易错07 平行四边形与特殊平行四边形（八大易错分析+举一反三+易错题通关）（原卷版）

易错07平行四边形与特殊平行四边形易错陷阱一、混淆多边形内角和公式多边形内角和的计算公式为，其中n为多边形的边数。易错总结：在计算过程中出错，如将边数误认为是顶点数，或者忘记了减2的步骤。【例1】如图，在五边形中，，，，则的大小为（

）

A． B． C． D．【例2】一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个正多边形是正边形．【变式1-1】花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（

）A． B． C． D．【变式1-2】一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是．【变式1-3】已知过n边形的一个顶点有5条对角线，一个m边形的内角和是，则（

）．A．10 B．11 C．12 D．13易错陷阱二、多边形的截线问题忽略分类讨论易错提醒：一个边形剪去一个角后，若剪去的一个角只经过一个顶点和一边，则剩下的形状是边形，若剪去的一个角经过两条邻边，则剩下的形状是边形，若剪去的一个角经过两个相邻点，则剩下的形状是边形．所以遇到相关题目时，要分类讨论．【例3】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（

）A．或 B．或 C．或 D．或或【例4】在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大，(1)求这个多边形的边数；(2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？【变式2-1】将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是．【变式2-2】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为【变式2-3】已知一个多边形的内角和与外角和相加等于，(1)求这个多边形的边数及对角线的条数；(2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______．易错陷阱三、混淆平行四边形的性质和判定一、平行四边形的性质1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：；2.角的性质：两组对角分别相等，如图：3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：二、平行四边形的判定1.与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形易错提醒：在应用平行四边形的判定和性质时要注意题目所给边或角是不是对边、对角，否则容易造成判定和性质的错用．【例5】如图，，是平行四边形的对角线上的点，．请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．【例6】如图，在四边形中，，是对角线上的两点．(1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形．(2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形．【变式3-1】如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角．(1)用含有的代数式表示重叠部分的面积．(2)当时，求重叠部分图形的周长．【变式3-2】如图，四边形是平行四边形，P是上一点，且和分别平分和．(1)求的度数；(2)如果，，求的面积．【变式3-3】如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求点D到的距离．易错陷阱四、题目中没有提供图形，需考虑全面易错提醒：对于没有给出图形的题目，我们要根据题意自己画出图形，这时候就要注意分类讨论，要时刻保持分类讨论的思想，具体问题具体分析．【例7】一个平行四边形两条邻边的长度分别是、，且一条底边上的高是，则这个平行四边形的面积是（）．A． B． C． D．或者【例8】在平行四边形中，，，点为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为【变式4-1】在平行四边形中，的平分线把边分成5和7两部分，则平行四边形的周长是．【变式4-2】已知中，cm，cm，过点B作交所在的直线于H，若cm，则cm．【变式4-3】已知在中，和的平分线分别交直线交于点E，F，若，则的长为．易错陷阱五、混淆特殊平行四边形的判定和性质平行四边形和特殊平行四边形之间的逻辑关系：①平行四边形有一个角是直角的是矩形，再证明有一组邻边相等的就是正方形；②平行四边行有一组邻边相等并且有一个角是直角的是正方形；③平行四边形有一组邻边相等的是菱形，再证明有一个角是直角的就是正方形．易错提醒：解答特殊平行四边形的相关问题时易错在张冠李戴，如将矩形的判定条件和性质误用到菱形上，为了避免此类错误，首先要须充分理解和熟记平行四边形和特殊平行四边形的判定和性质．【例9】如图，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为．(1)求证：四边形是矩形；(2)与之间的关系是什么？请说明理由．【例10】如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（

）A． B． C．5 D．4【变式5-1】如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，试求的度数．【变式5-2】如图，在菱形中，，分别为上的动点，，点从点向点运动的过程中，试判断的长度是否发生变化？并说明理由．【变式5-3】如图，在正方形中，点在上，，是的中点，连接，，相交于点，若，则的长为．易错陷阱六、最短路径问题无法对应模型常见的最短路径模型：已知：如图，定点和定点在定直线的同侧要求：在直线上找一点，使的值最小（或的周长最小）解法：作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线为线段的中垂线，由中垂线的性质得：，要使最小，则需值最小易错提醒：做题中不能找出“最短路径”的模型，分析不出题目中哪些是模型中的点、哪些是模型中的线，从而导致解决不了此类问题【例11】如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．【例12】如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（

），A．12 B．13 C． D．【变式6-1】如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（

）

A．6 B． C．12 D．【变式6-2】如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（

）

A． B． C． D．【变式6-3】如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（

）

A． B． C． D．易错陷阱七、图形变换前后的图形无法结合易错提醒：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，要弄清变化的过程，注意其中的不变量与变量，有时候往往是利用其中不变的量证明全等或相似后，再求变的量．所以解决此类问题的关键在于确定图形变换过程中不变量和变量，千万不能找错，否则容易造成后续证明中的错误．【例13】如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为（

）A． B． C． D．【例14】如图，已知矩形，，，E，F分别为边上的动点，且，将四边形沿翻折到四边形，则的最小值为．【变式7-1】如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是．【变式7-2】如图，在矩形中，，．将矩形绕点C旋转，得到矩形，点A的运动路径为，当点落在边上时，图中阴影部分的周长是．【变式7-3】如图，将边长为7的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为6时，的长为．易错陷阱八、在动点问题中无法找到对应关系动点问题：在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．易错提醒：动点问题可转化为寻找定直线或定点，需要学习如何画辅助线找到定直线或定点【例15】如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时，点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动时间为(s)，的面积为()，与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（

）A． B． C． D．【例16】如图，在中，，，，为边上一动点于，于，为中点，当点从点运动到点，点运动的路径长为（

）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5【变式8-1】如图，在中，，，，点D以秒的速度从点C出发沿向A点运动，同时点E以秒的速度从点A出发沿向B点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点D作于点F，连接，设运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形为菱形？(2)当t为何值时，的面积为？(3)当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与相似？【变式8-2】如图，在矩形中，，，动点P以的速度沿着折线，运动到点C时停止．已知与关于直线对称，连接．设运动时间为，连接，若是直角三角形，t的值为．【变式8-3】在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．(1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为；(2)连接、，当t为何值时，为直角三角形．1．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（

）A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或132．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（

）A． B． C． D．3．如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（

）A． B． C． D．4．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交的延长线于点．若，，，则的长为．5．如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为，的最小值为．6．如图，在长方形中，，把长方形沿直线翻折，点落在边上的点处，若，那么的长等于．7．如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为．8．如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，点在边上，且，将