2017-2018学年高中数学人教B版必修3阶段质量检测（三）概率

阶段质量检测（三）概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为()①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩；⑤在标准大气压下，水加热到90°C会沸腾．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90°C会沸腾，是不可能事件．故选C.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个黑球与都是红球B．至少有一个黑球与都是黑球C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选DA中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D.3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(7,10)解析：选B试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中随机取一点，则点落在四棱锥O­ABCD内(O为正方体的对角线的交点)的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：选B设正方体的体积为V，则四棱锥O­ABCD的体积为eq\f(V,6)，所求概率为eq\f(\f(V,6),V)＝eq\f(1,6).5．在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：选B该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2m，试验的全部结果所构成的区域长度为6m，故灯与两端距离都大于2m的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).6．从eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c，d，e))的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c))的子集的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：选C符合要求的是∅，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，c))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b，c))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c))共8个，而集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c，d，e))共有子集25＝32个，∴P＝eq\f(1,4).7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)的坐标，那么点P在圆x2＋y2＝17内部的概率是()A.eq\f(1,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3) D.eq\f(4,9)解析：选B点P(m，n)的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P在圆x2＋y2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为eq\f(2,9).8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)解析：选D从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).故选D.9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选C甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为eq\f(1,3).10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：选A记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).11．在2,0,1,6这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：选C分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,6)，(1,2,6)，(0,1,6)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝eq\f(1,2).12．设一元二次方程x2＋Bx＋C＝0，若B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为()A.eq\f(1,12) B.eq\f(7,36)C.eq\f(13,36) D.eq\f(19,36)解析：选D因为B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B2－4C≥0，显然B≠1.当B＝2时，C＝1(1种)；当B＝3时，C＝1,2(2种)；当B＝4时，C＝1,2,3,4(4种)；当B＝5时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B＝6时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是eq\f(19,36).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知eq\f(S内切圆,S正方形)≈eq\f(776,1000)，即eq\f(π×12,22)≈eq\f(776,1000)，解得π≈3.104.答案：3.10414．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1,知该校共有教师120÷eq\f(4,10)＝300(人)．采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P＝eq\f(30,300)＝eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)15．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是________．解析：连接AC交弧DE于点F，∠BAC＝30°，P＝eq\f(弧EF的长,弧DE的长)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)16．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧长为2，点B落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：抽取件数n50100200500600700800次品件数m021227273540次品率eq\f(m,n)(1)求次品出现的频率；(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需进货多少件？解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n充分大时，出现次品的频率eq\f(m,n)在0.05附近摆动，故P(A)≈0.05.(3)设进货衬衣x件，为保证1000件衬衣为正品，则(1－0.05)x≥1000，得x≥1053.∴至少需进货1053件衬衣．18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝eq\f(8,15).19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：X12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝eq\f(3,20)＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝eq\f(2,20)＝0.1.从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．故所求的概率P(A)＝eq\f(4,10)＝0.4.20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为eq\f(4,9).(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为eq\f(2,5π).21．(本小题满分12分)从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a1，b，a2，b，b，a1，b，a2)).因为事件A由4个基本事件组成，所以P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a1，b，a2，b，b，a1