易错03 方程(组)与不等式(组)及其应用（八大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错03方程(组)与不等式(组)及其应用易错陷阱一、等式的基本性质运用错误1、解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。2、等式的基本性质在等式基本性质中，“=”两边同时加、减、乘一个相同的数（或式子）时，大多不会出现问题；但是“=”两边同时除一个相同的数（或式子）时，会容易除反，导致方程的解法最后一步出错，所以一定要注意不要除反了。易错总结：①等式基本性质反向应用时，不确定c的范围时，结果不一定成立；②一元一次方程解法中容易出错的一些“小陷阱”：去分母①不含分母的项也要乘以最小公倍数；②分子是多项式的一定要先用括号括起来去括号括号外是负因数时，一是要注意变号，二是要注意各项都不要漏乘公因数移项移项要变号合并同类项单独的一个未知数的系数为“±1”系数化为1不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）例1．解下列方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：去分母，得去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得；（2）解：原方程可变为，去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．例2．已知方程的解与关于方程的解互为相反数，则的值是．【答案】4【详解】解：解方程，得．∵方程的解与关于x的方程的解互为相反数，∴方程的解为，∴，∴，∴．故答案为4．易错警示：易错警示：要注意运用好等式性质，对每个步骤都做详细练习1．解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，去括号，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得；（2）解：，去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得系数化为1，得．练习2．若与互为相反数，则的值为．【答案】1【详解】由题意可得：，解得：．故答案为：1．练习3．已知关于x的一元一次方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值．【答案】【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，整理得：，∴，由题意得，整理得：，∴，∴．即代数式的值为．练习4．若关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能值为．【答案】2，0，3，【详解】解：解方程得，∵方程的解为整数，∴或，∴，0，3，，故答案为2，0，3，．易错陷阱二、解分式方程忘检验根的存在分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。易错提醒：要记得将求得的解代入原分式方程，使原方程成立，才可确定为该方程的解．例3．解方程：．【答案】【详解】解：，方程两边同时乘以最简公分分母得：，移项合并得：，解得：，经检验，当时，，是分式方程的解．例4．某早餐店一天的“瓦罐汤”的销售额是2000元，“拌粉”的销售额是1200元，且这两种餐品的销量相同．已知“拌粉”的单价比“瓦罐汤”的单价少2元，求“拌粉”和“瓦罐汤”的单价．【答案】“瓦罐汤”的单价为5元，则“拌粉”的单价为3元．【详解】解：设“瓦罐汤”的单价为元，则“拌粉”的单价为元，依题意得，解得，经检验，是原方程的解，，答：“瓦罐汤”的单价为5元，则“拌粉”的单价为3元．易错警示：易错警示：分式方程不管是直接考解法，还是应用题中的解分式方程，都需要验根；练习1．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【详解】（1）解：，去分母，得，整理，得，所以．经检验：是原方程的解．所以原方程的解为：．（2）解：，原方程可化为：，去分母，得，整理，得，所以．经检验：不是原方程的解．所以原方程无解．练习2．某项目室外绿化及道路工程进入收尾阶段，参建单位接下来需进行某段路面施工工作，路面全长为3000米，更改施工方式后工作效率为原来的1.25倍，预计会提前15天完成，则原计划每天施工多少米？【答案】原计划每天施工40米【详解】解：设原计划每天施工x米．，解得．经检验，是原方程的解，且符合题意．答：原计划每天施工40米．练习3．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长千米的普通公路，另一条是全长千米的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度每小时快千米，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．求该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度．【答案】客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为千米/时．【详解】解：设客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为千米/时，由题意可得，，解得：，经检验是原方程的解且符合题意，答：该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度千米/时．练习4．已知关于的方程的解比的解多，求的值．【答案】【详解】解：解方程得，∵关于的方程的解比的解多，∴关于的方程的解为，∴，解得，∴易错陷阱三、分式方程增根或无解时易考虑不全面一、增根：使最简公分母值为0的未知数的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根；二、无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等；易错提醒：对分式方程的增根和假根概念理解不透彻，如在增根或假根处无法正确判断，导致求解过程出现问题例5．如果关于x的分式方程无解，则a的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【详解】解：去分母得：解得．当分母，即时方程无解，．时方程无解．故选∶A．例6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（

）．A．2 B．1 C．3 D．【答案】D【详解】解：方程去分母，得：，∵方程有增根，∴，∴，把代入，得：，∴；故选D．易错警示：易错警示：无解有两种情况，需考虑全面：①原方程化去分母后的整式方程无解；②原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解练习1．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（

）A． B．且C．且 D．且【答案】D【详解】解：解，得：，∵关于的方程的解为正数，∴，且，∴且，∴且；故选D．练习2．若分式方程无解，则的值为（）A．2 B． C．1 D．【答案】B【详解】解：，化为整式方程：，∵分式方程无解，则，，解得：，故选：B．练习3．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（）A．且 B． C．且 D．且【答案】A【详解】解：方程两边同时乘以得，，解得．为正数，，解得．，，即．的取值范围是且．故选：A．练习4．若关于x的方程有增根，则a的值为（

