备考2025届中考数学中档及压轴题型模型方法技巧专题05：全等三角形模型综合（原卷版）

2025届中考复习3/612025届中考复习专题：全等三角形模型综合总览总览题型解读TOC\o"1-3"\n\h\z\u模块一常考几何模型【题型1】手拉手模型【题型2】一线三等角模型【题型3】平行线夹中点【题型4】构造一线三垂直【题型5】倍长中线法【题型6】截长补短法模块二角平分线模型【题型1】角平分线+垂一边【题型2】作角平分线的垂线【题型3】角平分线的截长补短【题型4】角平分线+平行线得等腰【题型5】角平分线分线段成比例模块三旋转模型【题型1】半角模型【题型2】邻边相等+对角互补【题型3】鸡爪模型模块四辅助线构造综合【题型1】作平行线【题型2】以手拉手模型为背景的综合题【题型3】婆罗摩及多模型【题型4】脚蹬脚【题型5】绝配角模型

题型题型汇编知识梳理与常考题型模型1倍长中线模型（一）基本模型已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，方法：延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．结论1：△ACD≌△EBD．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，方法：连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF．结论2：△BDE≌△CDF．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，方法：作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS）（二）结论推导结论1：△ACD≌△EBD．证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．结论2：△BDE≌△CDF．证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．（三）解题技巧遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．

模型2一线三等角模型（一）基本模型已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．同侧型结论1：△CAP≌△PBD．异侧型结论2：△APC≌△BDP（二）结论推导图1图2证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．结论2：△APC≌△BDP．证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．（三）解题技巧在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查．

特殊的：一线三垂直模型已知∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE图示结论模型3半角模型（一）基本模型半角模型等边三角形含半角已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上，∠EDF＝60°．结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．正方形含半角已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．等腰直角三角形含半角已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D，E在BC上，∠DAE＝45°．结论3：DE2＝BD2＋CE2．（二）结论推导结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．∴∠DEB＝∠DEF．∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．∴∠AFD＝∠AFE．∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．结论3：DE2＝BD2＋CE2．证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠ECF＝90°，∴EF2＝CF2＋CE2＝BD2＋CE2，∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，∴EF＝DE，∴DE2＝BD2＋CE2．（三）解题技巧对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论．

模型4手拉手模型（一）基本模型已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE，结论2：∠BOC＝∠BAC，结论3：OA平分∠BOE．（二）结论推导结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．结论2：∠BOC＝∠BAC．证明：设OB与AC相交于点F．∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．结论3：OA平分∠BOE．证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD＝S△ACE，∴＝．∵BD＝CE，∴AG＝AH，∴OA平分∠BOE．（三）解题技巧如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．

模型5 对角互补+邻边相等模型模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。已知：，，利用旋转构造全等结论：OC平分∠AOB作垂线旋转拓展模型6平行线夹中点模型已知：AB//CD，点E是BC的中点 【模型分析】口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）

模型7角平分线相关模型一、模型介绍（1）角平分线基本性质已知：OP平分∠MON，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B．结论：PA＝PB，OA＝OB．（2）结论推导结论：PA＝PB，OA＝OB．证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP．∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP，∴PA＝PB，OA＝OB．二、解题技巧如果图形中有角平分线，可以考虑用角平分线模型．一般直接用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，或者作平行线构造等腰三角形，或者截相等的线段构造全等三角形．1、尺规作角平分线（SSS）第一步：在纸上画一个角，作为要被平分的角∠AOB。第二步：以角的顶点O为圆心，任意长度为半径画圆弧，交角的两边OA、OB于C、D两点。第三步：以C为圆心，大于OC且小于OD（或反之）长度为半径画圆弧。第四步：以D为圆心，与第三步相同的半径画圆弧。第五步：两圆弧交于E点，连接顶点O和E，OE即为∠AOB的平分线。2、角平分线常见模型及辅助线作法（1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形.(即角平分线+垂线得等腰三角形) （3）角平分线+平行线得等腰三角形 （4）截取构造对称全等(截长补短)

（5）角平分线分线段成比例:(常用二级结论) 简证：∵，∴,∴（6）旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 结论：AD平分∠CAD 简证模型8截长补短模型方法截长法补短法条件在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD图示方法在AB上截取AE=AC,连接DE延长AC到点E，使CD=CE,连接DE结论△DEB是等腰三角形△CDE是等腰三角形【总结】（1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.（2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路.模型9鸡爪模型（构造手拉手）半角模型等边三角形点在内部做法：将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到等边△AEC，连接DE结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD．点在外部∠BDC=120°做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°，得到等边△AEC，连接DE．结论：．等腰直角三角形点D在△ABC内部做法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到等腰直角△AEC，连接DE．结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD．点D在外部∠BDC=90°做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°，得到等边△AEC，连接DE．结论：

