2025年高三数学秋季开学摸底考03数学试题（答案及评分标准）

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷数学·答案及评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678CADBDDCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ADACDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．___2_____；13．__________；14．______/____四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【答案】（1）零假设：假设市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》无关联，根据表中数据，计算得，…………3分根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联.…………4分（2），…………6分.…………8分（3）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人，可得的所有可能取值为1，2，3，此时，，，…………11分则的分布列为：123所以.…………13分16．（15分）【答案】（1）由题意，则，因为，所以，…………1分因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，…………3分因为平面，所以，且平面，所以平面，…………5分又平面，所以平面平面；…………6分（2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，…………7分所以，，设平面的一个法向量，则，令，得，…………10分设平面的法向量，则，令，得，…………13分设平面与平面的夹角为，则，…………14分所以平面与平面夹角的正弦值为．…………15分17．（15分）【答案（1）因为，所以，解得，…………1分又，所以，即，所以，即，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，…………3分所以，即．…………4分（2）因为，所以，①，②…………5分－②得，…………8分所以．…………9分（3）因为，…………11分所以，…………13分易知是增函数，所以，…………14分所以．…………15分18．（17分）【答案】（1）由对称性知，和在椭圆C上，所以，…………2分所以，C的方程为.…………4分（2）设直线的方程为，点，，由消去得：，则，…………6分则或.，…………8分面积…………9分令，则，，当且，即时，面积的最大值为.…………11分（ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以，所以点在线段的垂直平分线上，所以.…………12分于是，，.所以，…………14分于是，因为，所以.所以的值1.…………17分19．（17分）【答案】（1）由，得，…………1分设，当时，，，令，则，所以函数在上单调递增，又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值是；…………5分（2）①由（1）知：，因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，…………7分又，，所以，…………9分所以存在唯一的变号零点，即有且仅有一个极值点；…………10分②由①知，有且仅有一个极值点，且，当时，，，由①知，，要证明，只需证明，而，那么，，…………11分所以，令，则，令，则，…………12分当时，因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，