）A．2 B．0 C． D．【答案】D【详解】解：，方程两边都乘以：得：，∵分式方程有增根，，即将代入整式方程，得：，即．故选：D．易错陷阱四、混淆一元二次方程的解法一元二次方程的解法有4种，不同解法的适用范围也各不相同，准确选择合适的解法解对应的方程，可以更快速的求出方程的解，也可以减少一些解法中的易错点。而在这些解法中，配方法、公式法、利用十字相乘因式分解法是必须掌握的。易错总结：一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明例7．一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为．【答案】【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，由公式法解一元二次方程可得或，根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，故答案为：．例8．解方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：9，，，∴；（2）解：，，∴或，∴；（3）解：，，，，∴；（4）解：，∵，∴，∴，∴．练习1．解下列方程：(1)；（开平方法）(2)．【答案】(1)(2)，【详解】（1）解：．，或，或（2）解：，移项得，，配方得，即，或，解得，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法——直接开平方和配方法，解决此题的关键是要熟练掌握解一元二次方程的各种方法，进而选择最优的方法解决问题．练习2．下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：．移项，得．…………第一步配方，得，即………………第二步由此，可得．…………第三步……第四步请完成下列任务：(1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”）(2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程．【答案】(1)等式的基本性质，完全平方公式(2)二，解题过程见解析【详解】（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式．故答案为：等式的基本性质，完全平方公式；（2）解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下：，移项，得，配方，得，即，可得，∴．故答案为：二．练习3．方程的根是．【答案】，【详解】解：，，或，解得，，故答案为：，．练习4．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（

）A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定【答案】B【详解】解：，，解得，的半径是，，直线与的位置关系是相交，∴直线与有2个交点，故选：B．易错陷阱五、若二次方程中的二次含参，易忽略为0的情况一、一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项二、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等易错提醒：不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件例9．已知关于的方程，求证：无论为何值，方程总有实数根．【答案】见解析【详解】解：①当时，即，代入方程得，解，②当时，，∵，此时方程总有实数根．综上所述，无论为何值，方程总有实数根．例10．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（

）A． B． C． D．不存在【答案】B【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，∴且，解得，故选：B．易错警示：易错警示：若忽略二次项系数，则可能得到一元一次方程，再用二次方程的方法求解就会出错练习1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】C【详解】解：由题意，得：且，解得：且；故选C．练习2．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】B【详解】解：关于的方程有实数根，∴当时，，是一元一次方程，解得，，符合题意；当时，，是一元二次方程，∴，解得，，符合题意；综上所述，当时，关于的方程有实数根，故选：B．练习3．若事件“关于的方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（

）A． B．且C． D．且【答案】C【详解】解：∵事件“关于的方程有实数根”是必然事件，∴关于的方程有实数根，①当时，原方程为，此时方程的解为，符合题意，②当时，∵方程有实数根，∴，解得∴且，综上，，故选：C．练习4．若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（

）A． B．且C．且 D．且【答案】C【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴且，，即，且，解得且，故选：C．易错陷阱六、忽略韦达定理的应用韦达定理：若是一元二次方程的根，则有易错总结：两根之和、两根之积公式比较相似，不要用反了例11．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则P的值为（

）A． B． C． D．6【答案】A【详解】解：关于的一元二次方程两根为、，，，，，即，解得：．故选：A．例12．已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：方程的两个实数根为，；则，．，，，，即，，，解得或．故选：A．易错警示：易错警示：需观察所求的式子是否跟韦达定理有关，若有关，可大大减低计算难度练习1．若a，b是关于x的一元一次方程的两个实数根，且，则k的值是．【答案】【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，，，∴，解得，，当时，，∴符合题意；当时，，∴不符合题意，应舍去；综上，k的值是．故答案为：．练习2．已知是方程的两个实数根，则．【答案】【详解】解：∵是方程的两个实数根，∴由根与系数的关系得：，，∴；故答案为：．练习3．若、是方程的两个实数根，则代数式的值为．【答案】【详解】解：、是方程的两个实数根，，，．故答案为：．练习4．已知是方程的两个不相等的实数根，则．【答案】5【详解】解：∵是方程的两个不相等的实数根，∴，即；，∴．故答案为：5．易错陷阱七、解不等式（组）忽略变号不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变易错总结：注意乘（除以）一个负数，要记得变号例13．解不等式：．【答案】【详解】解：，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．例14．学校图书馆每年都会购买一批新的图书，去年购买的图书中，每套科技书的单价比每套文学书的单价多20元，用3600元购买的科技书与2400元购买的文学书的套数相等．(1)求去年购买的每套文学书和科技书的单价各是多少元？(2)若今年每套科技书的单价提高到80元，每套文学书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共180套，每种书籍至少买50套，且购买科技书和文学书的总费用不超过12000元，该校今年至多可购买多少套科技书？【答案】(1)学校去年购买文学书的单价为每套40元，科技书的单价为每套60元(2)120套【详解】（1）解：设去年购买文学书的单价为每套x元，则每套科技书的单价为元．由题意得：