模型10绝配角模型（一）基本模型已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE．结论：AC＝EC．（二）结论推导结论：AC＝EC．证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD．∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC．（三）解题技巧如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法．模型11婆罗摩笈模型题目特征共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直.共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点.条件四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,CH⊥BE四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,点I为DG中点图示作法分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N延长IC到点P，使PI＝IC，连接PG结论①DI＝IG(知垂直得中点)BE＝2IC①CH⊥BE(知中点得垂直)②BE＝2IC③如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN．【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE．【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线） 证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN， 易证：△PAD≌BDA,∴BC＝PD，BE=PA∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°，又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB，易证：△CBE≌△PAB，∴∠BCM＝∠ABN，∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°∴∠BMC＝90°模型12脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）模型成立条件：等腰三角形顶角互补已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点，则△BFD是等腰直角三角形．ABCABCEDABCEDF【证明】法一：倍长中线延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）；所以CG=ED=AD，∠2=∠7；又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），∠4=∠6=90°；所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；则△BCG≌△BAD（SAS），所以∠DBG=90°，BG=BD；所以BF=DG=DF，BF⊥DF.法二：构造手拉手模型将△ABC沿AB对称，将△ADE沿AD对称连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD 模块一常考几何模型【题型1】手拉手模型【例题1】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为．【例题2】（青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；

图1 图2(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.【例题3】（山东烟台·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【巩固练习1】（2022·山东烟台·中考真题）

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD①求BDCE②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．【巩固练习2】（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边DE，AB的中点，．

(1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；(2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．【巩固练习3】（山东潍坊·中考真题）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．（1）当时，求证：；（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．【巩固练习4】（广西贵港·中考真题）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

【题型2】一线三等角模型【例题1】（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE=CD，∠B=∠AED=∠C．

(1)求证：∠EAD=∠EDA；(2)若∠C=60°，DE=4时，求△AED的面积．【例题2】（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90∘，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含【巩固练习1】（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点处，折痕为，点D落在点处，交AD于点E．若，，，则．【巩固练习2】（2023·广西·中考真题）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD=BE=CF．

(1)求证：△ADF≌△BED；(2)设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则．【巩固练习4】（湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为．【题型3】平行线夹中点【例题1】如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________．【巩固练习1】（四川泸州·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是．【巩固练习2】（深圳中考）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（）A．1 B．3﹣ C．﹣1 D．4﹣2【题型4】构造一线三垂直【例题1】（广西河池·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，，，则AF的长是（

）A． B． C． D．【例题2】（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为________；【类比探究】（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若AC=BC=1，CD=2，请直接写出sin∠ECD【巩固练习1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为．【巩固练习2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，则△ACE的面积为_________．AEDBC AEDBC【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则FGCE的值为（

A．2 B．3 C．322 【巩固练习4】（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．

(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．【巩固练习5】（2023·江苏南通·中考真题）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．∵

(1)如图，点E在边BC上，BE=DF，则图中与线段AE相等的线段是___________；(2)过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；(3)在（2）的条件下，当点F在边CD延长线上且DF=DG时，求FGAG【巩固练习6】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面积；(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则BNBC(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP=23【题型5】倍长中线法【例题】（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在△ABC中，AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE，把AB，(1)利用上述方法求出AD的取值范围是_________；(2)[探究]如图2，在△ABC中，CE为AB边上的中线，点D在CB的延长线上，且BC=2BD，AD与CE相交于点O，若四边形ODBE的面积为20，求△ABC的面积；(3)[拓展]如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=4，DF=22【巩固练习1】（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，若CA=6,CB=8，CD为△ABC的中线，点E在边AC上(不与端点重合)，BE与CD交于点F，若EC=EF，则DF=．【巩固练习2】（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形（1）上述证明过程中：①证明△ADE≌△CFE的依据是（_____）A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSS②证明四边形DBCF是平行四边形的依据是_______；【类比迁移】（2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点G，使GD=FD，连接GC，请根据小明的思路完成证明过程；【理解运用】（3）如图3，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，连接DE、BG，点P是BG的中点，连接CP．请判断线段CP与【巩固练习3】（山东泰安·中考真题）若和均为等腰三角形，且．（1）如图（1），点B是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是的中点，连接并延长至点F，使．求证：①，②．【题型6】截长补短法【例题1】课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．【例题2】如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．

（1）求证：；（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．【例题3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF=AB；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD=AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM=EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；拓展思考：（3）在（1）（2）的条件下，若AC=63，CD=2BD，则EF=【巩固练习1】如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D为顶点作一个50°角，角的两边分别交边AB，AC于点E、F，连接EF，点E、F分别在AB、CA延长线上，则BE、EF、FC之间存在什么样的关系？并说明理由．【巩固练习2】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．【巩固练习3】在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：∠BFC=90°+1（2）已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．模块二角平分线模型【题型1】角平分线+垂一边【例题1】如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（

）

A．4 B．5 C．6 D．8【例题2】如图，在中，，，点为上任意一点，连接，，，则线段，，之间的数量关系为．【例题3】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则A． B． C． D．【例题4】（2024·内蒙古·中考真题）如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；(2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请直接写出四边形BGED的形状．【巩固练习1】（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF【巩固练习2】如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，则下列结论中正确的个数①平分；②；③；④若，，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【巩固练习3】（2023·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,−3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC=13，则点C

