备考2025届中考数学中档及压轴题型模型方法技巧专题09：函数选填压轴常考热点问题（原卷版）

2025届中考复习1/392025届中考复习专题09：代数选填压轴常考热点问题总览总览题型解读模块一二次函数 2【题型1】二次函数的性质及应用综合 3【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴或对称轴范围） 6【题型3】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标） 9【题型4】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像） 12【题型5】含参二次函数 14【题型6】二次函数新定义问题 15模块二代几综合 16【题型7】从函数图像获取信息（行程问题） 16【题型8】由动点的函数图像求线段长 18【题型9】动点的函数图像分析与判定 23模块三规律探索 28【题型10】数字类规律探索 28【题型11】图形类规律探索 29【题型12】点坐标规律探索 31模块四其它问题 35【题型13】三角函数综合 35【题型14】函数的应用 37【题型15】一次函数综合 38

题型题型汇编知识梳理与常考题型模块一二次函数二次函数图像与系数a，b，c的关系如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点考法解决方法本题结果①a,b,ca:二次函数图像开口向上时，a＞0；开口向下，则a＜0，a＞0b＜0c＜0b：和a共同决定了函数对称轴的位置，“左同右异”c：②两个交点：一个交点：没有交点：③用特殊值进行判断：a＋b＋c即为当时的函数值；4a－2b＋c为当时的函数值a＋b＋c＜0a－b＋c＜0④只有a，b时，用对称轴代换，消去一个未知数进行判断∵，∴，⑤c＋a只有a，c或只有b，c时，先用对称轴代换，消去一个未知数，然后利用④中的结果判断结果∵a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，∵a＞0，∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0⑥若c的系数不是1，可以先化成1再进行计算，或这把③中的某个式子中的c的系数变成题里的形式而，⑦am2＋bm和a＋b的大小关系同时加上c，am2＋bm＋c，a＋b＋c第一个式子是当x＝m时的函数值，第二个式子是当x＝1时的函数值；由图可知，x＝1时函数取最小值am2＋bm≥a＋b⑧(a+c)-b2⑨和的大小关系可以把代数式变成顶点的纵坐标公式，顶点坐标（−b假如定点纵坐标小于－1，则4ac−b24a＜−1，4ac−b2＜－4a，b⑩若给出的值a,c的数量关系可以知道即，进而可知a,b，c可以判断关于a,b，也可以求出以a,b，【题型1】二次函数的性质及应用综合【例题1】（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则．【例题2】（2023·湖北十堰中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．∴的取值范围是【例题3】（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是．【巩固练习1】（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是．【巩固练习2】（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：①；②；③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．其中，所有正确结论的个数是（

）A． B． C． D．【巩固练习3】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴或对称轴范围）【例题1】（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例题2】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（

）①；②；③；④若方程两根为，则．A．1 B．2 C．3 D．4【例题3】（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【例题4】（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【巩固练习1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①

②（m为任意实数）

③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【巩固练习2】（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是（请填写序号）．【巩固练习3】（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4【巩固练习4】（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为．【巩固练习5】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型3】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）【例题1】（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例题2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【巩固练习1】（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【巩固练习2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；③当时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．【巩固练习3】（2023乐山市中考真题）如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【巩固练习4】（辽宁省营口市）如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个综上所述，正确的有②③⑤【题型4】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）【例题1】（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【例题2】（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是（填写序号）．【巩固练习1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是（填写所有正确结论的序号）．①当时，抛物线的对称轴是轴；②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；③若点，在抛物线上，则；④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．【巩固练习2】（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（

）①；②抛物线的顶点坐标为；③；④若，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【巩固练习3】（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）①②当时，代数式的最小值为3③对于任意实数，不等式一定成立④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有【题型5】含参二次函数【例题1】（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（

）A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有【例题2】（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是（填写序号）．【巩固练习1】（2023年四川省南充市中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(

)A． B．或C． D．或【巩固练习2】（2023·浙江衢州中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．综上所述，可得，【巩固练习3】（2023年四川省泸州市中考真题）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（）A． B．或C．或 D．或【题型6】二次函数新定义问题【例题1】（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：①是函数的“1级关联范围”；②不是函数的“2级关联范围”；③函数总存在“3级关联范围”；④函数不存在“4级关联范围”．其中正确的为（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【例题2】（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；①；②；③．（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为．【巩固练习1】（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为．【巩固练习2】（2023·四川巴中中考真题）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为．【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为．①函数是“倍值函数”；②函数的图象上的“倍值点”是和；③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是；④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为．模块二代几综合【题型7】从函数图像获取信息（行程问题）【例题1】（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（

）A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟【例题2】【巩固练习1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【巩固练习2】（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(

)那么以下结论：①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；④，两地之间的距离是．其中正确的结论有：A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【巩固练习3】【题型8】由动点的函数图像求线段长【例题1】（2023·广东深圳·中考真题）如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（

）

A． B． C．17 D．【例题2】（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（

）A．5 B．7 C． D．【例题3】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（

）

A． B． C． D．【例题4】（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（

）A．2 B． C．4 D．【巩固练习1】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（）A．2 B．3 C． D．【巩固练习3】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（

）A．5 B．8 C． D．【巩固练习4】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长为（）A． B． C． D．【巩固练习5】（2024·安徽宣城·模拟预测）如图1，在正方形中，点以每秒3cm的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度（）与点的运动时间的函数图象如图2所示．当点运动时，的长是（

）A． B． C． D．【巩固练习6】（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（

）A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④【巩固练习7】（2024·湖北·模拟预测）如图1，点E在正方形的边上，且，点P沿从点B运动的到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为，则最高点N的纵坐标a的值为．【题型9】动点的函数图像分析与判定【例题1】（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（

）A． B．C． D．【例题2】（2023·辽宁·中考真题）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【例题3】（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（

）A． B．C． D．【巩固练习1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（

）A．B．C．D．【巩固练习2】（2024·安徽合肥·三模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【巩固练习3】（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【巩固练习4】（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（

）A．B．C． D．【巩固练习5】（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（

）

A. B.C. D.

模块三规律探索【题型10】数字类规律探索【例题1】（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（

）A． B．为偶数 C． D．【例题2】（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为．【巩固练习1】（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（

）A．676 B．674 C．1348 D．1350【巩固练习2】（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式：……则的值为．【题型11】图形类规律探索【例题1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（

）A．90 B．91 C．92 D．93【例题2】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则度．【例题3】（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则，．【巩固练习1】（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为（用含n的代数式表示）．【巩固练习2】（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．【巩固练习3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为．【题型12】点坐标规律探索【例题1】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（

）A． B． C．0 D．1【例题2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是．【巩固练习1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为．【巩固练习2】（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【巩固练习3】（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为．【巩固练习4】2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是．【巩固练习5】（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（

）．A． B． C． D．【巩固练习6】（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则．【巩固练习7】（2024·四川泸州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为．模块四其它问题【题型13】三角函数综合【例题1】（2024·湖南·中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为分米（结果用含根号的式子表示）．【例题2】（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是．【巩固练习1】（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则．（单位：）（参考数据：）【巩固练习2】（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面