解得：，检验：当时，，且符合题意，则每套科技书的单价为：（元），答：学校去年购买文学书的单价为每套40元，科技书的单价为每套60元．（2）解：设今年学校购买科技书m本．由题意得：，∴，m为整数，答：学校今年至多可购买120套科技书．练习1．不等式组的解集是．【答案】【详解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为．故答案为：练习2．先化简，再求值：，其中的值从不等式组的正整数解中选取．【答案】，．【详解】解：，由解得：，∴正整数解为，，∵，∴，当时，原式．练习3．某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示：类型进价（元/台）售价（元/台）甲23002800乙33004000(1)若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台；(2)若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润．【答案】(1)购进甲空调35台，购进乙空调15台(2)购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元【详解】（1）解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台．根据题意，得，解得．答：购进甲空调35台，购进乙空调15台．（2）设购进甲空调m台，则购进乙空调台．根据题意，得，解得．设获得的总利润为W元，则，∵，∴W随m的减小而增大，∵，∴当时，W的值最大，，（台）．答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元．练习4．南充有传统民俗村在发展旅游经济过程中，村民制作并销售多种特色手工艺品．其中一种制作一件的原材料成本为15元，经前期市场调研发现，当售价为每件整数x元时，每日的销售量y（件）与售价x之间满足函数关系，同时，每日还需额外支出固定的场地费等共200元．(1)求这种工艺品每日的利润W（元）与x之间的函数关系式；(2)当这种工艺品售价为多少元时，每日的利润最大？最大利润是多少？(3)原材料购买费用每日不超过1000元，若每日利润不低于550元，销售单价应定在什么范围内？【答案】(1)(2)当或时，每日的利润最大，最大利润为580元(3)销售单价应定在范围内【详解】（1）解：由题意得，每日的利润．（2）解：由题意，由（1），∴对称轴是直线，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．又∵，且x为整数，∴当或时，每日的利润最大，最大利润为580元．（3）解：由题意，，∴或．∵每日利润不低于550元，∴．又∵原材料购买费用每日不超过1000元，∴0，∴．又∵，∴．答：销售单价应定在范围内．易错陷阱八、已知不等式（组）解集时，端点取舍易错易错总结：已知不等式组的解集情况求参数时，需要验证临界值是否符合条件，符合则可以取到否则舍弃例15．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为．【答案】8【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，∵不等组的解集为，∴，解得，解分式方程得：，∵分式方程的解为正整数，∴且，∴或或，∵，∴或，∴所有整数的乘积为．故答案为：8．例16．若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是．【答案】【详解】解：解不等式组得：，该不等式组有个整数解，整数解为，，，；故答案为：练习1．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值：．【答案】1（答案不唯一）【详解】解：关于x的不等式组的解集是，a的值可以是1．故答案为：1（答案不唯一）．练习2．若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是．【答案】或【详解】解：解不等式组，解得：，∵所有整数解的和是9，且或，∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，，∴或；故答案为：或．练习3．如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为．【答案】【详解】解：由，得，由，得，关于的不等式组有且只有个整数解，这个整数解是，，，，，，解得：，满足条件的整数的值为，，，符合条件的所有整数的和为，故答案为：．练习4．不等式组的解集是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：解不等式，可得：，∵原不等式组的解集是，∴，解得：，故答案为：C．1．若是关于x的方程的解，则a的值是（

）A． B． C．4 D．5【答案】D【详解】解：由题意得，，解得，故选：D．2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（

）A．1 B．3 C． D．1和3【答案】C【详解】解：关于x的方程是一元二次方程，且，解得：，故选：：C．3．方程的解是（

）A． B． C． D．无解【答案】A【详解】解：方程两边同时乘以，得，去括号，得，移项合并同类项，得，检验：当时，，是原方程的解，故选：A．4．若关于的不等式组至少有4个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是（

）A．17 B．20 C．22 D．25【答案】B【详解】解：不等式组，由①得：，由②得：，∵不等式组至少有4个整数解，∴，解式方程得：，∵分式方程的解是非负数，∴且，解得：且，∴的取值为且的整数，即3，4，6，7，∴，故选：B．5．关于x的分式方程无解，则m的值为．【答案】4【详解】解：去分母，得，整理，得，解得，∵方程无解，则，∴，解得．故答案为：4．6．不等式的解集为．【答案】【详解】解：去括号得，移项得，移项得，解得，故答案为：．7．已知关于的一元二次方程的两根之和等于两根之积的2倍，则的值为．【答案】1【详解】解：设是关于的一元二次方程的两根，∴，，∵关于的一元二次方程的两根之和等于两根之积的2倍，∴，解得，故答案为：1．8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数