【巩固练习4】如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为．【题型2】作角平分线的垂线【例题1】如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为．

【巩固练习1】如图，中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F,平分，，求的值．

【巩固练习2】【巩固练习3】【题型3】角平分线的截长补短【例题1】如图，在四边形中，E是边的中点，平分且，若，，则．

【例题2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AM=AN，DM=DN．求证：∠AMD=∠AND．【模型应用】（2）如图2，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）【拓展提升】（3）如图3，AC为⊙O的直径，AB=BC，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD．求证：【巩固练习1】已知：如图，四边形中，，平分，且．求证：．【巩固练习2】（2024·河南信阳·一模）数学兴趣小组利用角平分线构造全等模型开展探究活动，请仔细阅读完成相应的任务．活动1：用尺规作已知角的平分线、如图1所示，则由△ADF≌△ADE，可得∠DAC=∠DAB．活动2：如图2，在△ABC中，AB<AC，AD是△ABC的平分线，在AC上截取AE=AB，则△ADB≌完成以下任务：(1)在活动1和2中，判定三角形全等的依据分别是________（填序号）；①SAS

②AAS

③ASA

④SSS

⑤HL(2)如图3，在△ABC中，∠C=60°，AE，BF是△ABC的两条角平分线，且AE，BF交于点P，试猜想(3)如图4，在四边形ABCD中，AB∥CE，BC=AB+CE，∠ABC的平分线和∠BCE的平分线恰好交于AE边上的点P，若BC=10，tan∠ABP=13，当△PCE【题型4】角平分线+平行线得等腰【例题1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．23 C．4 D．4+23【例题2】（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为．【巩固练习1】（2022·四川南充·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9【巩固练习2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知AD=DC=4，AB=7，∠ABC=90°，AB∥CD，则BC=（

）A．7 B．5 C．33 D．2【巩固练习3】（2023·山东·中考真题）已知：射线OP平分∠MON,A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B,C，交射线ON于点D,E，连接AB,AC,AD．

(1)如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；(2)如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG=AF．【题型5】角平分线分线段成比例【例题】如图1，AD是∠BAC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N．求证：PM＝PN；如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝5，AC＝3，求的值；如图3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，若AB＝5，AC＝3，求BC与CD的数量关系．AAPBCDMNADBCFEABCD图1图2图3模块三旋转模型【题型1】半角模型【例题1】（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（）A．2 B． C． D．【例题2】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．

【拓展应用】如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．

【巩固练习1】如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【巩固练习2】（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：．【巩固练习3】（福建龙岩·模拟预测）如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A、B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G连接、、．则下列结论：①；②的周长为a；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是．（填写序号）【巩固练习4】（吉林长春·中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：．（2）若，则线段AP的长为．【题型2】邻边相等+对角互补【例题1】如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝（用含α的代数式表示）.【巩固练习1】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积等于．【巩固练习2】如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为．

【题型3】鸡爪模型【例题1】如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）．A．B．C．D．【例题2】(贵阳中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6，∠ACB＝∠ADB＝90°，若BE＝2AD，则△ABE的面积是_________．模块四辅助线构造综合【题型1】作平行线【例题1】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5【例题2】【阅读材料】教材习题如图，AB、CD相交于点O，O是AB中点，AC∥BD，求证：O是CD中点．问题分析由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即点O是CD的中点方法提取构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．【基础应用】已知△ABC中，∠B=90°，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，连接EF交AC于点D．(1)如图1，若AB=BC，AE=CF，求证：点D是EF的中点；(2)如图2，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD与BE之间的数量关系；【灵活应用】如图3，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点E是AB上一点，点F在BC延长线上，AB=8，AE=2，AECF=ABBC，当点C从点B运动到点A，点【巩固练习1】（2024齐齐哈尔模拟）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．

(1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；(2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．【巩固练习2】【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段

【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE=CF，连接EF交AC于点G．求证：①G是EF的中点；②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；【拓展延伸】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE=2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系是：____________________________；【题型2】以手拉手模型为背景的综合题【例题1】如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，则BD的长为_________．【例题2】（黑龙江·中考真题）和都是等边三角形．(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【例题3】（2023·山东东营·一模）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______；（2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；（3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长．【例题4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．【巩固练习1】如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为．【巩固练习2】（2023·甘肃武威·中考真题）【模型建立】（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．①求证：；②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若，，求的值．

【巩固练习3】（山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．【巩固练习4】（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有．①与面积相同；②；③若，连接和，则；④若，，，则．【巩固练习5】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知，，是的外接圆，点在上（），连接AD、BD、CD．【特殊化感知】（1）如图1，若，点在延长线上，则与CD的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若，点、在AB同侧，判断与CD的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含的式子表示）【题型3】婆罗摩及多模型【例题1】