《高等数学 上册》课件 5.1定积分概念与性质

第一节：定积分的概念与性质第五章：定积分讲解：数学教研室单位：公共课部课前导读导

言分而治之

圆的面积古语云：公元263年刘

徽CONTENTS目录01曲边梯形的面积02定积分概念03定积分的几何意义04定积分的性质01曲边梯形的面积TheareTheareaofacurvedtrapezoidavedtrapezoid曲边梯形：连续曲线

y

=f(x)

(

f(x)>0),

直线

x

=

a,

x

=

b

与

x

轴所围图形思考：1.如果

f(x)三C,面积如何计算？2.能否直接用一个大矩形的面积来近似呢？A

=

?a

by

y

=

f

(x)

>

0x61.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义化整为零近似代替xi

1

xio

a

x1y1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义yxoy=f(x).f(

i)Sab.精确值

近似值积零为整极限思想(4)

取极限(3)

求和1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义如变速直线运动物体在时间段

[T1

,T2

]

所走过的路程如物体在变力作用下沿直线运动所做的功等

一维区间上的总量问题可以求什么？四个步骤：“分割

,

近似

,

求和

,

取极限

”

1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义02定积分的概念Theconceptofdefiniteintegrals1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义

y=f(x)(f(x)>0),x=a,x=b与x轴所围图形面积：变速直线运动物体在时间段

[T1

,T2

]

所走过的路程：

积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和[a,b]称为积分区间二、定积分的定义1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义二、定积分的定义1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义二､定积分定义1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义

解:在第i

个小区间上取右端点,

将

[0,1]n

等分,取分点为(i=1,2,…n-1),则(i=1,2,…n)1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义03几何意义Theconceptofdefiniteintegrals三､定积分的几何意义yabOxf(x)＞0图3-5f(x)＜0yabOx图3-61.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义几何意义

——

曲边梯形面积的代数和

上方取正下方取负1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义yA2A4b

A5A1a

xA31.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义结论：1、被积函数为1时，积分等于区间长度2、积分区间对称时，积分具有偶倍奇零的特征1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义下个例题介绍具体求解方法P178习题5-1第2题1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义04定积分的性质Propertiesofdefiniteintegrals1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义

性质5-1的推广-----推广到有限多个函数代数和三、定积分的性质1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义yxy=f(x)abOACB常用1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义注：c不在区间内部时，结论同样成立证明：以c<a为例：1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义✱1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义P178习题5-1第2题✱1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义✱1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义图4-71.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义1.2定积分的概念1.1曲边梯形的面积1.4定积分的性质1.3几何意义求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．回顾与小结1.定积分的定义—乘积和式的极限２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直