕实验室作为两个世界著名暗物质实验室首次进行了公开互动．假设某一行星绕恒星中心转动，行星转动周期的理论值与实际观测值之比eq\f(T理论,T观测)＝k(k>1)，科学家推测，在以两星球球心连线为半径的球体空间中均匀分布着暗物质，设恒星质量为M，据此推测，暗物质的质量为()A．k2M B．4k2MC．(k2－1)M D．(4k2－1)M【典例3拔尖题对应练习】【答案】C【解析】球体空间中均匀分布着暗物质，设暗物质质量为m，行星质量为m0，球心距离为R，由万有引力定律，Geq\f(Mm0,R2)＝m0eq\f(4π2,T\o\al(理论2))R，Geq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(M＋m))m0,R2)＝m0eq\f(4π2,T\o\al(观测2))R，eq\f(T理论,T观测)＝k(k>1)，解得m＝(k2－1)M，故C正确，A、B、D错误．考点二：应用万有引力定律分析计算三星运动【知识思维方法技巧】三星运动模型的特点：（1）行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．（2）每颗行星运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力来提供．注意利用几何知识求轨道半径．题型一：质量相等的三星运动模型【知识思维方法技巧】质量相等的三星运动模型的特点：（1）直线三星系统模型：三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图所示)。（2）等边三角形三星系统模型：三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如上图所示)。【典例1拔尖题】（多选）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则() 直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B．直线三星系统的运动周期T＝4πReq\r(\f(R,5GM))C．三角形三星系统中星体间的距离L＝eq\r(3,\f(12,5))RD．三角形三星系统的线速度大小为eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))【典例1拔尖题】【答案】BC【解析】直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A错误；三星系统中，对直线三星系统有Geq\f(M2,R2)＋Geq\f(M2,（2R）2)＝Meq\f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq\r(\f(R,5GM))，选项B正确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律可得2Geq\f(M2,L2)cos30°＝Meq\f(4π2,T2)·eq\f(L,2cos30°)，联立解得L＝eq\r(3,\f(12,5))R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝eq\f(2πr,T)＝eq\f(2π\f(L,2cos30°),T)，代入解得v＝eq\f(\r(3),6)·eq\r(3,\f(12,5))·eq\r(\f(5GM,R))，选项D错误．【典例1拔尖题对应练习】宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G。下列说法正确的是()A．每颗星做圆周运动的角速度为eq\r(3,\f(Gm,L3))B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍【典例1拔尖题对应练习】【答案】C【解析】任意两个星之间的万有引力为F＝Geq\f(m2,L2)，则其中一颗星所受的合力F合＝2Fcos30°＝eq\r(3)F＝eq\r(3)Geq\f(m2,L2)，根据eq\r(3)Geq\f(m2,L2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2,T2)r及r＝eq\f(\r(3),3)L，解得ω＝eq\r(\f(3Gm,L3))，a＝eq\f(\r(3)Gm,L2)，T＝2πeq\r(\f(L3,3Gm))，v＝eq\r(\f(Gm,L))，故选项A错误；加速度与三星的质量有关，故选项B错误；若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，线速度大小不变，故选项C正确、D错误。题型二：质量不相等的三星运动模型【知识思维方法技巧】质量不相等三星运动模型的特点：利用向心力的交点找出三星圆周运动的圆心。【典例2拔尖题】由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）若A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，万有引力常量G已知，求：（1）A星体所受合力的大小FA；（2）B星体所受合力的大小FB；（3）C星体的轨道半径RC；（4）三星体做圆周运动的周期T。【典例2拔尖题】【答案】（1）

（2）

（3）

（4）【解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为,则合力大小为（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为则合力大小为，．可得（3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，（4）三星体运动周期相同，对C星体，由可得考点三：应用万有引力定律分析计算四星运动题型一：质量相等正方形四星运动模型【知识思维方法技巧】质量相等正方形四星运动模型的特点：（1）如图所示，四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。（2）四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。【典例1拔尖题】(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图2所示，四颗质量均为m的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗都在同一平面内绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，引力常量为G，则()A．每颗星做圆周运动的线速度大小为eq\r(1＋\f(\r(2),4)\f(Gm,a))B．每颗星做圆周运动的角速度大小为eq\r(\f(Gm,\r(2)a3))C．每颗星做圆周运动的周期为2πeq\r(\f(\r(2)a3,Gm))D．每颗星做圆周运动的加速度与质量m有关【典例1拔尖题】【答案】AD【解析】由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r＝eq\f(\r(2),2)a，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：Geq\f(m2,\r(2)a2)＋2Geq\f(m2,a2)cos45°＝meq\f(v2,\f(\r(2),2)a)，解得v＝eq\r(1＋\f(\r(2),4)\f(Gm,a))，角速度为ω＝eq\f(v,r)＝eq\r(2＋\f(\r(2),2)\f(Gm,a3))，周期为T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(2a3,4＋\r(2)Gm))，加速度a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(2\r(2)＋1Gm,2a2)，故选项A、D正确，B、C错误．【典例1拔尖题对应练习】宇宙中存在质量相等的四颗星组成的四星系统，这些系统一般离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．四星系统通常有两种构成形式：一是三颗星绕另一颗中心星运动(三绕一)，二是四颗星稳定地分布在正方形的四个顶点上运动．若每个星体的质量均为m，引力常量为G.(1)分析说明三绕一应该具有怎样的空间结构模式．(2)若相邻星球的最小距离为a，求两种构成形式下天体运动的周期之比．【典例1拔尖题对应练习】【答案】(1)见解析(2)eq\r(\f(4＋\r(2)3－\r(3),4))【解析】(1)三颗星绕另一颗中心星运动时，其中任意一个绕行的星球受到的另三个星球的万有引力的合力提供向心力，三个绕行星球的向心力一定指向同一点，且中心星受力平衡，由于星球质量相等，具有对称关系，因此向心力一定指向中心星，绕行星一定分布在以中心星为中心的等边三角形的三个顶点上，如图甲所示．(2)对三绕一模式，三颗星绕行轨道半径均为a，所受合力等于向心力，因此有2Geq\f(m2,\r(3)a2)cos30°＋Geq\f(m2,a2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))a；解得Teq\o\al(2,1)＝eq\f(23－\r(3)π2a3,Gm)；对正方形模式，如图乙所示，四星的轨道半径均为eq\f(\r(2),2)a，同理有；2Geq\f(m2,a2)cos45°＋Geq\f(m2,\r(2)a2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))·eq\f(\r(2),2)a；解得Teq\o\al(2,2)＝eq\f(44－\r(2)π2a3,7Gm)故eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(4＋\r(2)3－\r(3),4))题型二：质量不相等正三角形（菱形）四星运动模型【知识思维方